Fonctions @ valeurs vectorielles : continuité, dérivation, intégration

Fonctions à valeurs vectorielles : continuité, dérivation, intégration
On considère X:I!E t 7! X(t), où Iest un intervalle de Ret où Eest un evn de dimension …nie.
Remarque : Autrement dit, t7! X(t)est une courbe paramétrée sur E.
Remarque : Tout C-evn (de dimension n) s’identi…e à un R-evn (de dimension 2n).
1) Limite, continuité, dérivabilité
a) Limite et continuité
Dé…nition : On suppose a2R[f1;+1g adhérent à I.
Alors limt!aX(t) = ssi pour tout " > 0, il existe  > 0tel que 8t2[a; a +]\I,kX(t)k  ":
Caractérisation séquentielle :limt!aX(t) = ssi pour toute suite (tn)n2Nconvergeant vers adans I, on a
limn!+1X(tn) = , c’est-à-dire limn!+1kX(tn)k= 0:
Continuité :Xest continue en a2Issi limt!aX(t) = X(a):
Remarque : Si a2Iet si Xconverge en a, alors la limite de Xen avaut nécessairement X(a):
Dé…nition équivalente en termes de DL0:Xcontinue en assi X(a+h) = X(a) + o(1) lorsque htend vers 0.
b) Dérivabilité :Xest dérivable en a2Issi il existe limt!a;t6=a
X(t)X(a)
ta, c’est-à-dire limh!0;h6=0
X(a+h)X(a)
h:
Si elle existe, la limite est notée X0(a), appelé vecteur dérivé de Xen a.
Dé…nition équivalente en termes de DL1:Xdérivable en assi il existe 2Etel que X(a+h) = X(a) + h +o(h)
lorsque htend vers 0. Dans ce cas, est unique et X0(a) = :
c) Caractérisations fondamentales
Par le choix d’une base de E, on identi…e EàRp(ou Cp). On peut donc poser
X:I!Rpt7! (x1(t); x2(t); :::; xp(t)), où xi:I!R
On a alors les caractérisations suivantes :
-Xest continue (en a) ssi les fonctions numériques x1; :::; xpsont continues (en a).
-Xest dérivable (en a) ssi les fonctions numériques x1; :::; xpsont dérivables (en a).
Remarque : Le vecteur X0(a)est appelé vecteur vitesse de Xen a.
d) Plus généralement, X:I!Rpt7! (x1(t); x2(t); :::; xp(t)) est Cnssi les xisont Cn.
Exemple :f:I!Ct7! z(t) = x(t) + iy(t)est Cnssi xet ysont Cn, et f(n)(t) = x(n)(t) + iy(n)(t):
e) Exemples de dérivées de fonctions liées à la linéarité
Prop : Soient B:EE!Fune application bilinéaire (continue, puisque Eet Fsont de dimension …nie).
Si xet y:I!Esont C1, alors f:t7! B(x(t); y(t)) est de classe C1, et f0(t) = B(x0(t); y(t))+B(x(t); y0(t)):
Preuve : On a f(a+h) = B(x(a) + hx0(a) + o(h); y(a) + hy0(a) + o(h)):

Par continuité de B, on sait qu’il existe k2R+tel que jB(x; y)j  kkxk kyk, donc B(o(h); O(1)) = o(h), etc...
On obtient ainsi f(a+h) = f(a) + hB(x0(a); y(a))+hB(x(a); y0(a))+o(h):
Remarque : En dimension …nie, B(x; y) = Pn
i=1 Pn j=1 aij xixj: on retrouve le résultat en dérivant les xixj:
Exemple : Produit dans C: Si z1et z2:I!Csont C1, alors (z1z2)est C1et (z1z2)0(t) = z0
1(t)z2(t) + z1(t)z0 2(t):
En particulier, si et :I!Rsont C1, alors f:t7! (t)ei(t)est de classe C1, et f0(t) = 0(t)ei(t)+i(t)0(t)ei(t):
Exemple : Si Xet Y:R!R3sont de classe C1, alors t7! (X(t)jY(t)) et t7! X(t)^Y(t)sont C1, et on a :
d
dt(X(t)jY(t)) = (X0(t)jY(t)) + (X(t)jY(t)) et d dt(X(t)^Y(t)) = X0(t)^Y(t) + X0(t)^Y(t)
Exemple : La propriété s’étend naturellement aux applications n-linéaires. Par exemple, si t7! Xj(t)sont des
applications de classe C1de Rdans Rn, alors l’application f:t7! det(X1(t); :::; Xn(t)) est de classe C1, et on a
f0(t) = d
dt det(X1(t); :::; Xn(t)) =
n
X
j=1
det(X1(t); :::; Xj1(t); X0
j(t); Xj+1(t); :::; Xn(t))
f) Fonction exponentielle complexe
Prop : Soit z2C. La fonction f:R!Ct7! ezt est de classe C1, et f0(t) = zf(t):
Preuve : On peut utiliser la dérivée de t7! ext(cos(yt)+ isin(yt)) ou utiliser la série de fonctions f(t) = P+1
n=0
zntn
n!:
2) Intégrale d’une fonction continue sur un segment et à valeurs vectorielles.
a) Dé…nition : Soit X: [a; b]!Rpt7! (f1(t); f2(t); :::; fp(t)) une fonction continue (par morceaux).
En particulier, les fonctions xi: [a; b]!Rsont continues (par morceaux).
Alors on dé…nit Rb
aX(t)dt = (Rb ax1(t)dt; Rb ax2(t)dt; :::; Rb axp(t)dt)en intégrant les fonctions-coordonnées.
Remarque : Si (e1; :::; ep)est une base de E, la valeur de Rb
aX(t)dt =Pp
i=1 Rb
axi(t)dtei, où X(t) = Pp
i=1 xi(t)ei,
ne dépend pas du choix de la base (en e¤et, un changement de base revient à considérer des combinaisons linéaires
des xi).
Extension aux intégrales sur un intervalle quelconque :
Pour X: [a; b[!Rp, on pose, si elle existe, Rb
aX(t)dt = limt!b;t<b Rx aX(t)dt:
On dit que fest intégrable sur [a; b[ssi Rb
akX(t)kdt < +1.
Remarque :Caractérisation :f:I!Rpt7! (x1(t); x2(t); :::; xp(t)) est intégrable ssi les xisont intégrables.
b) Exemples fondamentaux
-Exponentielle complexe. Pour Re  < 0,R+1
0et dt =1
:
Exemple : Calcul de J=R+1
0cos(t)etdt. On a J= Re R+1 0eitetdt= Re 1
1i=1 2:
-Fonctions rationnelles. La décomposition en éléments simples dans C(X)se ramène au calcul de Rdt
(t+z)m:

Pour m2, on a Rdt
(t+z)m=1 m1
1
(t+z)m1+k:
Pour m= 1, avec z=a+ib, on a Rdt
tz=Rta (t+a)2+b2dt iRb (t+a)2+b2:
D’où Rdt
t+z=1 2ln (ta)2+b2iarctan ta b+k:
Remarque :arctan ta
b= 2arctan b ta[]. On obtient donc Rdt t+z= ln jt+zj+iarg (t+z) + k.
c) Sommes de Riemann
Prop : Soit X: [a; b]!Econtinue par morceaux. Alors limn!+1
ba
nPn
k=1 Xa+kba
n=Rb
aX(t)dt.
Cas particulier : Si f: [0;1] !Rest continue, alors limn!+1Pn
k=1 fk
n=R1
0f(t)dt:
Remarque culturelle : Plus généralement, on a Rb
aX(t)dt Pn
k=1(tktk1)f(tk)"pour toute subdivision
(t0; :::; tn)de [a; b]dont le pas est assez petit (on rappelle que  = max1kn(tktk1)).
3) Théorèmes fondamentaux
Hormis le théorème de la valeur moyenne (et donc les théorèmes de Rolle et des accroissements …nis), les proptiétés
sont identiques à celles pour les fonctions numériques.
a) Théorème fondamental du calcul di¤érentiel
Prop : Si f:I!Eest continue sur [a; b], alors F:x7! Rx
af(t)dt est de classe C1, et F0(x) = f(x):
Remarque : Si fest continue par morceaux, Fest continue et C1par morceaux.
Corollaire : Soit f: [a; b]!Rde classe C1. Alors Rb
af0(x)dx =f(b)f(a):
Corollaire : Intégration par parties : Rb
af(t)g(t)dt = [F(t)g(t)]b
aRb
aF(t)g0(t)dt:
Corollaire : Changements de variables : Rb
af(t)dt =R'1(b)
'1(a)f('(u)) '0(u)du :
Corollaire : Formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral. soit f: [a; x]!Ede classe Cn+1:
Alors Rx
af(t)dt Pn(x) = Rn(x), avec Pn(x) = Pn
k=0
(xa)k
k!f(k)(a)et Rn(x) = Rx
a
(ta)n
n!f(n+1)(t)dt .
Exemple :ezPn
k=0
zk
k!emax(0;Re z) (n+ 1)! :En e¤et, on applique Taylor-Lagrange à f: [0;1] !Ct7! etz:
b) Inégalité triangulaire
Prop : Soit f: [a; b]!Econtinue par morceaux. Alors 
Rb
aX(t)dt
Rb
akX(t)kdt :
Preuve : On utilise les sommes de Riemann : On a 
ba
nPn
k=1 X(a+kba
n)
ba
nPn
k=1 
X(a+kba
n)
:
Par passage à la limite, 
Rb
aX(t)dt
Rb
akX(t)kdt.
Corollaire : inégalité des accroissements …nis : Si X: [a; b]!E C1, alors kX(b)X(a)k  jbajsupt2[a;b]kX0(t)k:
Preuve :kX(b)X(a)k=
Rb
aX0(t)dt
Rb
akX0(t)kdt  jbajsupt2[a;b]kX0(t)k:

Corollaire : inégalité de Taylor-Lagrange.
Exemple :eia eib jabj:En e¤et, f:t7! eit est C1et jf0(t)j= 1, donc f:R!Cest 1-lipschiztienne.
Remarque : En revanche, le théorème de Rolle (donc le théorème des accroissements …nis et plus généralement le
théorème de la moyenne) doit être reformulé. Par exemple, avec f:t7! eit, on a f(2)f(0) = 0 alors que
f0(t)6= 0 pour tout t.
En fait, on a (hp) : 1
baRb
at(t)dt appartient à l’enveloppe convexe de ff(t); t 2[a; b]g.
Corollaire :f(b)f(a)
baappartient à l’enveloppe convexe des f0(t). En e¤et, f(b)f(a) ba=1 baRb
af0(t)dt:
c) Intégration des développements limités et formule de Taylor-Young
Lemme : Si g0(h) = o(hn), alors g(h) = g(0) + o(hn+1):
Preuve :kg(h)g(0)k  jhjsupx2[0;h]kg0(x)k=o(hn+1), car supx2[0;h]kg0(x)k=o(hn).
Formule de Taylor-Young :
Si fest dérivable nfois en a, avec n1, alors f(a+h) = f(a) + hf 0(a) + ::: +1
n!f(n)(a) + o(hn).
Preuve : Par intégrations successives du lemme à partir de f(n1)(a) = hf(n)(a) + o(h):
Remarque : Si fest Cn+1, la formule se déduit de l’inégalité de Taylor-Lagrange avec reste intégral.
4) Théorème du relèvement
a) Cas des fonctions à valeurs complexes de module 1
Prop : Soit f:I!U t 7! f(t) = x(t) + iy(t)une application de classe C1, avec 8t2I,jf(t)j= 1:
Alors il existe une fonction ':I!Rde classe C1telle que 8t2I,f(t) = ei'(t):
De plus, on a '0(t) = x(t)y0(t)x0(t)y(t). Ainsi, si fest de classe Cn, il en est de même de '.
Remarque : Une telle application 'est appelée relèvement de f. Deux relèvements di¤èrent d’une constante 2k.
En e¤et, si ei'(t)=ei (t), alors ( ')(t)22Z, et par continuité, 'est constant.
Remarque : La propriété est vraie aussi si fest seulement continue, mais la preuve est plus compliquée.
Remarque : Si f(t) = ei'(t), alors tan '(t) = y(t)
x(t), d’où on retrouve '0(t) = x(t)y0(t)x0(t)y(t):
Preuve : Considérons a2I, et tel que f(a) = ei:
Or, on a 8t2I; f (t) = ei'(t)ssi f(a) = ei'(a)et 8t2I; f0(t) = i'0(t)f(t):
On en conclut que 'dé…nie par '(t) = +Rt
a
f0(u)
if(u)du convient. Comme ei'(t)= 1, alors 'est à valeurs réelles.
D’aileurs, f0(t)
if(t)=if 0(t)f(t) = x(t)y0(t)x0(t)y(t), car x2+y2= 1 d’où xx0+yy0= 0:
b) Extension aux fonctions à valeurs complexes non nulles
Prop : Soit f:I!R2t7! (x(t); y(t)) une application de classe Cn, où n2N, avec 8t2I,f(t)6= 0:

Alors il existe deux fonctions :I!Ret r:I!Rde classe Cntelles que 8t2I,(x(t) = r(t) cos (t)
y(t) = r(t) sin (t)
Preuve :r:t7! px(t)2+y(t)2de classe Cn, car x2+y2>0. On applique a) à la fonction g:t7! x(t) + iy(t)
r(t):
Remarque : On a tan =y
x, donc 0=xy x0y x2+y2=det(f(t); f0(t))
kf(t)k2=Im(z0(t)z(t)) jz(t)j2, où z(t) = x(t) + iy(t):
c) Exemples d’utilisations
On considère une solution non nulle yde l’équation di¤érentielle linéaire homogène (E) : y00(t)+(1+"(t))y(t) = 0:
On a (y(t); y0(t)) 6= (0;0) par Cauchy-Lipschitz.
Donc il existe ret de classe C1tels que (y(t); y0(t)) = (r(t) cos (t);r(t) sin (t)):
L’équation (E)s’écrit alors (r0cos r0sin =rsin 
r0sin +r0cos = (1 + "(t))rcos (r0="(t)r(cos )(sin ) 0= 1 + "(t)(cos )2