Fonctions @ valeurs vectorielles : continuité, dérivation, intégration

Fonctions à valeurs vectorielles : continuité, dérivation, intégration
On considère X : I ! E t 7 ! X(t), où I est un intervalle de R et où E est un evn de dimension …nie.
Remarque : Autrement dit, t 7 ! X(t) est une courbe paramétrée sur E.
Remarque : Tout C-evn (de dimension n) s’identi…e à un R-evn (de dimension 2n).
1) Limite, continuité, dérivabilité
a) Limite et continuité
Dé…nition : On suppose a 2 R [ f
Alors limt!a X(t) =
1; +1g adhérent à I.
ssi pour tout " > 0, il existe
Caractérisation séquentielle : limt!a X(t) =
limn!+1 X(tn ) = , c’est-à-dire limn!+1 kX(tn )
> 0 tel que 8t 2 [a
; a + ] \ I, kX(t)
k
":
ssi pour toute suite (tn )n2N convergeant vers a dans I, on a
k = 0:
Continuité : X est continue en a 2 I ssi limt!a X(t) = X(a):
Remarque : Si a 2 I et si X converge en a, alors la limite de X en a vaut nécessairement X(a):
Dé…nition équivalente en termes de DL0 : X continue en a ssi X(a + h) = X(a) + o (1) lorsque h tend vers 0.
b) Dérivabilité : X est dérivable en a 2 I ssi il existe limt!a;t6=a
X(t)
t
X(a)
X(a + h)
, c’est-à-dire limh!0;h6=0
a
h
X(a)
Si elle existe, la limite est notée X 0 (a), appelé vecteur dérivé de X en a.
Dé…nition équivalente en termes de DL1 : X dérivable en a ssi il existe
lorsque h tend vers 0. Dans ce cas,
2 E tel que X(a + h) = X(a) + h + o (h)
est unique et X 0 (a) = :
c) Caractérisations fondamentales
Par le choix d’une base de E, on identi…e E à Rp (ou Cp ). On peut donc poser
X : I ! Rp t 7 ! (x1 (t); x2 (t); :::; xp (t)), où xi : I ! R
On a alors les caractérisations suivantes :
- X est continue (en a) ssi les fonctions numériques x1 ; :::; xp sont continues (en a).
- X est dérivable (en a) ssi les fonctions numériques x1 ; :::; xp sont dérivables (en a).
Remarque : Le vecteur X 0 (a) est appelé vecteur vitesse de X en a.
d) Plus généralement, X : I ! Rp t 7 ! (x1 (t); x2 (t); :::; xp (t)) est C n ssi les xi sont C n .
Exemple : f : I ! C t 7 ! z(t) = x(t) + iy(t) est C n ssi x et y sont C n , et f (n) (t) = x(n) (t) + iy (n) (t):
e) Exemples de dérivées de fonctions liées à la linéarité
Prop : Soient B : E
E ! F une application bilinéaire (continue, puisque E et F sont de dimension …nie).
Si x et y : I ! E sont C 1 , alors f : t 7 ! B(x(t); y(t)) est de classe C 1 , et f 0 (t) = B(x0 (t); y(t)) + B(x(t); y 0 (t)):
Preuve : On a f (a + h) = B(x(a) + hx0 (a) + o (h); y(a) + hy 0 (a) + o (h)):
:
Par continuité de B, on sait qu’il existe k 2 R+ tel que jB(x; y)j
k kxk kyk, donc B(o (h); O(1)) = o (h), etc...
On obtient ainsi f (a + h) = f (a) + hB(x0 (a); y(a)) + hB(x(a); y 0 (a)) + o (h):
Remarque : En dimension …nie, B(x; y) =
Pn Pn
i=1
j=1 aij xi xj
: on retrouve le résultat en dérivant les xi xj :
Exemple : Produit dans C : Si z1 et z2 : I ! C sont C 1 , alors (z1 z2 ) est C 1 et (z1 z2 )0 (t) = z10 (t)z2 (t) + z1 (t)z20 (t):
En particulier, si
et
: I ! R sont C 1 , alors f : t 7 ! (t)ei
(t)
est de classe C 1 , et f 0 (t) =
(t) 0 (t)ei
0 (t)ei (t) +i
(t) :
Exemple : Si X et Y : R ! R3 sont de classe C 1 , alors t 7 ! (X(t) j Y (t)) et t 7 ! X(t) ^ Y (t) sont C 1 , et on a :
d
d
(X(t) j Y (t)) = (X 0 (t) j Y (t)) + (X(t) j Y (t)) et (X(t) ^ Y (t)) = X 0 (t) ^ Y (t) + X 0 (t) ^ Y (t)
dt
dt
Exemple : La propriété s’étend naturellement aux applications n-linéaires. Par exemple, si t 7 ! Xj (t) sont des
applications de classe C 1 de R dans Rn , alors l’application f : t 7 ! det(X1 (t); :::; Xn (t)) est de classe C 1 , et on a
n
f 0 (t) =
X
d
det(X1 (t); :::; Xn (t)) =
det(X1 (t); :::; Xj
dt
0
1 (t); Xj (t); Xj+1 (t); :::; Xn (t))
j=1
f) Fonction exponentielle complexe
Prop : Soit z 2 C. La fonction f : R ! C t 7 ! ezt est de classe C 1 , et f 0 (t) = zf (t):
Preuve : On peut utiliser la dérivée de t 7 ! ext (cos(yt) + i sin(yt)) ou utiliser la série de fonctions f (t) =
2) Intégrale d’une fonction continue sur un segment et à valeurs vectorielles.
P+1 z n tn
:
n=0
n!
a) Dé…nition : Soit X : [a; b] ! Rp t 7 ! (f1 (t); f2 (t); :::; fp (t)) une fonction continue (par morceaux).
En particulier, les fonctions xi : [a; b] ! R sont continues (par morceaux).
Alors on dé…nit
Rb
a
Rb
Rb
Rb
X(t) dt = ( a x1 (t) dt; a x2 (t) dt; :::; a xp (t) dt) en intégrant les fonctions-coordonnées.
Remarque : Si (e1 ; :::; ep ) est une base de E, la valeur de
Rb
a
X(t) dt =
Pp
i=1
Rb
a
xi (t) dt ei , où X(t) =
Pp
i=1 xi (t)ei ,
ne dépend pas du choix de la base (en e¤et, un changement de base revient à considérer des combinaisons linéaires
des xi ).
Extension aux intégrales sur un intervalle quelconque :
Pour X : [a; b[! Rp , on pose, si elle existe,
On dit que f est intégrable sur [a; b[ ssi
Rb
a
Rb
a
X(t) dt = limt!b;t<b
kX(t)k dt < +1.
Rx
a
X(t) dt:
Remarque : Caractérisation : f : I ! Rp t 7 ! (x1 (t); x2 (t); :::; xp (t)) est intégrable ssi les xi sont intégrables.
b) Exemples fondamentaux
- Exponentielle complexe. Pour Re
Exemple : Calcul de J =
R +1
0
< 0,
R +1
0
e
t
dt =
cos(t)e t dt. On a J = Re
1
:
R +1
0
eit e t dt = Re
1
1
i
1
= :
2
- Fonctions rationnelles. La décomposition en éléments simples dans C(X) se ramène au calcul de
R
dt
:
(t + z)m
R
1
dt
1
=
+ k:
m
(t + z)
m 1 (t + z)m 1
R dt
R
R
t a
b
Pour m = 1, avec z = a + ib, on a
=
dt i
:
2
2
t z
(t + a) + b
(t + a)2 + b2
R dt
1
t a
+ k:
= ln (t a)2 + b2
D’où
i arctan
t+z
2
b
R dt
t a
b
Remarque : arctan
=
[ ]. On obtient donc
arctan
= ln jt + zj + i arg (t + z) + k.
b
2
t a
t+z
Pour m
2, on a
c) Sommes de Riemann
Prop : Soit X : [a; b] ! E continue par morceaux. Alors limn!+1
Cas particulier : Si f : [0; 1] ! R est continue, alors limn!+1
Rb
Remarque culturelle : Plus généralement, on a
(t0 ; :::; tn ) de [a; b] dont le pas
n
a Pn
k=1 X
k
n
k=1 f
Pn
X(t) dt
a
Pn
b
=
k=1 (tk
est assez petit (on rappelle que
tk
= max1
R1
0
a+k
b
a
n
=
Rb
a
X(t) dt.
f (t) dt:
1 )f (tk )
k n (tk
" pour toute subdivision
tk
1 )).
3) Théorèmes fondamentaux
Hormis le théorème de la valeur moyenne (et donc les théorèmes de Rolle et des accroissements …nis), les proptiétés
sont identiques à celles pour les fonctions numériques.
a) Théorème fondamental du calcul di¤ érentiel
Prop : Si f : I ! E est continue sur [a; b], alors F : x 7 !
Rx
a
f (t) dt est de classe C 1 , et F 0 (x) = f (x) :
Remarque : Si f est continue par morceaux, F est continue et C 1 par morceaux.
Corollaire : Soit f : [a; b] ! R de classe C 1 . Alors
Corollaire : Intégration par parties :
Rb
a
Corollaire : Changements de variables :
Rb
f 0 (x) dx = f (b)
a
f (t)g(t) dt = [F (t)g(t)]ba
Rb
a
f (t) dt =
R'
1 (b)
1 (a)
'
Rb
a
f (a):
F (t)g 0 (t) dt:
f ('(u)) '0 (u) du :
Corollaire : Formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral. soit f : [a; x] ! E de classe C n+1 :
Alors
Rx
a
f (t) dt
Exemple : ez
Pn (x) = Rn (x), avec Pn (x) =
Pn
k=0
zk
k!
Pn
(x
k=0
R x (t a)n (n+1)
a)k (k)
f (a) et Rn (x) = a
f
(t) dt .
k!
n!
emax(0;Re z)
: En e¤et, on applique Taylor-Lagrange à f : [0; 1] ! C t 7 ! etz :
(n + 1)!
b) Inégalité triangulaire
Prop : Soit f : [a; b] ! E continue par morceaux. Alors
Preuve : On utilise les sommes de Riemann : On a
Par passage à la limite,
Rb
a
X(t) dt
Rb
a
b a
n
kX(t)k dt.
Rb
a
X(t) dt
Pn
k=1 X(a
Rb
a
kX(t)k dt :
+ k b na )
Corollaire : inégalité des accroissements …nis : Si X : [a; b] ! E C 1 , alors kX(b)
Preuve : kX(b)
X(a)k =
Rb
a
X 0 (t) dt
Rb
a
kX 0 (t)k dt
jb
b a
n
Pn
k=1
X(a)k
aj supt2[a;b] kX 0 (t)k :
X(a + k b na ) :
jb
aj supt2[a;b] kX 0 (t)k :
Corollaire : inégalité de Taylor-Lagrange.
Exemple : eia
eib
bj : En e¤et, f : t 7 ! eit est C 1 et jf 0 (t)j = 1, donc f : R ! C est 1-lipschiztienne.
ja
Remarque : En revanche, le théorème de Rolle (donc le théorème des accroissements …nis et plus généralement le
théorème de la moyenne) doit être reformulé. Par exemple, avec f : t 7 ! eit , on a f (2 )
f (0) = 0 alors que
f 0 (t) 6= 0 pour tout t.
En fait, on a (hp) :
Corollaire :
1
b a
f (b) f (a)
b a
Rb
a
t(t) dt appartient à l’enveloppe convexe de ff (t); t 2 [a; b]g.
appartient à l’enveloppe convexe des f 0 (t). En e¤et,
f (b) f (a)
b a
=
1
b a
c) Intégration des développements limités et formule de Taylor-Young
Rb
a
f 0 (t) dt:
Lemme : Si g 0 (h) = o (hn ), alors g(h) = g(0) + o (hn+1 ):
Preuve : kg(h)
g(0)k
jhj supx2[0;h] kg 0 (x)k = o (hn+1 ), car supx2[0;h] kg 0 (x)k = o (hn ).
Formule de Taylor-Young :
Si f est dérivable n fois en a, avec n
1, alors f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + ::: +
Preuve : Par intégrations successives du lemme à partir de f (n
1) (a)
1 (n)
(a)
n! f
+ o (hn ) .
= hf (n) (a) + o (h):
Remarque : Si f est C n+1 , la formule se déduit de l’inégalité de Taylor-Lagrange avec reste intégral.
4) Théorème du relèvement
a) Cas des fonctions à valeurs complexes de module 1
Prop : Soit f : I ! U t 7 ! f (t) = x(t) + iy(t) une application de classe C 1 , avec 8t 2 I, jf (t)j = 1:
Alors il existe une fonction ' : I ! R de classe C 1 telle que 8t 2 I, f (t) = ei'(t) :
De plus, on a '0 (t) = x(t)y 0 (t)
x0 (t)y(t). Ainsi, si f est de classe C n , il en est de même de '.
Remarque : Une telle application ' est appelée relèvement de f . Deux relèvements di¤èrent d’une constante 2k .
En e¤et, si ei'(t) = ei
(t) ,
alors (
')(t) 2 2 Z, et par continuité,
' est constant.
Remarque : La propriété est vraie aussi si f est seulement continue, mais la preuve est plus compliquée.
Remarque : Si f (t) = ei'(t) , alors tan '(t) =
Preuve : Considérons a 2 I, et
y(t)
, d’où on retrouve '0 (t) = x(t)y 0 (t)
x(t)
x0 (t)y(t):
tel que f (a) = ei :
Or, on a 8t 2 I; f (t) = ei'(t) ssi f (a) = ei'(a) et 8t 2 I; f 0 (t) = i'0 (t)f (t):
R t f 0 (u)
i'(t) = 1, alors ' est à valeurs réelles.
On en conclut que ' dé…nie par '(t) = + a if
(u) du convient. Comme e
D’aileurs,
f 0 (t)
if (t)
=
if 0 (t)f (t) = x(t)y 0 (t)
x0 (t)y(t), car x2 + y 2 = 1 d’où xx0 + yy 0 = 0:
b) Extension aux fonctions à valeurs complexes non nulles
Prop : Soit f : I ! R2 t 7 ! (x(t); y(t)) une application de classe C n , où n 2 N, avec 8t 2 I, f (t) 6= 0:
Alors il existe deux fonctions
Preuve : r : t 7 !
p
: I ! R et r : I ! R de classe C n telles que 8t 2 I,
(
x(t) = r(t) cos (t)
y(t) = r(t) sin (t)
x(t)2 + y(t)2 de classe C n , car x2 + y 2 > 0. On applique a) à la fonction g : t 7 !
Remarque : On a tan =
y
, donc
x
0
=
x(t) + iy(t)
:
r(t)
det(f (t); f 0 (t))
Im(z 0 (t)z(t))
xy x0 y
=
=
, où z(t) = x(t) + iy(t):
x2 + y 2
kf (t)k2
jz(t)j2
c) Exemples d’utilisations
On considère une solution non nulle y de l’équation di¤érentielle linéaire homogène (E) : y 00 (t) + (1 + "(t))y(t) = 0:
On a (y(t); y 0 (t)) 6= (0; 0) par Cauchy-Lipschitz.
de classe C 1 tels que (y(t); y 0 (t)) = (r(t) cos (t); r(t) sin (t)):
( 0
( 0
r cos
r 0 sin = r sin
r = "(t)r(cos )(sin )
L’équation (E) s’écrit alors
0
r0 sin + r 0 cos = (1 + "(t))r cos
= 1 + "(t)(cos )2
Donc il existe r et