Fonction de répartition - LMPT

Chapitre 4
Fonction de répartition
4.1 Définition
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P).
Définition 4.1.1. On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X (ou de la loi
PX ) la fonction FX : R → [0, 1] définie par
FX (t) = P(X ≤ t) = PX (] − ∞, t]),
t ∈ R.
On voit tout de suite que la fonction de répartition de X ne dépend en fait que de PX .
Donc si deux variables aléatoires ont même loi, elles ont même fonction de répartition.
Une propriété fondamentale est que la réciproque est vraie. C’est une conséquence du
Théorème de Dynkin vu en section 1.6.
Proposition 4.1.2. La fonction de répartition caractérise la loi : Si deux variables aléatoires X et Y ont même fonction de répartition alors PX = PY .
Démonstration. PX et PY coïncident sur le π -système {] − ∞, a] | a ∈ R} qui engendre B(R)
et donc elles coïncident sur B(R) d’après la proposition 1.6.5.
Exemple 4.1.3. 1) Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli B( 23 ). La
fonction de répartition de X est
FX (t) =

 0

si t < 0
si 0 ≤ t < 1 .
si t ≥ 1
1
3
1
Plus généralement, la fonction de répartition d’une variable aléatoire à valeurs dans un
ensemble fini sera toujours une fonction “en escalier”.
1
2) Soit X une variable aléatoire de densité f (x) = 2√
1 (x). Alors la fonction de
x ]0,1]
répartition de X vaut
FX (t) = P(X ≤ t) = PX (] − ∞, t]) =
C’est-à-dire
Z

 0√
FX (t) =
t

1
f (x)dλ(x) =
[−∞,t]
Z
t
−∞
1
√ 1 (x)dx.
2 x ]0,1]
si t < 0
si 0 ≤ t < 1 .
si t ≥ 1
Les fonctions de répartition de certaines lois usuelles sont calculées en section 4.4
CHAPITRE 4. FONCTION DE RÉPARTITION
4.2
Propriétés
Proposition 4.2.1. Une fonction de répartition FX vérifie :
i. FX est croissante,
ii. FX est continue à droite et admet une limite à gauche en tout point de R,
iii. limt→−∞ FX (t) = 0 et limt→+∞ FX (t) = 1.
Démonstration. i. découle de la propriété de croissance des mesures de probabilité.
ii. FX étant croissante et bornée, elle admet des limites à gauche et à droite en tout point
de R. Soit t0 ∈ R, pour montrer la continuité à droite en t0 , il suffit de montrer que la limite
à droite en t0 de FX vaut FX (t0 ) en calculant par exemple limn→+∞ FX (t0 + n1 ). Or, on a
l’égalité ] − ∞, t0 ] = ∩n∈N∗ ] − ∞, t0 + n1 ] et la continuité monotone séquentielle de PX donne
limn→+∞ PX (] − ∞, t0 + n1 ]) = PX (] − ∞, t0 ]) = FX (t0 ). D’où la continuité à droite.
iii. Encore une fois, FX étant croissante et bornée, ces deux limites existent. Les calculs
découlent également de la continuité monotone séquentielle de PX en considérant ∩n∈N ] −
∞, −n] = ∅ pour la première limite et ∪n∈N ] − ∞, n] = R pour la seconde.
Proposition 4.2.2. Si FX est la fonction de répartition de X , on a pour tout x ∈ R,
P(X = x) = FX (x) − lim FX (t).
t→x−
En particulier, FX est continue en x ∈ R si et seulement si P(X = x) = 0.
Démonstration. Il suffit de montrer que limt→x− FX (t) = P(X < x). (exercice)
Remarque 4.2.3. Toute fonction F : R → [0, 1] vérifiant les points i., ii. et iii. est la fonction
de répartition d’une certaine loi de probabilité sur R (admis).
Exemple 4.2.4. Soit F la fonction définie sur R par
F (t) =

 0

t
2
1
si t < 0
si 0 ≤ t < 1 .
si t ≥ 1
F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire X . On a P(X = x) = 0 pour tout
x 6= 1 et P(X = 1) = 12 . On a aussi P(0 < X < 1) = limt→1− F (t) − F (0) = 12 .
4.3 Loi à densité
Proposition 4.3.1. Si X est une variable aléatoire de densité f , alors la fonction de réparR
tition FX de X est donnée par, pour tout t ∈ R, FX (t) = [−∞,t] f (x)dλ(x) et est continue sur
R. De plus, si f est continue en x0 ∈ R, alors FX est dérivable en x0 et FX0 (x0 ) = f (x0 ).
Démonstration. La première partie est évidente. Supposons f continue en x0 ∈ R et fixons
ε > 0. Pour tout h > 0, on a
Z
F (x + h) − F (x )
1 Z
1
X 0
X 0
− f (x0 ) = f (x)dλ(x) −
f (x0 )dλ(x)
h
h [x0 ,x0 +h]
h [x0 ,x0 +h]
Z
1
≤
|f (x) − f (x0 )|dλ(x).
h [x0 ,x0 +h]
Or, par continuité de f en x0 , il existe h > 0 tel que pour tout x ∈ [x0 , x0 + h], |f (x) − f (x0 )| <
X (x0 )
ε. Et donc pour h suffisamment petit, | FX (x0 +h)−F
− f (x0 )| ≤ ε, ce qui montre que FX
h
est dérivable à droite et que sa dérivée à droite vaut f (x0 ). On obtient la même chose à
gauche (exercice) en prenant h < 0.
4.4. FONCTIONS DE RÉPARTITION DE QUELQUES LOIS USUELLES
Attention, une fonction de répartition continue n’entraine pas nécessairement l’existence d’une densité [Un contre exemple est donné en prenant pour fonction de répartition
l’escalier de Cantor]. Un critère simple garantissant l’existence d’une densité est le suivant.
Proposition 4.3.2. Si X est une variable aléatoire dont la fonction de répartition FX est
continue et C 1 par morceaux (c-à-d qu’il existe x0 = −∞ < x1 < . . . < xn−1 < xn = +∞ telle
que FX est C 1 sur chaque intervalles ]xi , xi+1 [, i = 0, . . . , n − 1), alors X est une variable
aléatoire à densité dont une densité est donnée par
f (x) =
FX0 (x)
n’importe quoi
si FX dérivable en x
.
sinon
Démonstration. Sur chaque ]xi , xi+1 [ si a < b ∈]xi , xi+1 [, la fonction f est continue sur
Rb
[a, b] et donc intégrable. On a a f (x)dx = FX (b) − FX (a). En passant à la limite quand
Rb
a
xi (ou b → xi+1 ) et par continuité de FX , on obtient, xi f (x)dx = FX (b) − FX (xi ) et
R x→
i+1
f (x)dx = FX (xi+1 ) − FX (a) (où il faut lire FX (−∞) = 0 et FX (+∞) = 1). En découpant
a
Rb
le support de l’intégrale suivant les xi , on en déduit que pour tout a < b ∈ R, a f (x)dx =
FX (b) − FX (a) = PX ([a, b]). Ce qui montre que PX admet la fonction f comme densité.
Exemple 4.3.3. Si X est une variable aléatoire de fonction de répartition
F (t) =

 0

1
3t
1 − 23 e−t+1
si t < 0
si 0 ≤ t < 1 ,
si t ≥ 1
alors X admet une densité donnée par f (x) = 31 1[0,1] (x) + 23 e−x+1 1[1,+∞[ (x).
4.4 Fonctions de répartition de quelques lois usuelles
Les résultats suivants ne sont pas à connaître par cœur. Il sera plus intéressant de savoir
comment les retrouver.
Lois discrètes
Lois de Bernoulli
Proposition 4.4.1. La fonction de répartition d’une loi B(p) est F = (1 − p)1[0,1[ + 1[1,+∞[ .
Démonstration. (exercice)
Lois uniformes discrètes
Proposition 4.4.2. La fonction de répartition d’une loi U{a1 , . . . , an } est
F (t) =
Démonstration. (exercice)
1
Card{1 ≤ i ≤ n | ai ≤ t}.
n
CHAPITRE 4. FONCTION DE RÉPARTITION
Lois géométriques
Proposition 4.4.3. La fonction de répartition d’une loi G(p) est F (t) = (1−(1−p)btc )1R+ (t).
Démonstration. Soit X ∼ G(p). X étant à valeurs dans N∗ , on FX (t) = 0 si t < 1 et FX (t) =
FX (k) si k ≤ t < k + 1 pour k ∈ N∗ . Pour calculer FX (k),
1ère méthode : c’est ce qui a été fait remarque 3.5.11. On a montré que P(X > k) = (1 − p)k
et donc FX (k) = 1 − (1 − p)k .
2ème méthode :
FX (k) = P(X ≤ k) =
k
X
P(X = i) =
i=1
k
X
i=1
p(1 − p)i−1 = p
1 − (1 − p)k
= 1 − (1 − p)k .
1 − (1 − p)
Lois à densité
Lois uniformes
Proposition 4.4.4. La fonction de répartition d’une loi U([a, b]) est
F (t) =
Rt

 0

t−a
b−a
1
si t < a
si a ≤ t < b .
si t ≥ b
1
Démonstration. F (t) = b−a
−∞ 1[a,b] (x) dx.
Exemple 4.4.5. Si X1 , . . . , Xn sont des variables aléatoires indépendantes
toutes de loi

si t < 0
 0
U[0,1] alors la variable max{X1 , . . . , Xn } a pour fonction de répartition t 7→
tn si 0 ≤ t ≤ 1

1
si t > 1
n−1
et donc pour densité x 7→ nx
1[0,1] (x).
En effet, en notant F la fonction de répartition de la loi U[0,1] , pour t ∈ [0, 1], par indépendance,
P(max{X1 , . . . , Xn } ≤ t) = P(X1 ≤ t, . . . , Xn ≤ t) = P(X1 ≤ t) · · · P(Xn ≤ t) = F (t)n = tn .
Exercice 4.4.6. Soit α > 0 et β ∈ R. En utilisant la fonction de répartition, montrer que si
X ∼ U([a, b]), alors Y = αX + β ∼ U([αa + β, αb + β]). En particulier, si X ∼ U([0, 1]), alors
Y = (b − a)X + a ∼ U([a, b]).
Lois exponentielles
Proposition 4.4.7. La fonction de répartition d’une loi E(λ) est F (t) = (1 − e−λt )1R+ (t).
Rt
Démonstration. Si t < 0, F (t) = 0 et si t ≥ 0, F (t) = 0 λe−λx dx = 1 − e−λt .
Voici deux conséquences de cette proposition et du fait que la fonction de répartition
caractérise la loi.
Proposition 4.4.8. Si la variable aléatoire X suit une loi E(λ), λ > 0, alors la variable
aléatoire Y = bXc + 1 suit une loi G(1 − e−λ ).
4.4. FONCTIONS DE RÉPARTITION DE QUELQUES LOIS USUELLES
Démonstration. Pour tout t ≥ 1,
FY (t) = P(bXc ≤ t − 1) = P(X < btc) = 1 − e−λbtc .
La propriété d’absence de mémoire caractérise les lois exponentielles.
Proposition 4.4.9. Si la variable aléatoire X vérifie
∀t ≥ 0, ∀s ≥ 0,
P(X > t + s | X > s) = P(X > t)
alors elle suit une loi exponentielle.
Démonstration. On montre que la fonction G(t) = P(X > t) = 1 − FX (t) vérifie l’équation
fonctionnelle G(t + s) = G(t)G(s) pour tout t, s ≥ 0 et que G(0) = 1. G est donc une fonction
exponentielle sur R+ .
Exercice 4.4.10. Soit λ > 0. En utilisant la fonction de répartition, montrer que si X ∼ E(1)
alors Y = X
λ ∼ E(λ).
Exercice 4.4.11. Montrer que si X1 , . . . , Xn sont des variables aléatoires indépendantes
de lois respectives E(λi ), i = 1, . . . , n, alors min{X1 , . . . , Xn } suit une loi E(λ1 + · · · + λn ).
Lois normales
Proposition 4.4.12. La fonction de répartition d’une loi N (0, 1) est Φ(t) = √1
De plus, si X ∼
N (m, σ 2 )
alors
X−m
σ
∼ N (0, 1) et FX (t) =
Φ( t−m
σ ).
2π
Rt
−
−∞ e
x2
2
dx.
Démonstration. On utilise le changement de variable y = x−m
σ dans l’intégrale.
En général on a recours à une table des valeurs de la fonction Φ et on utilise la deuxième
partie de la proposition pour les calculs concernant une loi N (m, σ 2 ).