Théorie algébrique des formes quadratiques

EPFL -Section de Math´ ematiques
Th´eorie alg´ebrique des formes quadratiques
Prof. E. Bayer Fluckiger
Semestre d’´et´e 2007
Feuille d’exercices 2 21.03.07
Tout au long de cette feuille d’exercices, on d´esigne par kun corps quelconque. Par ’espace
vectoriel’, nous entendons ’espace vectoriel sur k’. Si Iet Jsont deux ensembles, on d´esigne
par Maps(I, J) l’ensemble des fonctions de Ivers J. Si X,Yet Zsont trois espaces vectoriels,
on note Hom(X, Y ) l’espace vectoriel des application lin´eaires de Xvers Y, et Bilin((X, Y ), Z)
l’espace vectoriel des applications bilin´eaires X×Y−→ Z. Enfin, on pose X∗= Hom(X, k).
Exercice 1. Espace vectoriel de base un ensemble donn´e.
Soit Iun ensemble. Consid´erons k(I), l’espace vectoriel des fonctions f:I−→ ktelles que f(i)
est non nul seulement pour un nombre fini de i∈I. Pour i∈I, notons eil’´el´ement de k(I)
dont toutes les composantes sont nulles, sauf la i-i`eme qui vaut 1. Alors {ei, i ∈I}est une base
de k(I)sur k. Montrer que, pour tout espace vectoriel X, il existe une bijection canonique
φX: (Hom(k(I)−→ X)) −→ Maps(I, X).
Ces bijections doivent ˆetre canoniques dans le sens suivant:
i) Si Xet Ysont deux espaces vectoriels, et si f:X−→ Yest une application lin´eaire, alors
le diagramme suivant commute:
Hom(k(I)−→ X)◦f//
φX
Hom(k(I)−→ Y)
φY
Maps(I, X)◦f//Maps(I, Y ).
ii) De plus, on demande que, pour tout i∈I, on ait φk(I)(identit´e)(i) = ei.
Exercice 2. Produit tensoriel de deux espaces vectoriels.
Soient Vet Wdeux espaces vectoriels. Le but de cet exercice est de montrer l’existence
d’un espace vectoriel VNkW, appel´e produit tensoriel de Vet W, qui repr´esente le foncteur
Bilin((V, W ), .), dans un sens que nous allons pr´eciser plus bas (n’ayez pas peur si vous ne savez
pas ce qu’est un foncteur, on n’en aura pas besoin).
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Soit I=V×W. Consid´erons le sous-espace U⊂k(I)engendr´e par les ´el´ements de la forme
e(v+v0,w)−e(v,w)−e(v0,w),
e(v,w+w0)−e(v,w)−e(v,w0),
λe(v,w)−e(λv,w),
λe(v,w)−e(v,λw),
o`u λ∈k,v, v0∈Vet w, w0∈W. Soit
VO
k
W:= k(I)/U.
Pour v∈Vet w∈W, on note v⊗wl’image de e(v,w)par l’application quotient k(I)−→
VNkW. Les ´el´ements v⊗wengendrent VNkW, mais ne sont clairement pas lin´eairement
ind´ependants.
i) V´erifier que l’application canonique:
bV,W :V×W−→ VO
k
W,
(v, w)7→ v⊗w
est bilin´eaire. Soit maintenant Xun espace vectoriel, et b:V×W−→ Xune application
bilin´eaire. Montrer qu’il existe une unique application lin´eaire
˜
b:VO
k
W−→ X,
telle que ˜ b(v⊗w) = b(v, w).
ii) En utilisant la question pr´ec´edente, montrer que, pour tout espace vectoriel X, il existe une
unique bijection
ψX: Hom(VO
k
W, X)−→ Bilin((V, W ), X),
v´erifiant des conditions de compatibilit´e analogues aux point i) et ii) du pr´ec´edente exercice
(on explicitera ces conditions). L’espace vectoriel VNkWest appel´e le produit tensoriel de
Vet W. On le note parfois aussi VNWlorsqu’il n’y a pas de confusion possible quant `a la
d´ependance en k.
iii) Montrer que, si V,W,Eet Fsont quatre espaces vectoriels, et si f:V−→ Eet g:W−→ F
sont deux applications lin´eaires, alors il existe une unique application lin´eaire
f⊗g:VOW−→ EOF,
telle que (f⊗g)(v⊗w) = f(v)⊗g(w). En termes cat´egoriques, cela signifie que l’association
(V, W )−→ VNWest fonctorielle.
L’objet VNWest essentiellement unique, dans le sens vague suivant: imaginons que, pour
tout triplet (V, W, X) d’espaces vectoriels, on ait la donn´ee d’un espace VN0W, et de bijec-
tions ψ0
Xsatisfaisant les mˆemes propri´et´es que VNWet ψX. Alors VNWet VN0Wsont
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canoniquement isomorphes. Ceci est ´evident si l’on est familier avec les cat´egories; sinon, c’est
une v´erification pas tout `a fait ´evidente que l’on ne demande pas de faire ici.
Exercice 3. Commutativit´e, associativit´e et distributivit´e du produit tensoriel. El´ement neutre.
i) Soient U, V et Wtrois espace vectoriels. Il est clair que UN(VNW) et (UNV)NW
ne sont pas ´egaux en tant qu’ensembles. Cela dit, ils sont canoniquement isomorphes. Plus
pr´ecis´ement, montrer qu’il existe un unique isomorphisme lin´eaire
UO(VOW)−→ (UOV)OW,
envoyant u⊗(v⊗w) sur (u⊗v)⊗w, pour tous u∈U,v∈Vet w∈W. Cet isomorphisme
nous permet en pratique d’identifier UN(VNW) et (UNV)NW; cela a donc un sens de
parler de l’objet UNVNW.
ii) Montrer qu’il existe un unique isomorphisme lin´eaire
VOW−→ WOV,
envoyant v⊗wsur w⊗v. Remarquer que, lorsque V=W, cet isomorphisme est une involution
non triviale (elle permute les facteurs).
iii) Montrer qu’il existe un unique isomorphisme
(VMW)OU−→ (VOU)M(WOU),
envoyant (v, w)⊗usur (v⊗u, w ⊗u).
iv) Soit W=k. Montrer que V⊗West alors canoniquement isomorphe `a V. Ainsi, l’espace
vectoriel kpeut ˆetre consid´er´e comme un ´el´ement neutre pour le produit tensoriel.
Exercice 4. Produit tensoriel d’espaces vectoriels de dimension finie.
Soient Vet Wdeux espaces vectoriels de dimension finie, de dimensions respectives net m.
i) Trouver la dimension de Bilin((V, W ), k) (comme k-espace vectoriel). En d´eduire la dimen-
sion de VNW. Prouver que, si v1, ..., vn(resp. w1, ..., wm) est une base de V(resp. de W),
alors (vi⊗wj,1≤i≤n, 1≤j≤m) est une base de VNW. En particulier, on peut identifier
canoniquement knNkmet kmn.
ii) Montrer qu’il existe une unique application lin´eaire
V∗OW∗−→ (VOW)∗,
telle que φ⊗ψ7→ (v⊗w7→ φ(v)ψ(w)), et que c’est un isomorphisme. En d’autres termes, le
produit tensoriel ’commute’ `a la formation du dual.
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ii) Montrer qu’il existe une unique application lin´eaire
V∗OW−→ Hom(V, W ),
telle que φ⊗w7→ (x7→ φ(x)w), et que c’est un isomorphisme. En particulier, il existe un
´el´ement canonique dans VNV∗, correspondant `a l’identit´e de Hom(V, V ). Essayez de d´ecrire
cet ´el´ement `a l’aide d’une base (v1, ..., vn) de V.
Exercice 5. Produit tensoriel de formes bilin´eaires. Produit tensoriel de formes quadratiques
(car(k)6= 2).
Dans cet exercice, tous les espaces vectoriels sont de dimension finie.
i) Soient Vet Wdeux espaces vectoriels. Consid´erons deux formes bilin´eaires b:V×V−→ k
et b0:W×W−→ k. Montrer qu’il existe une unique forme bilin´eaire
b⊗b0: (V⊗W)×(V⊗W)−→ k,
telle que (b⊗b0)(v1⊗w1, v2⊗w2) = b(v1, v2)b0(w1, w2). La forme b⊗b0est appel´ee le produit
tensoriel de bet b0. Montrer que b⊗b0est non d´eg´en´er´ee si et seulement si bet b0le sont toutes
deux. Montrer que b⊗b0est sym´etrique si bet b0le sont, et que la r´eciproque est vraie si bet
b0sont toutes deux non nulles.
ii) On suppose ici que char(k)6= 2. Vous savez alors qu’il existe une correspondance bijective
entre les formes quadratiques et les formes bilin´eaires sym´etriques, donn´ee par
(V, q)7→ (V, P (q))
et
(V, b)7→ (V, Q(b)),
o`u P(q)(x, y) := q(x+y)−q(x)−q(y) est la forme polaire de q, et Q(b)(x) = b(x,x)
2.
Soient (V, q) et (W, q0) deux espaces quadratiques. D´efinissons leur produit tensoriel comme
´etant l’espace
(V⊗W, q ⊗q0),
o`u
q⊗q0=1
2Q(P(q)⊗P(q0)).
Supposant V=kn,W=km,q=< x1, ...., xn>et q0=< y1, ..., ym>(o`u les xiet les yjsont
des ´el´ements de k), d´ecrire la forme q⊗q0sur l’espace vectoriel knNkm=kmn.
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