Trigonométrie - Formation Continue Diplomante

1
Trigonométrie : généralités.................................................................................................2
1.1 Le radian .........................................................................................................................2
1.2 Orientation ......................................................................................................................3
1.2.1
Cercle trigonométrique, orientation........................................................................3
1.2.2
Arc orienté ..............................................................................................................3
1.2.3
Mesure de l’angle orienté de deux vecteurs unitaires.............................................5
1.2.4
Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique. ...............................................7
1.3 Lignes trigonométriques, cosinus, sinus et tangente. .....................................................7
2
1.3.1
Définitions de sinus et cosinus ...............................................................................7
1.3.2
Propriétés de cosinus et sinus. ................................................................................8
1.3.3
Valeurs remarquables. ............................................................................................9
Etude des fonctions circulaire sinus, cosinus et tangente.................................................10
2.1 Fonctions périodiques...................................................................................................10
2.2 Fonction sinus et cosinus..............................................................................................11
2.2.1
Définition et périodicité........................................................................................11
2.2.2
Propriété de parité.................................................................................................12
2.2.3
Etude sur 0, π .....................................................................................................12
2.2.4
Equations trigonométriques ..................................................................................15
2.3 La fonction tangente. ....................................................................................................18
2.3.1
Définition..............................................................................................................18
2.3.2
Propriétés ..............................................................................................................19
2.3.3
Variations et courbe..............................................................................................20
UMN 5
Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
Fonctions trigonométriques. Fonctions trigonométriques
réciproques.
Dans ce chapitre, après un rappel sur la notion d’angle orienté, nous présentons les
fonctions trigonométriques usuelles (cosinus, sinus, tangente) que le lecteur a sans
doute déjà rencontrées ,puis les fonctions trigonométriques réciproques (Arccosinus,
Arcsinus, Arctangente).
1
1.1
Trigonométrie : généralités.
Le radian
Nous connaissons déjà deux unités de mesures des angles, le degré et le grade.
Le degré est utilisé depuis l’antiquité, il est lié au partage du cercle en six parties de
60° (60 est la base numérique des Babyloniens). Le grade est utilisé par les
géomètres, il est lié au système métrique et fut introduit à la révolution française.
Nous allons introduire une nouvelle unité qui permet d’associer naturellement
longueur et angle. Elle est utilisé par les scientifiques depuis le début du XXième
siècle.
On considère un cercle de centre O et de rayon R. La longueur de ce cercle est :
2πR .
L’angle au centre interceptant un arc de longueur
égale au rayon est un angle de 1 radian noté 1 rad.
On obtient immédiatement la correspondance
suivante π rad = 180° .
2
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
D’une manière plus générale : si a est la mesure en radians et b la mesure en degrés
d’un même angle, on peut utiliser le tableau de proportionnalité suivant :
La relation :
radians
Degrés
π
180
a
b
a
b
permet un conversion simple.
=
π 180
Degrés
0
30
45
60
90
120 135 150 180
radians
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
Il faut s’entraîner à placer les angles mesurés en radians sur le cercle.
1.2
Orientation
1.2.1 Cercle trigonométrique, orientation.
Considérons un cercle, il y a deux manières de le parcourir :
-
dans le sens des aiguilles d’une montre,
-
dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
On convient d’appeler sens positif ou direct le sens inverse des aiguilles d’une
montre. On dit alors que le cercle est orienté positivement.
Vous remarquerez que le sens direct est également le sens giratoire en France.
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 dont l’orientation est positive. On
parlera alors de sens positif ou trigonométrique.
Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radians d’un angle est égale à la mesure
en unités de longueur de l’arc qu’il intercepte.
1.2.2 Arc orienté
L’arc AB est orienté si et seulement lorsque l’on décide de parcourir cet arc, on
impose « d’aller » de A vers B.
3
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
A est l’origine de l’arc et B son extrémité.
Comment mesurer un arc orienté ?
le chemin de A vers B est
le chemin de A vers B est parcouru
parcouru dans le sens direct :
dans le sens indirect : une mesure
une mesure de l’arc orienté
de l’arc orienté AB est −a : ici
AB est a : ici
π
.
3
−
π
.
3
Une mesure de l’arc orienté AB est :
•
L’angle géométrique AOB si le parcours de A vers B se fait dans le sens direct.
•
Son opposé si le parcours de A vers B se fait dans le sens indirect.
Considérons, sur le cercle trigonométrique, un arc d’origine A et d’extrémité B dont
la mesure est α ; l’angle au centre AOB qui l’intercepte a donc pour mesure α (en
radians).
Il y a différentes manières de relier les points A et B, en effectuant éventuellement
une ou plusieurs fois le tour du cercle. On obtient alors des mesures différentes de cet
arc orienté AB .
•
α , α + 2 π , α + 4 π , … si on le parcourt dans le sens direct.
•
α , α − 2 π , α − 4 π , … si on le parcourt dans le sens indirect.
Une mesure de l’arc orienté AB est donc de la forme : α + 2kπ , k ∈ Z .
Parmi toutes ces mesures, une et une seule appartient à l’intervalle −π , π : elle est
appelée mesure principale de l’arc orienté AB .
4
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•
Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
On recherche la mesure principale de l’arc dont une mesure en radians est
29π
.
3
On retire 2π autant de fois qu’il est nécessaire, afin de « tomber » dans
l’intervalle
−π , π , soit 5 fois. La mesure principale de l’arc est donc
29π
π
− 5 × 2π = −
3
3
Pour trouver 5, on effectue la division de 29 par (2 fois le dénominateur) soit 6 et
on arrondit à l’entier le plus proche.
•
On peut utiliser la même règle pour les mesures négatives.
La mesure principale de l’arc dont une mesure en radians est −
−
27π
est donc
4
27π
3π
+ 3 × 2π = −
4
4
1.2.3 Mesure de l’angle orienté de deux vecteurs unitaires.
On appelle vecteur unitaire tout vecteur de longueur 1.
Les vecteurs OM , où M décrit le cercle trigonométrique de centre O, sont des
vecteurs unitaires.
!
!
Soit u et v deux vecteurs unitaires, et A et B les points du cercle trigonométrique
!
!
tels que OA = u et OB = v . Alors
-
b g
! !
!
!
L’angle orienté des vecteurs u et v , est le couple u , v correspondant à l’arc
orienté AB sur le cercle trigonométrique.
b g
-
!
!
! !
les mesures de l’angle orienté des vecteurs u et v , noté u , v sont aussi les
-
mesures de l’arc orienté AB .
! !
La mesure principale de u , v est la mesure principale de l’arc orienté AB .
b g
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
Soient deux points du cercle trigonométrique M et N tels que OMN soit équilatéral.
M étant placé, il y a deux façons de placer le point N.
Pour des commodités d’écriture, on confondra les notations de l’angle et de sa
mesure.
FH
IK π
3
π
Dans le cas de la figure 2, on a : FH OM ,ON IK = −
Dans le cas de la figure 1, on a : OM ,ON =
3
Le symbole = utilisé ici n’est pas adapté et abusif. En effet, on a également d’après
FH
IK
ce qui précède OM ,ON =
π
π π
+ 2π et pourtant
≠ + 2π
3
3 3
L’écriture mathématique correcte est la suivante :
FH
que OM ,ON
IK
est congrue à
FH OM ,ON IK ≡ π
3
2π . On dira
π
modulo 2π .
3
D’une manière générale a ≡ b c ⇔ a − b = kc où c ∈ Z .
Cette notation étant relativement lourde à manier, on adoptera l’abus de langage
FH OM ,ON IK = π
3
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
1.2.4 Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique.
bg
sur bC g (voir figure).
Soit C le cercle trigonométrique de centre O. On choisit le point I comme origine
bg
Soit x un nombre réel quelconque. Il existe un unique point M de C tel que x soit
e
bg
j
une mesure de OI , OM . Ce point est appelé le point de C associé à x.
bg
Inversement, soit M un point quelconque de C . M est associé à n’importe quelle
e
j
mesure de l’angle OI , OM , c’est-à-dire à tous les réels de la forme
b
g
x + 2 kπ k ∈ Z .
1.3
Lignes trigonométriques, cosinus, sinus et tangente.
1.3.1 Définitions de sinus et cosinus
Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel x (x est une mesure de
FH
IK
l’angle OI , OM ).
On appelle cosinus de x et sinus de x les coordonnées du point M dans le repère
FH O,i , jIK défini par OI = i! et OJ = !j (voir figure). On les note cos x et sin x . Ainsi,
le point M a pour coordonnées bcos x ,sin x g .
7
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
!
!
Donc si P est la projection de M sur O ,i parallèlement à O , j , on a : OP = cos x ,
c h
c h
!
de même, si Q est la projection de M sur O , j
c h
!
parallèlement à O ,i , on a
c h
OQ = sin x
1.3.2 Propriétés de cosinus et sinus.
De la définition de cos x et sin x , on tire immédiatement les propriétés suivantes :
•
Pour tout réel x et tout entier relatif k,
b
g
b
g
cos x + 2 kπ = cos x et sin x + 2 kπ = sin x
•
−1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 .
En utilisant Pythagore dans le triangle OPM, on démontre :
•
Pour tout réel x , cos 2 x + sin 2 x = 1
!
!
En considérant les symétries par rapport aux axes O ,i , O , j et D : y = x
c hc h
•
•
•
•
b g
b g
cosbπ − x g = − cos x et sinbπ − x g = sin x .
cosbπ + x g = − cos x et sinbπ + x g = − sin x .
Fπ I
Fπ I
cosG − xJ = sin x et sinG − xJ = cos x
H2 K
H2 K
cos − x = cos x et sin − x = − sin x .
Enfin, on admettra ces formules très utiles :
•
•
b g
sinba + bg = sin a cos b − cos a sin b
cos a + b = cos a cos b − sin a sin b
On en déduit :
b g
•
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a
•
sin 2 a =
b g
1 − cos 2a
2
et
cos 2 a =
b g
1 + cos 2a
2
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
(MATH05E01A)
1) Sachant que 0 < t <
2) Sachant que
π
1
et que sin t = , calculer cos t .
4
2
π
1
< t < π et que cos t = − , calculer sin t .
2
5
3) On donne sin
π
=
12
6− 2
π
, calculer cos
.
4
12
1.3.3 Valeurs remarquables.
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
bg
1
3
2
2
2
1
2
0
bg
0
1
2
2
2
3
2
1
cos x
sin x
On démontre par exemple cos
3
π
=
6
2
FH
IK
Soit M le point du cercle trigonométrique tel que, OI ,OM =
π
en radians. Soit
6
!
M ′ , le symétrique de M par rapport à O ,i .
c h
Le triangle OMM ′ est équilatéral, car l’angle au centre vaut 60° et les deux cotés
OM et OM ′ étant des rayons ont pour longueur 1. Soit P le milieu du segment
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
MM ′ , on a PM = PM ′ =
1
. Dans le triangle rectangle OMP, on applique
2
Pythagore. OM 2 = MP 2 + OP 2 ⇔ OP 2 = 1 −
Or cos
Cours
FG 1IJ
H 2K
2
=
3
3
⇒ OP =
4
2
π
π
3
> 0 , donc cos =
6
6
2
Pour les valeurs d’angles compris entre
π
et 2π , il suffit d’utiliser les propriétés des
2
fonctions cosinus et sinus pour retrouver les valeurs correspondantes.
FG 3π IJ = cosFG π − π IJ = − cosFG π IJ = − 2 ,
H 4 K H 4K
H 4K 2
F 5π I F π π I
FπI 3 .
sinG J = sinG + J = − cosG J = −
H 6 K H 2 3K
H 6K 2
cos
2
2.1
Etude des fonctions circulaire sinus, cosinus et tangente.
Fonctions périodiques.
Soit f une fonction définie sur D f et T un réel non nul. On dit que f est périodique et
que T est période, lorsque, pour tout réel x, x + T ∈ D f
•
et
b
g bg
f x+T = f x
Il suffit de connaître f sur un intervalle de longueur une période. On obtient toute
!
!
la courbe en effectuant des translations successives de vecteurs Ti et − Ti de la
courbe obtenue sur un intervalle de longueur une période.
•
Si T est période, alors tout multiple de T est période.
10
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•
Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
Parmi toutes les périodes, on privilégiera la plus petite des périodes positives. On
parlera alors de LA période de la fonction f. Lorsque l’on dira « f de période T »,
il s’agit en fait de la plus petite des période positives.
Traçons la courbe de la fonction f définie sur R, périodique de période 1, dont
bg
l’expression sur l’intervalle 0;1 est f x = x
2.2
Fonction sinus et cosinus.
2.2.1 Définition et périodicité.
A tout réel x, correspond un point M du cercle trigonométrique tel que x est une
FH
mesure en radians de l’angle orienté OI , OM
IK
A tout réel x , on peut donc associer les réels cos x et sin x coordonnées du point M,
il est donc possible de définir les deux fonctions suivantes :
sin :
RSR → −1;1
T x " sin x
et
cos :
RSR → −1;1
T x " cos x
Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période 2π .
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
En utilisant les premières propriétés mises en évidence dans ce cours,
b
g
b
g
cos x + 2 kπ = cos x et sin x + 2 kπ = sin x avec k = 1 , on établit que 2π est
b
g
b
g
période. De plus cos π + x = − cos x et sin π + x = − sin x , prouve que π n’est pas
période. Donc 2π est la plus petite période positive.
2.2.2 Propriété de parité.
La fonction cosinus est une fonction paire car ∀x ∈ R ,
La fonction sinus est une fonction impaire car ∀x ∈ R ,
b g bg
sinb − x g = − sinb x g .
cos − x = cos x .
En utilisant la propriété de périodicité, il suffit d’étudier les fonctions cosinus et
sinus sur un intervalle de longueur 2π . Pour pouvoir utiliser les propriétés de parité,
on centre celui-ci en 0. Finalement, il suffit d’étudier ces fonctions sur l’intervalle
0, π ; le reste du graphe de ces fonctions se déduisant par symétries (par rapport à
l’axe des ordonnées pour la fonction cosinus et par rapport à l’origine pour la
!
!
fonction sinus) et par translations successives de vecteurs 2πi et − 2πi
2.2.3 Etude sur 0, π .
Nous avons vu dans le chapitre sur la dérivation que les fonctions cosinus et sinus
sont dérivables sur R, de plus si la fonction u est dérivable sur I alors les fonctions
c b gh
composées x " sin u x
et
c b gh sont dérivables sur I.
x " cos u x
La fonction cosinus est strictement décroissante sur 0, π et la fonction sinus est
LM π OP et strictement décroissante sur LMπ ;π OP
N 2Q
N2 Q
strictement croissante sur 0,
Pour mettre en évidence ce théorème, il suffit de regarder sur le cercle, lorsque M
parcourt le cercle, comment se comportent les projections P et Q de M.
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
Nous avons dans un chapitre précédent que :
∀x ∈ R ,
cos ′ x = − sin x et
sin ′ x = cos x
La fonction sinus étant positive sur 0, π , on en déduit que la fonction cosinus est
décroissante sur 0, π .
LM π OP et négative sur LMπ ;π OP , on en déduit
N 2Q
N2 Q
L πO
Lπ O
que la fonction sinus est croissante sur M0, P et décroissante sur . M ; π P .
N 2Q
N2 Q
La fonction cosinus étant positive sur 0,
Les dérivées ne s’annulant qu’en des points isolés, on peut même dire que
monotonies sont strictes.
x
π
2
0
− sin x
cos x
π
1
0
-1
x
π
2
0
+
cos x
0
π
-
π
1
sin x
0
0
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
Courbes représentatives.
La fonction cosinus
La fonction sinus
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
b
2π
.
a
Les fonctions x " sin ax + b
g
b
g
et x " cos ax + b sont périodiques de période
En effet, par exemple pour le sinus :
FG FG
HH
sin a x +
IJ IJ
K K
2π
+ b = sin ax + 2π + b = sin ax + b
a
b
g
b
g
(MATH05E02A)
Soit la fonction f définie par : f ( x ) = 3 sin(2 x −
π
)
4
1) Comparer f ( x ) et f ( x + π ) ; conclure.
2) Calculer la dérivée de la fonction f.
3) Pour étudier le signe de la dérivée, on pose X = 2 x −
de x pour X = 0 , X =
π
; déterminer les valeurs
4
π
3π
,X =
, X = 2π .
2
2
4) Donner le tableau de variations de f sur l’intervalle
LMπ ; 9π OP et tracer la courbe
N8 8 Q
représentative de f dans un repère
2.2.4 Equations trigonométriques
•
cos a = cos b
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
a = b + 2 kπ , k ∈ Z
cos a = cos b ⇔ ou
a = −b + 2 k ′π , k ′ ∈ Z
FG
H
Nous allons résoudre : cos 2 x +
IJ
K
π
2
=−
4
2
Il faut se ramener au cas : cos a = cos b
FG
H
cos 2 x +
x=
IJ
K
FG
H
2x +
IJ
K
π 3π
=
+ 2 kπ
4
4
2
3π
π
π
=−
⇔ cos 2 x +
= cos
⇔ ou
4
2
4
4
3π
π
2x + = −
+ 2 k ′π
4
4
π
+ kπ
4
k ∈Z
,
⇔ ou
x=−
π
+ k ′π
2
,
k ′ ∈Z
Attention de ne pas oublier de diviser aussi 2 kπ et 2 k ′π . Ce sont des erreurs
courantes.
on dessine les solutions sur le cercle trigonométrique.
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•
Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
sin a = sin b
a = b + 2 kπ
sin a = sin b ⇔ ou
a = π − b + 2 k ′π
FG
H
Soit à résoudre : 2 sin −2 x +
k ∈Z
,
,
k ′ ∈Z
IJ
K
π
= 3
3
Il faut se ramener au cas : sin a = sin b
FG
H
IJ
K
FG
H
IJ
K
FG
H
IJ
K
π
π
3
π
π
= 3 ⇔ sin −2 x +
=
⇔ sin −2 x +
= sin
3
3
2
3
3
π π
−2 x + = + 2 kπ
x = − kπ
, k ∈Z
3 3
⇔ ou
⇔ ou
π
π
π
x = − − k ′π , k ′ ∈ Z
−2 x + = π − + 2 k ′π
3
3
6
2 sin −2 x +
Plaçons les points sur le cercle trigonométrique.
•
sin a = cos b
On se ramène à un des deux cas précédents par la transformation suivante :
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sin
Fonctions trigonométriques, réciproques.
FG π − xIJ = cos x
H2 K
FG
H
Résolvons : sin x −
FG
H
sin x −
IJ
K
FG π − xIJ = sin x
H2 K
ou cos
IJ
K
FG
H
π
π
= cos −2 x +
6
4
FG
H
IJ
K
FG FG
H H
IJ
K
π
π
π
π
= cos −2 x +
⇔ cos − x −
6
4
2
6
FG
H
⇔ cos − x +
x=−
IJ
K
Cours
FG
H
IJ
K
,
k ∈Z
−x +
IJ IJ = cosFG −2 x + π IJ
KK H 4 K
2π
π
= −2 x + + 2 k π
3
4
2π
π
= cos −2 x +
⇔ ou
3
4
2π
π
−x +
= 2 x − + 2 k ′π
3
4
5π
+ 2 kπ
12
⇔ ou
x=
2.3
11π 2
− k ′π
36 3
,
k ′ ∈Z
La fonction tangente.
2.3.1 Définition.
Soit un réel x. Si cos x ≠ 0 , on appelle tangente de x le réel défini par : tan x =
sin x
cos x
A tout réel x tel que cos x ≠ 0 , on peut donc associer le réel tan x , on définit ainsi la
fonction tangente :
cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
π
+ kπ , k ∈ Z
2
R|O− π + kπ ; π + kπ L → R
MN
tan : SPQ 2
2
|T
x
" tan x
18
k ∈Z
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Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
2.3.2 Propriétés
•
Cette fonction est périodique de période π .
π
π
+ kπ , k ∈ Z ⇒ x + π ≠ + k ′π , k ′ ∈ Z et
2
2
En effet, x ≠
b
g
tan x + π =
•
g
g
Cette application est impaire.
En effet, x ≠
b g
tan − x =
•
b
b
sin x + π
− sin x
=
= tan x
cos x + π
− cos x
π
π
+ kπ , k ∈ Z ⇒ − x ≠ + k ′π , k ′ ∈ Z et
2
2
b g
b g
sin − x
sin x
=−
= tan x
cos − x
cos x
Il résulte des deux propriétés précédentes que sa courbe est obtenue à partir de sa
LM π LM en effectuant une symétrie par rapport à
N 2N
représentation sur l’intervalle 0;
!
!
l’origine et des translations successives de vecteurs πi et − πi .
•
Nous avons vu dans le chapitre sur la dérivation que la fonction tangente est
dérivable sur R, de plus si la fonction u est dérivable sur I alors la fonction
c b gh sont dérivables sur I.
cos x cos x − sin xb− sin x g cos x + sin
tan ′ x =
=
composée x " tan u x
2
2
2
cos x
c b gh e
cos x
b gj b g
2
x
=
1
2
cos x
= 1 + tan 2 x
tan ′ u x = 1 + tan u x × u′ x
2
On retiendra cette formule très utile pour la suite du cours d'analyse:
tan′ x =
1
= 1 + tan 2 x
cos2 x
La dérivée étant strictement positive, la fonction tangente est strictement
OP
Q
croissante sur −
•
π π
;
2 2
LM
N
lim tan x = +∞
π
2
π
x<
2
x→
19
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UMN 5
Fonctions trigonométriques, réciproques.
lim sin x = 1
x→
π
2
En effet lim cos x = 0 +
π
2
π
x<
2
x→
Cours
U|
||
V| ⇒ lim tan x = +∞
||
W
π
2
π
x<
2
x→
La courbe admet donc des asymptotes verticales d’équations x =
π
+ kπ , k ∈ Z .
2
Tableau de variation
x
−π
2
π
2
0
1
+
2
cos x
+∞
tan x
0
−∞
b
g
La fonction x " tan ax + b a pour période
20
π
a
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UMN 5
Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
2.3.3 Equation tan a = tan b
tan a = tan b ⇔ a = b + kπ , k ∈ Z
Résolvons: 3 tan x = 3 .
On se ramène à l'équation type tan a = tan b
3 tan x = 3 ⇔ tan x =
3
1
π
=
⇔ tan x = tan
3
6
3
On applique le résultat du cours :
tan x = tan
π
π
⇔ x = + kπ , k ∈ Z
6
6
21
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UMN 5
Fonctions trigonométriques, réciproques.
Cours
(MATH05E03A)
Résoudre dans R et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique :
FG π − 2 xIJ = 1
H4 K
F πI
2) 2 sinG 3x − J = 2
H 3K
F πI F πI
3) sinG 3x − J = cosG 2 x − J
H 2K H 3K
F πI
4 ) 3 tanG 3x − J = 3
H 2K
1 ) 2 cos
22
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E01B)
Démontrer que pour tout réel t
1) ( cos t + sin t ) 2 = 1 + 2 cos t sin t
2) (cos t − sin t ) 2 = 1 − 2 cos t sin t
3) (cos t + sin t ) 2 + (cos t − sin t ) 2 = 2
4) (cos t + sin t ) 2 − (cos t − sin t ) 2 = 4 cos t sin t
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E01C)
Exprimer en fonction de sin t et cos t :
1 ) sin(3π + t )
4) cos( −π − t )
2) cos(5π + t )
5) cos(4π + t )
3) sin(4π − t )
6) sin(5π + t )
7) sin( −π − t )
8) cos
9) sin
FG π + t IJ
H2 K
FG 3π − t IJ
H2 K
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E03B)
Sachant que cos t < 0 et tan t = −
3
calculer cos t et sin t .
8
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E03C)
π
1
et que sin t = , calculer tan t .
2
4
π
1
2) Sachant que < t < π et que cos t = − , calculer tan t .
5
2
π
π
6− 2
3) On donne sin =
, calculer tan
.
12
4
12
1) Sachant que 0 < t <
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E09)
bg
b g
La fonction f définie sur R par f x = arctan 2 x + arctan x est strictement
croissante et continue comme somme de fonctions strictement croissantes et
continues.
bg
De plus f 0 = 0
Donc
π
admet un antécédent unique positif.
4
On prend la tangente de chaque membre :
π
Arc tan 2 x + Arc tan x =
⇒ tan Arc tan 2 x + Arc tan x = 1
4
tan Arc tan 2 x + tan Arc tan x
⇒
=1
1 − tan Arc tan 2 x tan Arc tan x
b g
b g
c b gh b
c b gh b
c
⇒
2x + x
1 − 2x2
h
g
g
=1
Soit 2 x 2 + 3x − 1 = 0 qui admet deux racines distinctes :
x1 =
−3 − 17
−3 + 17
et x2 =
4
4
Seule convient la solution positive donc S =
RS −3 + 17 UV
T 4 W
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E10)
bg
b
g
f x = Arcsin 2x + 1
•
Ensemble de définition : il faut et il suffit que −1 ≤ 2x + 1 ≤ 1
Soit D f = −1,0
•
Etude aux bornes du domaine :
π
π
f −1 = Arcsin −1 = −
et f 0 = Arcsin 1 =
2
2
•
b g
b g
bg
⇔
−1≤ x ≤0
bg
Variations : f est dérivable sur −1,0 et on a :
2
2
f′ x =
=
2
−4x 2 − 4x
1 − 2x + 1
bg
b
g
Donc f est strictement croissante sur D f .
d’où le tableau de variations
x
−1
0
f′
+
π
2
f
−
•
π
2
Concavité et point d'inflexion:
bg
f ′ est dérivable sur −1,0 et on a: f ′′ x =
f ′′ s'annule en x = −
FG
H
IJ
K
FH
b
g
4 2x + 1
−4x 2 − 4x
IK
3
1
, en changeant de signe, donc il y a un point d'inflexion
2
1
en − ,0 .
2
•
Tangentes aux points particuliers:
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Math05 - Trigonométrie
bg
lim f ′ x = +∞
x→−1
x>−1
bg
F 1I
f ′G − J = 2
H 2K
lim f ′ x = +∞
x→0
x<0
•
⇒
⇒
⇒
FG π IJ
H 2K
F πI
demi-tangente verticale au point G 0, J
H 2K
demi-tangente verticale au point −1,−
Equation de la tangente au point d'inflexion: y = 2x + 1
Représentation graphique :
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E11)
Les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon OA = OB = OC donc
π π 3π
OAC est isocèle de sommet O et d'angle C = − =
2 8
8
π
π
3π π
2
=
OH = OAcos = AH = OA sin = a
L'angle COA = π − 2
8
4
4
4
2
e
j
F
− Ga
H
eb
g
2 a I
+ J
2K
AB 2 = BC 2 − AC 2 = 4a 2 − CH 2 + AH 2 = 4a 2 − a − AH
= 4a
2
FF
2I
− GGa − a
GH H 2 JK
2
+
I
JJ
K
a2
= 4a 2
2
= 4a 2 − 2a 2 + a 2 2 = a 2 (2 + 2 )
a 2
π HB
2 = 2+ 2 =
2) cos =
=
8 AB a 2 + 2 2 2 + 2
a+
sin
π AH
a 2
1
2
=
=
=
=
8
AB 2a 2 + 2 2 2 + 2
tan
π
=
8
2− 2
2+ 2
=
2− 2
=
2+ 2
2
⋅
3−2
2
2
+ AH 2
j
2
AB = a 2 + 2
2+ 2
2
2− 2
2
6−4 2
= 3− 2 2 =
4− 2
d
i
2 −1
2
= 2 −1
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E12)
o
t
Déterminons l'ensemble de définition Dg = x ∈ R / −1 ≤ 3x − 4 x 3 ≤ 1
On peut étudier la fonction auxiliaire u: x ! 3x − 4 x 3 sur l’intervalle
bg
− 1 ,1 .
u est dérivable et u ' x = 3 − 12 x 2 .
On obtient le tableau de variations de la fonction u suivant :
x
−1
u′
−
−
1
2
1
2
0
+
1
0
1
−
1
u
−1
−1
bg
−1 ≤ u x ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ x ≤ 1 et donc Dg = − 1 ,1
LM − π , π OP sur D = − 1 ,1
N 2 2Q
gb x g = gb sin ϕ g = Arc sine3 sin ϕ − 4 sin ϕ j = Arc sinc sinb3ϕ gh
La fonction sinus est une bijection de
g
3
On retrouve l'exercice MATH05E05A avec X = 3ϕ
•
•
LM
N
OP ⇒ − 2π + π − 3ϕ ∈ LM − π , π OP et Arc sincsinb3ϕ gh = −π − 3ϕ
Q
N 2 2Q
L 1 O gb xg = −π − 3 Arc sin x
Pour x ∈ M − 1 , − P ,
N 2Q
O π πO
L π πO
ϕ ∈ P − , − P alors 3ϕ ∈ M − , P et Arc sinc sinb3ϕ gh = 3ϕ
Q 6 6Q
N 2 2Q
ϕ∈ −
π π
,−
2
6
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Math05 - Trigonométrie
OP
OP alors gb xg = 3 Arc sin x
Q
Q
Oπ π O
L π πO
ϕ ∈ P , P alors π − 3ϕ ∈ M − , P et Arc sinc sinb3ϕ gh = π − 3ϕ
Q6 2Q
N 2 2Q
O1 O
Pour x ∈ P ,1 P , alors gb x g = π − 3 Arc sin x
Q2 Q
1 1
Pour x ∈ − ; ,
2 2
•
On vérifie sur ces formules que g est continue sur
− 1 ,1
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E13)
La fonction x ! Arc tan x est croissante sur R.
1 1 1 1
1> > > > > 0
3 5 7 8
π
1
1
1
1
Donc : = Arc tan 1 > Arc tan > Arc tan > Arc tan > Arc tan
4
3
5
7
8
Soit :
1
1
1
1
0 < Arc tan + Arc tan + Arc tan + Arc tan < π
3
5
7
8
tan a + tan b
Utilisons : tan a + b =
1 − tan a tan b
b g
Calculons séparément
1
1
+
1
1I
4
F
tanG Arc tan + Arc tan J = 3 5 =
1 1 7
H
3
5K
1− ×
3 5
1 1
+
1
1
3
tan Arc tan + Arc tan = 7 8 =
1 1 11
7
8
1− ×
7 8
Puis de nouveau :
4 3
+
7
11 = 1
tan w1 =
4 3
1− ×
7 11
FG
H
IJ
K
R|w ∈
S|
Ttan w
1
1
0 ,π −
=1
RSπ UV
T2 W
⇒
w1 = Arc tan 1 =
π
4
1 π
=
avec x > 0 pour les valeurs :
x 2
x = 3 , x = 5 , x = 7 puis x = 8
En utilisant : Arc tan x + Arc tan
w1 + w2 = 2π
Comme w1 =
π
7π
alors w2 = Arc tan 2 + Arc tan 3 + Arc tan 7 + Arc tan 8 =
4
4
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E14)
b g
b g
φ : x ! Arc tan 2 x + Arc tan 3x
La fonction φ est continue, strictement croissante sur R, donc bijective de
R sur −π ; π
−
π
admet un antécédent et un seul sur R
4
b g
b g
L'équation Arc tan 2 x + Arc tan 3x = −
π
4
admet donc une solution et une seule
Calculons la tangente des deux membres.
b g
Utilisons : tan a + b =
tan a + tan b
1 − tan a tan b
b gh c b gh = −1
1 − tanc Arc tanb2 x gh tanc Arc tanb3x gh
R|
x =1
R
6 x − 5x − 1 = 0
|
5x
|
⇒ Sou
= −1 ⇒ S
1
1 − 6x
x
≠
|T 6
||x = − 1
T 6
c
tan Arc tan 2 x + tan Arc tan 3x
2
2
2
Comme nous avons raisonné par implication, vérifions si ces solutions sont bonnes.
Pour x = 1, Arc tan 2 + Arc tan 3 > 0 , donc 1 n'est pas solution
L’équation possédant une solution et une seule, nécessairement il s’agit de x = −
1
6
On obtient alors l’égalité :
1
1
1
1
Arc tan − + Arc tan −
= − Arc tan
+ Arc tan
3
2
3
2
FG IJ
H K
FG IJ FG
H K H
FG IJ
HK
FG IJ IJ = − π
H KK 4
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E15)
Démontrons que ∀x ∈ − 11
, ,
Arc sin 0 = Arc tan
Arc sin x = Arc tan
1− x2
sont dérivables sur −1;1 et
1− x2
1− x2 −
F
GH
x
1
Arc sin ′ x =
Arc tan ′
1− x2
0
=0
1− 0
Les fonctions x ! Arc sin x et x ! Arc tan
bg
x
x
1− x2
I=
JK
1+
F
GH
−2 x 2
1− x2 + x2
2 1− x2
1
1− x2 =
1− x2
=
2
2
2
1− x + x
1− x2
x
I
JK
1− x2
Les dérivées sont donc égales ce qui prouve que les fonctions sont égales car elles
coïncident pour x = 0 .
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E16)
R| F
|| Arc tanGGH
Démontrons : Arc cos x = S
|| Arc tanFG
|T GH
•
Pour x ∈ 0,1
1− x2
x
1− x2
x
LM
N
posons : y = Arc cos x avec y ∈ 0 ,
alors cos y = x et sin y = 1 − x
2
F
Et donc : y = Arc cos x = Arc tanG
GH
•
I
JJK pour x ∈ 0,1
I
JJK + π pour x ∈ −1,0
π
2
LM
N
1− x2
donc tan y =
x
I
JJK
1− x2
x
pour x ∈ 0 ,1
b g
F
1− x I
π
=
+
Arc
tan
J
GGH
− x JK
Pour x ∈ − 1 , 0 on utilise Arc cos x + Arc cos −1 = π et l’imparité de la
fonction Arctangente. On obtient alors :
b g
F
GGH
Arc cos x = π − Arc cos − x = π − Arc tan
2
1− x2
x
I
JJK
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E01A)
On rappelle que ∀t ∈ R ,
sin 2 t + cos 2 t = 1
∀t ∈ R , sin t = 1 − cos 2 t
∀t ∈ R , cos t = 1 − sin 2 t
Vous vérifierez avec soin le signe sin t ou de cos t avant de conclure.
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E01B)
Ces démonstrations reposent sur la formule : ∀t ∈ R ,
cos 2 t + sin 2 t = 1
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E01C)
Vous pourrez utiliser la périodicité des fonctions sinus et cosinus et les propriétés de
symétrie. Il souhaitable de faire un dessin.
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E02A)
FG
H
Vous devez trouver : ∀x ∈ R , f ′( x ) = 6 cos 2 x −
π
4
IJ
K
Avec les propriétés mises en évidence, l’intervalle d’étude le plus simple est
LMπ ; 3π OP
N8 8 Q
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E03A)
Il suffit d’appliquer les résultats du cours. Vous ferez bien attention de diviser
également 2kπ lorsque vous cherchez x.
Exemple : 3x =
π
π 2 kπ
+ 2 kπ ⇔ x = +
2
6
3
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E03B)
On rappelle que sin 2 t + cos 2 t = 1 et 1 + tan 2 t =
1
cos 2 t
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E03C)
Cet exercice prolonge l’exercice MATH05E01A
On rappelle que sin 2 t + cos 2 t = 1 et 1 + tan 2 t =
1
cos 2 t
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E01A)
On rappelle que sin 2 t + cos 2 t = 1
•
cos 2 t = 1 −
1 15
=
16 16
OP π LM
Q 2N
Or t ∈ 0,
•
sin 2 t = 1 −
Or
•
cos
t∈
donc cos t > 0 et cos t =
15
4
1 24
=
25 25
OP π ,π LM
Q2 N
donc sin t > 0 et sin t =
24
5
π
π
π
> 0 ⇒ cos = 1 − sin 2
12
12
12
π
cos = 1 −
12
F
GH
6− 2
4
I
JK
2
=
1
8 + 2 12
4
Or ( 6 + 2 ) 2 = 6 + 2 + 2 12
Donc cos
π
=
12
6+ 2
4
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E01B)
•
bcos t + sin t g
Or ∀t ∈ R ,
2
= cos 2 t + sin 2 t + 2 sin t cos t
cos 2 t + sin 2 t = 1
b
Donc cos t + sin t
•
bcos t − sin t g
Or ∀t ∈ R ,
2
2
= 1 + 2 sin t cos t
= cos 2 t + sin 2 t − 2 sin t cos t
cos 2 t + sin 2 t = 1
b
Donc cos t − sin t
•
g
g
2
= 1 − 2 sin t cos t
On peut additionner membre à membre les deux égalités précédentes :
bcos t + sin t g + bcos t − sin t g = 1 + 2 sin t cos t + 1 − 2 sin t cos t
Donc bcos t + sin t g + bcos t − sin t g = 2
2
2
2
•
2
On peut soustraire membre à membre les mêmes égalités :
bcos t + sin t g − bcos t − sin t g = 1 + 2 sin t cos t − 1 + 2 sin t cos t
Donc bcos t + sin t g + bcos t − sin t g = 4 sin t cos t
2
2
2
2
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E01C
On utilise les formules du cours, ou plus simplement, on fait un dessin.
1) − sin t
2) − cos t
3) − sin t
4) − cos t
5) cos t
6) − sin t
7) sin t
8) − sin t
9) − cos t
Il est conseillé d’essayer le résultat obtenu avec des valeurs de t simples.
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de consulter votre tuteur.
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E02A)
bg b
g
1) ∀x ∈ R , x + π et f x = f x + π . La fonction est donc périodique de période
π ; elle n’est ni paire, ni impaire, on va l’étudier sur un intervalle de longueur π .
FG
H
2) La fonction est dérivable sur R et ∀x ∈ R , f ′( x ) = 6 cos 2 x −
3) X = 2 x −
FG
H
IJ
K
π
.
4
IJ
K
π
π
1
équivaut à x =
X+
. Les valeurs demandées sont données
4
2
4
dans le tableau suivant, ce qui nous permet de donner un intervalle d’étude de
longueur π , de la fonction f
LMπ ; 3π OP qui se révèle pratique pour l’étude.
N8 8 Q
bg
4) f ′ x est du signe de cos X
x
π
8
3π
8
7π
8
9π
8
0
π
2
3π
2
2π
X
bg
f′ x
+
0
−
0
3
+
0
bg
f x
0
−3
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Math05 - Trigonométrie
Remarques :
La longueur de l’intervalle d’étude est
9π π
− = π ce qui correspond à une période.
8
8
L’énoncé donne ici tous les intermédiaires. Les valeurs X =
les valeurs qui annulaient la dérivée.
b
π
3π
et X =
étaient
2
2
b
g
Le procédé utilisé ici est général ; les fonctions x ! sin ax + b et x ! cos ax + b
g
avec a réel non nul, peuvent s’étudier en posant X = ax + b .
Pour tracer la courbe, il est commode de prendre un repère orthogonal non
orthonormal, car les valeurs qui interviennent sont des « multiples » de
π
.
8
On dessine la courbe sur un intervalle de largeur égale à une période et on complète à
"
l’aide de translations de vecteurs kπi .
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de consulter votre tuteur.
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Math05 - Trigonométrie
(MATH05E03A)
Dans tout l’exercice, k et k ′ sont des entiers relatifs.
•
•
FG π − 2 xIJ = 1
H4 K 2
Fπ I 1
cosG − 2 xJ =
H4 K 2
cos
π
π
π
π
− 2 x = + 2 kπ ou
− 2 x = − + 2 k ′π
4
3
4
3
π π
π π
⇔
2 x = − − 2 kπ ou 2 x = + − 2 k ′π
4 3
4 3
π
7π
⇔
x =−
− kπ
ou
x=
− k ′π
24
24
⇔
Il s’agit ici d’un grossier piège :
FG π IJ = 2 S = ∅ (car 2 > 1)
H 3K
F πI F πI
sinG 3x − J = cosG 2 x − J
H 2K H 3K
F πI
Or sinG 3x − J = − cosb3x g = cosb3x + π g
H 2K
sin 3x −
•
FG
H
3x + π = 2 x −
cos( 3x + π ) = cos 2 x −
π
3
IJ ⇔ ou
K
π
+ 2 kπ
3
3 x + π = −2 x +
Donc
x=−
π
+ 2 k ′π
3
4π
+ 2 kπ
3
⇔ ou
x=−
•
FG
H
tan 3x −
IJ
K
π
3
1
=
=
2
3
3
⇔
3x −
2π 2 k ′π
+
15
5
π π
= + kπ
2 6
⇔
x=
2π kπ
+
9
3
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
© Inpl - janvier 2000
Math05 - Trigonométrie
(MATH05E03B)
On rappelle que sin 2 t + cos 2 t = 1 et 1 + tan 2 t =
3
tan t = − ,
8
donc cos 2 t =
1
cos 2 t
64
73
Or cos t < 0
cos t = −
8
73
et sin t = tan t × cos t = −
FG IJ
H K
8
3
3
× − =
8
73
73
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
© Inpl - janvier 2000
Math05 - Trigonométrie
(MATH05E03C)
Cet exercice prolonge l’exercice MATH05E01A
On rappelle que sin 2 t + cos 2 t = 1 et 1 + tan 2 t =
•
cos 2 t = 1 −
OP π LM
Q 2N
•
Or
donc cos t > 0 et cos t =
t∈
15
4
1
4 = 1
15
15
4
sin t
=
cos t
sin 2 t = 1 −
cos 2 t
1 15
=
16 16
Or t ∈ 0,
tan t =
1
1 24
=
25 25
OP π ,π LM
Q2 N
donc sin t > 0 et sin t =
24
5
24
sin t
tan t =
= 5 − 24
1
cos t
−
5
•
cos
π
π
π
> 0 ⇒ cos = 1 − sin 2
12
12
12
π
cos = 1 −
12
F
GH
6− 2
4
I
JK
2
=
1
8 + 2 12
4
Or ( 6 + 2 ) 2 = 6 + 2 + 2 12
Donc cos
π
=
12
6+ 2
4
et tan
π
=
12
6− 2
6+ 2
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de consulter votre tuteur.
© Inpl - janvier 2000