Chapitre 11

Ia.
−−
x→
+
∞
−
t)
x)
g(
t)
x)
g(
t)
g(
g(
lim
t→
t> 0
0
ZZ
t→
t> 0
0
ZZ
k)
θ
s(
k
co
t
lim
t→
t> 0
0
ZZ
k)
θ
s(
k
co
k
λ
Z
g(
lim
t→
t> 0
0
ZZ
k)
θ
s(
k
co
k
λ
k
ık
θ
e
π
g(
ZZ
k)
θ
s(
k
co
k
λ
k
ık
θ
e
X =1 0
Z
k
π
lim
t→
t>
0
ZZ
k
θ
s(
k
co
e
Xn =1 0
Z
k
π
Xn =1 0
Z
∞
−→
+
k
λ
k
ık
θ
π
e
Z0
+
∞
k
Xn =1
∞
lim
s(
co
k
ık
θ
k
λ
e
Z
π
Z
X
+
)−
−−
x→
−
+ −→
∞
(x
g(
t)
g(
x)
−−
−−
x→
+ −→
∞
−
x)
g(
t)
g(
lim
ZZ
t→
t> 0
0
ZZ
k
Xn =1
∞
+
−−
x→
−
+ −→
∞
−
x)
g(
t)
g(
lim
t→
t> 0
0
ZZ
k)
+
−−
x→
−
+ −→
∞
−
x)
g(
t)
g(
lim
t→
t> 0
0
ZZ
kθ
∞
−−
x→
+
∞
)
(t
ZZ
ZZ
Z
11
Chapitre
Promenons-nous sur le cercle
Enroulons la droite des réels
y
R
p
2
1
Pour aller se promener, il est peu pratique d’emmener la droite des
réels telle quelle : elle prend trop de place. C’est pourquoi nous allons
l’enrouler autour d’un cercle, mais comment faire ?
On
considère
un cercle de rayon 1 et de centre le centre du repère
³ →
− →
−´
O; ı ,  . On « colle » l’origine de la droite des réels sur le point I
de coordonnées (1 ; 0), et on enroule. Enfin, on imagine, car il va être
difficile de trouver le « bout » de la droite correspondant à −∞...Sans
compter qu’il va nous falloir pas mal de temps avant d’avoir fini de
l’enrouler, mais ceci est un autre problème...
0, 5
0
O
x
−1
y
R
p
2
5
2
1
0.5
π
0
O
x
−1
2π
2π + 1
Comme vous le savez bien, le périmètre du cercle unité vaut 2 × π × rayon = 2π puisque le rayon vaut 1.
Donc, le point d’abscisse 2π de la droite des réels vient se « coller » sur 0, le point d’abscisse 2π + 1 de la droite des réels vient se
« coller » sur 1 et plus généralement, tout point d’abscisse x voit se coller sur lui x + 2π, x − 2π, x + 2 × 2π, x + 3 × 2π, . . .
TRIGONOMÉTRIE
2
Nous pouvons de plus observer que nous allons ainsi associer à chaque élément de la droite des réels, donc à chaque nombre
réel x, un unique point sur le cercle.
b.
Cercle trigonométrique
Définition 1 Cercle trigonométrique
³ →
− →
−´
Dans un repère orthonormé O; ı ,  , Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, de rayon 1, muni d’une orientation. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
1
+
b
1
O
c.
La galette des Rois
Sachant qu’un « tour » correspond à 2π, on peut facilement savoir à quels points du cercle trigonométrique correspondent les
fractions de π
5π
6
3π
4
π
2
2π
3
π
3
π
4
π
6
0
π
− 56π
− 34π
− 23π
− π6
− π2
− π3
− π4
Bien sûr, on pourrait placer les points correspondant à n’importe quel réel, mais c’est un peu moins pratiquea .
d.
Le radian
Soit C le cercle trigonométrique (de rayon 1).
−−→
′ OT′ , qui est de même
ƒ
 un angle géométrique ; on effectue la translation de vecteur SO de cet angle : on obtient l’angle R
Soit RST

mesure que RST.
′ OT′ = AOM
ƒ
=R

Soient A et M les points d’intersection respectifs des demi-droites [OR′ ) et [OT′ ) avec le cercle C . On a alors RST
a Essayez donc de couper une galette des Rois en
p
2 parts...
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
3
II -. SINUS ET COSINUS
R′
b
A
b
O
R
b
b
M
b
b
T′
S
b
b
T
Définition 2 Radian
–
La mesure en radians de l’angle géométrique 
RST est égale à la longueur de l’arc AM
Demandez aux latinistes l’étymologie du mot radian...
Correspondance entre degrés et radians
Il y a proportionnalité entre la mesure des angles en degrés et mesure en radians ; il faut juste retenir que 180 degrés correspondent à π radians et on retrouve alors facilement que le coefficient de proportionnalité vaut...
II a.
Mesure en degrés
180
30
45
60
90
360
Mesure en radians
π
π/6
π/4
π/3
π/2
2π
Sinus et cosinus
Définitions
Nous venons de voir qu’il est simple de repérer des points associés à des sous-multiples de π, moins pour les autres.
Pour y remédier, nous allons revenir à notre bon vieux système d’abscisses et d’ordonnées.
J
sin(x)
0
x
cos(x) I
Pour les désigner, nous allons choisir des petits noms qui sonnent bien, par exemple...sinus et cosinus ! Ces noms vous disentils quelque chose ? Pourtant au collège, vous n’aviez pas du tout parlé de radian, de droite des réels qui tourne autour d’un
cercle et autres complications.
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
TRIGONOMÉTRIE
4
Définition 3 Cosinus et sinus
Quelque soit le réel x, on appelle cosinus et sinus du réel x l’abscisse et l’ordonnée du point du cercle trigonométrique
associé à x.
On les note cos(x) et sin(x).
Y aurait-il malgré tout un lien ? Mmmmm... regardons la figure précédente de plus près...
Pour des valeurs de x comprises entre 0 et π/2, on retrouve le soca
du socatoa vu au collège, donc au moins il n’y a pas de contradiction
avec ce qui a été vu dans le passé.
Nous avons même vu (cf exercice 1 page 9) comment calculer géométriquement les lignes trigonométriques de quelques valeurs particulières.
J
M
Ce petit dessin nous permet en plus de vérifier certaines propriétés
importantes. Par exemple
sin(x )
1
Propriété 1 Première formule de trigonométrie
x
0
cos(x )
C
I
Pour tout réel x
(cos x)2 + (sin x)2 = 1
Remarque 11.1 : On utilise souvent la notation cos2 x au lieu de (cos x)2 et de même pour le sinus.
On peut encore remarquer que
Propriété 2
Pour tout réel x,
−1 6 cos x 6 1 et
− 1 6 sin x 6 1
On remarquera également que les réels x et x + 2π sont associés au même point, donc ont le même cosinus et le même sinus.
Propriété 3 Périodicité
Pour tout réel x,
cos(x + 2π) = cos(x) et
sin(x + 2π) = sin(x)
Retenez les valeurs particulières suivantes
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
5
II -. SINUS ET COSINUS
π
2
2π
3
π
3
p
3
2
3π
4
π
4
p
2
2
5π
6
π
6
1
2
π
p
− 23
p
2
2
p
− 22
1
2
− 21
− 5π
6
− 21
p
− 23
− 3π
4
− 2π
3
b.
p
3
2
0
− π6
p
− 22
− π4
− π3
− π2
Fonctions sinus et cosinus
Nous venons de voir qu’à chaque réel x, nous pouvons associer une unique valeur de cos x et sin x. Nous allons donc pouvoir
définir deux fonctions cosinus et sinus
Définition 4 Fonctions cosinus et sinus
cos :
R
→
x
7→
[−1 ; 1]
cos x
sin :
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
R
→
x
7→
[−1 ; 1]
sin x
Sinus
1
−2π
−π
0
−1
π
2π
7
II -. SINUS ET COSINUS
c.
Parité
Définition 5 Fonction paire
Dire qu’une fonction définie sur un ensemble D est PAIRE signifie que :
Pour tout nombre x appartenant à D, f (−x) = f (x)
Dans ce cas, la courbe représentative de f dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
y
−x
x
O
x
f (−x) f (x)
Définition 6 Fonction impaire
Dire qu’une fonction définie sur un ensemble D est IMPAIRE signifie que :
Pour tout nombre x appartenant à D, f (−x) = − f (x)
Dans ce cas, la courbe représentative de f dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
TRIGONOMÉTRIE
8
y
f (x)
−x
O
x
x
f (−x)
Nous avons vu à l’exercice 2 page suivante que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus impaire.
d.
Périodicité
Vous avez bien sûr remarqué que cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x) pour tout réel x.
Cela se comprend à la fois sur le cercle trigonométrique du fait de l’enroulement (cf a. page 1) et sur la représentation graphique
des fonctions :
y
→
−
2π i
→
−
j
→
−
2π i
−3π
−π
3π
π
→
−
i
→
−
2π i
→
−
2π i
e.
Variations
Nous retiendrons les résultats suivants :
x
−π
Variations de cos(x)
−π/2
0
1
0
−1
π/2
π
0
−1
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
9
III -. EXERCICES
y
−π/2
−π
1
π/2
π
O
x
−1
x
−π
Variations de sin(x)
0
0
−π/2
π/2
1
π
0
0
−1
y
1
−π
−π/2
O
x
π
π/2
−1
III -
Exercices
L Exercice 1 Valeurs particulières
On veut calculer les lignes trigonométriques de π/3. Pour cela, on
considére le point M du cercle trigonométrique
correspondant au
¡
¢
réel π/3 et le point C tel que OC = cos π/3 .
J
M
2. Déduisez-en α.
4. Que représente le segment [C, M] pour le triangle OMI ?
¡
¢
¡
¢
5. Déduisez-en cos π/3 puis sin π/3 .
6. Imaginez maintenant un moyen de calculer les lignes trigonométriques de π/6 et de π/4.
L Exercice 2 Parité des fonctions sinus et cosinus
Que vous inspire ce dessin :
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
1
3. Montrez alors que OMI est en fait un triangle équilatéral.
¡
¢
sin π/3
1. Quelle est la nature du triangle OMI ?
π/3
0
¡
¢
cos π/3
α
C
I
TRIGONOMÉTRIE
10
J
x
sin(x )
0
cos(x )
I
− sin(x )
−x
L Exercice 3 Équation trigonométrique
1. À l’aide du cercle trigonométrique, résoudre sur l’intervalle [−π; π] l’équation
(E)
cos x =
p
3
2
2. Résoudre l’équation (E) sur l’intervalle [0; 2π].
L Exercice 4 Équation trigonométrique
1. À l’aide du cercle trigonométrique, résoudre sur l’intervalle [−π; π] l’équation
(E)
sin x = −
1
2
2. Résoudre l’équation (E) sur l’intervalle [0; 2π]
L Exercice 5 Déterminer une coordonnée manquante
1. Soit x un nombre réel de l’intervalle [0; π] tel que
cos x =
3
5
Déterminer la valeur exacte de sin x
2. Même question, mais x est maintenant un nombre réel de l’intervalle [−π; 0].
L Exercice 6 Périodicité
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = cos 2x.
1. Prouver que f est paire.
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
11
III -. EXERCICES
2. Prouver que f est périodique, de période π.
L Exercice 7 Périodicité
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = sin x cos x.
1. Prouver que f est impaire.
2. Prouver que f est périodique, de période π.
L Exercice 8 Établir une formule de trigonométrie
Montrer que l’égalité ci-dessous est vraie pour tout réel x :
¡
sin x + cos x
¢2
= 1 + 2sin x cos x
L Exercice 9 Déterminer une coordonnée manquante – Utilisation des symétries
1. Sachant que sin
π
=
12
p
p
6− 2
, démontrer que
4
cos
π
=
12
2. En déduire que
tan
3. En déduire les sinus et cosinus de
a=
11π
12
p
p
6+ 2
.
4
p
π
= 2 − 3.
12
et
b=
23π
12
L Exercice 10 Application d’une formule de trigonométrie
Dans cet exercice, on admet que l’on a, pour tout réel x,
sin 2x = 2sin x cos x.
et l’on va utiliser cette formule pour déterminer quelques sinus et cosinus « exotiques ».
1. On donne
cos x =
p
p
2+ 2
2
avec
a) Calculer sin x.
h πi
x ∈ I = 0;
.
4
b) En déduire sin 2x.
c) Déterminer un encadrement de 2x lorsque x est dans l’intervalle I.
π
d) Déduire des questions précédentes que x = .
8
2. On donne
p
p
6+ 2
cos x =
4
a) Calculer sin 2x en procédant comme précédemment.
avec
h πi
.
x ∈ I = 0;
4
b) En déduire x.
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
TRIGONOMÉTRIE
12
L Exercice 11 Établir une formule de trigonométrie
Montrer que l’égalité ci-dessous est vraie pour tout réel x :
¡
1 + sin x + cos x
¢2
= 2(1 + cos x)(1 + sin x).
L Exercice 12 Transformations radian ↔ degré
1. Convertir en radians les mesures suivantes données en degrés :
10,
53,
180,
60,
18.
2. Convertir en degrés les mesures suivantes données en radians :
π
,
3
2π
,
3
π
,
4
3π
.
8
π
,
2
L Exercice 13 Longueurs d’arcs circulaires
Sur un cercle de rayon 10cm, calculer la longueur de chacun des arcs de cercle interceptés par des angles au centre de mesure :
1. en radians :
a)
π
2
b)
π
3
c)
2π
3
d)
3π
4
e) 0, 2.
2. en degrés :
a) 90
b) 120
c) 80.
L Exercice 14
Tracer un cercle trigonométrique.
π ππ π
1. En noir, placer dessus à l’aide du compas, les points correspondant au angle de mesure , , , et π.
4 6 3 2
2. En rouge, placer les points de mesure
3. En vert, placer les points de mesure
2π 7π 5π
,
, .
3 4 6
− π 11π − 13π
,
,
.
3
4
6
L Exercice 15
On considère le cercle trigonométrique ci-dessous :
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
13
III -. EXERCICES
E
D
C
F
G
O
H
I
J
K
π
radian.
6
2. Parmi les égalités suivantes, indiquer celles qui sont vraies et corriger les
B
autres.
³−−→ −−→´
³−−→ −−→´
−π
−2π
e) OG , OK =
a) OC , OB =
A
3
³−−→ −−→´ 6
−3π
³−−→ −−→´
b) OA , OD =
π
2
³−→ −−→´
OB , OK =
f)
L
4π
2
c) OL , OD =
3
³−−→ −−→´
³−−→ −−→´
7π
−5π
d) OA , OH =
g) OA , OH =
6
6
1. Justifier que la mesure d’un secteur est de
L Exercice 16
Soit C 0 un cercle de centre A et B un point de ce cercle.
1. Construire les points C, D, E, et F du cercle C 0 tels que :
³−→ −→´
³−→ −−→´
π
3π
AB , AC =
AB , AD =
;
3
4
³−→ −→´
7π
AB , AE =
6
;
2. Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
³−→ −→´
³−−→ −→´
³−→ −→´
AE , AB
;
AD , AF
;
AC , AE
;
;
³−→ −→´
−3π
AB , AF =
4
³−→ −→´
AF , AC
;
³−→ −→´
AF , AE
L Exercice 17
ABCD est un carré. ABJ et CBK sont deux triangles équilatéraux tels que J est à l’intérieur du carré et K à l’extérieur.
C
D
K
J
A
Donner une mesure en radian de chacun des angles orientés suivants :
³−→ −−→´
³−→ −
³−→ −
→´
→´
3. KB , KC
5. JD , JA
1. AB , AJ
³−−→ −
³−−→ −−→´
→´
4. BC , BJ
2. DC , DA
B
L Exercice 18
Plusieurs mesures pour un même angle, mesure principale.
1. Sur un cercle trigonométrique, placer les graduations multiples de π6 .
³−−→ −−→´
2. Placer le point M tel que l’angle OA , OM mesure 176π rad.
3. Quelle autre mesure, en radians, aurait-on pu donner pour cet angle ?
4. Donner encore quatre mesures différentes de cet angle (toujours en radians) :
– deux positives.
– deux négatives.
5. Combien existe-t-il de mesures différentes de cet angle ?
6. Parmi toutes
les mesures
possibles, donner celle qui correspond à l’arc le plus court. Cette mesure est dite mesure principale
³−−→
−−→´
de l’angle OA , OM .
7. Donner les mesures principales de chacun des angles suivants :
23π
6
;
23π
3
;
−23π
4
;
−23π
2
;
15π
4
;
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
−79π
6
;
33π
8
;
17π
6
TRIGONOMÉTRIE
14
L Exercice 19
Représenter graphiquement, sur l’intervalle [−π; 3π], les fonctions f et g définies par :
f (x) = |cos(x)|
;
g (x) = sin(x) + |sin(x)|
L Exercice 20
Cosinus et sinus des angles associés.
b)
2. a)
b)
3. a)
b)
5π
3
2π
4π
3 et 3 .
En déduire les valeurs exactes de cos( 53π ), cos( 23π ), cos( 43π ), sin( 53π ), sin( 23π ) et sin( 43π ).
Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures 56π ; −6π et 76π .
En déduire les valeurs exactes de cos( 56π ), cos( −6π ), cos( 76π ), sin( 56π ), sin( −6π ) et sin( 76π ).
Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures 34π ; 54π et 74π .
En déduire les valeurs exactes de cos( 34π ), cos( 54π ), cos( 74π ), sin( 34π ), sin( 54π ), sin( 74π ), tan( 34π ), tan( 54π ) et
1. a) Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures
;
tan( 74π ).
L Exercice 21
Simplifier le plus possible :
3π
π
π
1. A = cos(−π) + cos(− ) + cos(− ) + cos(− )
4
2
4
π
3π
π
2. B = cos(0) + cos( ) + cos( ) + cos( ) + cos(π)
4
2
4
π
π
π
π
5π
3. C = sin( ) + sin( ) + sin( ) + sin( ) + sin( ) + sin(π)
6
3
2
3
6
L Exercice 22
On considère l’équation cos(x) =
1
2
1
1. a) Dans un repère orthonormée, tracer un cercle trigonométrique et la droite d’équation x = .
2
1
b) En déduire les solutions de l’équation cos(x) = .
2
2. En s’inspirant de la démarche effectuée à la question précédente, résoudre, à l’aide d’un cercle trigonométrique chacune
des équations suivantes :
p
p
2
− 3
a) cos(x) =
c) sin(x) =
2
2
p
1
− 2
b) sin(x) =
d) cos(x) =
2
2
L Exercice 23
Résoudre chacune des inéquations suivantes en utilisant un cercle trigonométrique :
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
15
IV -. MODULE : LES RADIANS
1. sin(x) ≥ 0 pour x ∈ [−2π; π]
3. sin(x) < 0 pour x ∈ [−π; 0]
2. cos(x) ≤ 0 pour x ∈ [π; 2π]
4. sin(x) > 0 pour x ∈ [0; 3π]
L Exercice 24
On considère les intervalles :
π
I1 =] − π; − [ ;
2
I2 =] −
π
; 0[ ;
2
I3 =]0;
π
[ ;
2
π
I4 =] ; π[
2
1. Sur un cercle trigonométrique, représenter par un arc de cercle chacun des intervalles définis ci-dessus.
2. Associer à chacun des systèmes ci-dessous un arc puis un intervalle.
§1
IV -
(
cos(x)
sin(x)
>
<
0
0
§2
(
cos(x)
sin(x)
>
>
0
§3
0
(
cos(x)
sin(x)
<
>
0
0
§4
(
cos(x)
sin(x)
<
<
0
0
Module : Les radians
L Exercice 25
Un vélodrome est une piste circulaire pour les coureurs cyclistes. On y circule en partant de A et dans le sens indiqué par la
flèche. On choisit comme unité de longueur le rayon de la piste donc le rayon vaut r = 1.
O
×
1. Roger a parcouru la moitié de la piste ; il est arrivé en C :
a) Placer C.
b) Quelle est la valeur exacte de la longueur de l’arc AC ?
c) A quelle mesure d’angle (en degrés) correspond ce parcours ?
2. Roger a parcouru les
3
4
de la piste. Il est arrivé en D.
a) Placer D.
b) Quelle est la valeur exacte de la longueur de l’arc AD correspondant à ce parcours ?
c) A quelle mesure d’angle (en degrés) correspond ce parcours ?
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008
×
A
TRIGONOMÉTRIE
16
3. Roger a parcouru un arc de longueur π2 .
a) Placer son point d’arrivée B.
b) A quelle mesure d’angle correspond ce parcours ?
L Exercice 26 Graduations principales
Le but de cet exercice est de placer les mesures principales connues en radian. On placera les points sur un cercle identique au
précédent.
1. a) Comment trace-t-on au compas la moitié d’un angle ?
b) En remarquant que
2. a)
π
3
=
2π
...
π
4
est la moitié de . . . . . ., placer sur le cercle le point M4 de graduation π4 .
donc pour placer π3 , il suffit de partager le cercle en . . . parties égales.
b) Placer sur le cercle le point M3 de graduation π3 .
3. En remarquant que
4.
5.
π
6 est la moitié de . . . . . ., placer sur le
3π
En remarquant que 4 = 3 × π4 , placer la graduation 34π .
Placer de même les graduations 53π , 76π .
cercle le point M6 de graduation π6 .
L Exercice 27 Angles orientés
à3 = π rad.
1. Sur le cercle précédent, on a placé un point M3 vérifiant OAM
3
à′ =
Sur ce même cercle, placer un point M′ , distinct de M3 tel que OAM
3
3
π
3
rad.
Définition 7 Sens direct-Positif-Trigonométrique
On appelle sens positif ou sens direct ou sens trigonométrique, le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens giratoire).
Définition 8 angle orientés
Pour distinguer les deux points M3 et M′3 correspondants à un même angle géométrique, on utilisera les notations suivantes
³−−→ :−−−→´
−−→ −−−→
à3 et puisque pour passer de OA à OM3 , on a un angle de π en tournant dans le sens trigo– OA , OM3 au lieu de OAM
3
³−−→ −−−→´
π
nométrique, on écrira OA , OM3 = + 3 rad,
³−−→ −−−→´
−−→ −−−→
à′ et puisque pour passer de OA à OM′ , on a un angle de − π en tournant dans le sens
– OA , OM′3 au lieu de OAM
3
3
3
³−−→ −−−→´
π
′
trigonométrique, on écrira OA , OM3 = − 3 rad,
³−−→ −−−→´ ³−−→ −−−→´
Les angles OA , OM3 et OA , OM′3 sont appelés angles orientés.
2. Placer sur le cercle précédent les points E, F, G et H tels que :
³−−→ −−→´
³−−→ −−→´
−π
−5π
a) OA , OE =
c) OA , OG =
4
6
³−−→ −−→´
³−−→ −−→´
−π
−7π
b) OA , OF =
d) OA , OH =
6
3
Merci
Je remercie Denis L E F UR et Aymar de S AINT S EINE
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008