NOMBRES PREMIERS

Chapitre 02 Nombres premiers
Terminale S Spécialité
NOMBRES PREMIERS
Dans ce chapitre, on se place dans N.
I- généralités
Définition Soit n un entier naturel. N est un nombre premier s’il admet exactement deux
diviseurs dans N : 1 et lui-même.
Remarques
• 0 n’est pas premier, il admet une infinité de diviseurs.
• 1 n’est pas premier, il admet un seul diviseur.
• 2 est un nombre premier
Théorème 1
Soit n ∈ N, n > 2.
Si n n’est pas premier, il admet au moins un diviseur premier : son plus petit diviseur
dans N autre que 1.
Démonstration
On va faire un raisonnement par l’absurde.
n n’est pas premier donc n admet au moins un diviseur strict (distinct de n) strictement
plus grand que 1.
Soit p le plus petit de ces diviseurs. On a 1 < p < n.
Supposons que p ne soit pas un nombre premier. Alors il existe d ∈ N tel que 1 < d < p
et d divise p. Alors d divise n, ce qui est impossible. p est donc un nombre premier.
Conséquence
√
Si n n’est divisible par aucun entier p premier tel que 2 6 p 6 n , alors n est premier.
Démonstration
Démonstration par contraposée : « si P vraie alors Q vraie »équivaut à « si Q faux alors
P faux ».
On va supposer que n n’est√
pas premier et on va démontrer qu’alors il admet un diviseur
premier inférieur ou égal à n.
Si n n’est pas premier, d’après le théorème précédent, il admet un diviseur premier p qui
est son plus petit diviseur , 1 < p < n.
Alors√n = p × q, q est aussi un diviseur de n donc p 6 q et p2 6 pq soit p2 6 n ou encore
p 6 n.
Voir dans le manuel Savoir-faire 5 p. 17 : Reconnaître si un entier est premier - Algorithme
Crible d’Erathostène
Dans un tableau carré de 100 cases, on écrit les cent premiers entiers naturels non nuls.
On va barrer tous les entiers qui ne sont pas premiers.
On barre le 1.
2 est un nombre premier. On barre tous les multiples de 2.
3 est un nombre premier. On barre tous les multiples de 3.
On continue ainsi.
A chaque étape, le premier nombre non barré est un nombre premier, en effet il n’admet
1
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aucun diviseur premier strict autre que 1.
A chaque étape, le premier multiple de p à barrer est p2 .
On s’arrête lorsqu’on a barré les multiples de 7. En effet si un entier naturel inférieur
ou
√ égal à 10 n’est pas premier, il est divisible par un nombre premier inférieur ou égal à
100 = 10 .
Propriété
Soient a et b deux entiers naturels non nuls et p un nombre premier. Si p divise ab, alors
p divise a ou p divise b.
Démonstration
Démonstration par disjonction des cas
• Si p divise a, alors la propriété est vraie
• Si p ne divise pas a, alors p est premier avec a puisque p admet pour seuls diviseurs 1
et p, et d’après le théorème de Gauss p divise b.
Théorème 2
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration
On fait une démonstration par l’absurde.
Supposons que l’ensemble des nombres premiers soit fini.
Notons p1 , p2 , · · · , pn les nombres premiers.
On considère le nombre N = p1 × p2 × · · · × pn + 1.
N n’est pas un nombre premier, donc il existe un nombre premier pk qui divise N .
Alors pk divise N − p1 × p2 × · · · × pn = 1, ce qui est impossible.
Il existe donc une infinité de nombres premiers.
5 mm
II- Décomposition en produit de facteurs premiers
Théorème 1
Tout entier naturel n > 2 s’écrit de manière unique comme produit de nombres premiers.
Démonstration
• Existence
2
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n entier naturel supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premier p> 2.
On a alors n = n1 × p1 avec n1 < n.
Si n1 = 1, alors n est premier.
Si n > 2, il existe un entier p2 premier qui divise n1 .
n1 = p2 × n2 donc n = p1 × p2 × n2 avec n2 < n1 < n.
On obtient ainsi une suite d’entiers naturels strictement décroissante et minorée par
1, donc cette suite est finie et le dernier terme est égal à 1.
Donc n = p1 × p2 × · · · × pk , avec p1 , p2 , · · · , pk premiers.
• Unicité admise
α2
αr
1
On note n = pα
1 × p2 × · · · × pr avec p1 , p2 , · · · , pr nombres premiers distincts deux à
deux et α1 , α2 , · · · , αr entiers naturels non nuls.
Exemple
Décomposer en produit de facteurs premiers 4312.
4312 2
2156 2
1078 2
539 7
77 11
11 11
1
Théorème 2
Soit a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
b divise a si et seulement si tout facteur figurant dans la décomposition de b en produit de
facteurs premiers figure aussi dans celle de a avec un exposant supérieur ou égal à celui
qu’il a dans la décomposition de b.
Démonstration
• Si a = b × q, la décomposition de a en produit de facteurs premiers s’obtient en faisant
le produit de la décomposition de b par celle de q.
Dans la décomposition de a figurent donc tous les facteurs qui figurent dans celle de b
avec un exposant au moins égal.
β1 β2
αk
βr
1 α2
• Soit a = pα
1 p2 · · · pk et b = p1 p2 · · · pr avec r 6 k et, pour tout i, 1 6 i 6 r,
βi 6 αi .
On a alors :
αr+1
β1 β2
1 −β1 α2 −β2
βr
k
r −βr
a = pα
p2
pr+1
· · · pα
· · · pα
r
1
k × p1 p2 · · · pr
α1 −β1 α2 −β2
αk
αr −βr αr+1
= p1
p2
· · · pr
pr+1 · · · pk × b.
b est donc un diviseur de a.
3