2014 Asie Corrige Ex. IVs

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Asie 2014
Exercice 4 Candidats ayant choisi la spécialité mathématique
Partie A
QUESTION 1
Le plus petit nombre premier est 2.
Par conséquent 𝐸 > 2 + 1 ≥ 2
On a 𝐸– 𝑝1 × 𝑝2 × … × 𝑝𝑛 = 1
Supposons qu’il existe un entier naturel i entre 1 et n tel que 𝑝𝑖 divise E,
De plus, on sait que 𝑝𝑖 divise également le produit 𝑝1 × 𝑝2 × … × 𝑝𝑛 .
Alors 𝑝𝑖 divise 1. Absurde (impossible).
Alors il n’existe aucun entier naturel i entre 1 et n tel que 𝑝𝑖 divise E.
Donc, E est premier avec chacun des nombres 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 .
QUESTION 2
Tout nombre supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier, donc E admet un diviseur premier. Ce
diviseur premier ne peut être aucun des nombres 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 ; donc il existe un autre nombre premier,
ce qui contredit l’hypothèse faite au départ. Il existe donc une infinité de nombres premiers.
Partie B
QUESTION 1a
k
Mk
2
3
3
7
4
15
5
31
6
63
7
127
8
255
9
511
10
1023
QUESTION 1b
Dans le tableau, si k est premier (2, 3, 5 et 7) on constate que 𝑀𝑘 (3, 7, 31 𝑒𝑡 127) l’est aussi
QUESTION 2a
1 + 2𝑝 + (2𝑝 )2 + (2𝑝 )3 + ⋯ + (2𝑝 )𝑞−1 est la somme des q premiers termes de la suite géométrique
de premier terme 1 et de raison 2𝑝 ; cette somme est égale à :
1 + 2𝑝 + (2𝑝 )2 + (2𝑝 )3 + ⋯ + (2𝑝 )𝑞−1 = 1 ×
(2𝑝 )𝑞 − 1
1 − (2𝑝 )𝑞
=
1 − 2𝑝
2𝑝 − 1
QUESTION 2b
D’après la question précédente,
(2𝑝 )𝑞 − 1 = (2𝑝 − 1) × (1 + 2𝑝 + (2𝑝 )2 + (2𝑝 )3 + ⋯ + (2𝑝 )𝑞−1 )
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Puisque il s′ agit de nombres entiers (somme de puissances de 2),
alors 2𝑝 − 1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 (2𝑝 )𝑞 − 1.
QUESTION 2c
Si k est un entier supérieur ou égal à 2 non premier alors il existe 2 entiers p et q tels que 𝑘 = 𝑝 × 𝑞.
Par conséquent 𝑀𝑘 = 2𝑘 − 1 = (2𝑝 )𝑞 − 1 est divisible par 2𝑝 − 1 d’après la question précédente.
𝑀𝑘 n’est donc pas premier
QUESTION 3a
𝑀11 = 211 − 1
= 2047
= 23 × 89
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑀11 𝑛’𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟.
QUESTION 3b
La conjecture de la question 1.b. est donc fausse : 11 est premier et 𝑀11 ne l’est pas
Partie C
QUESTION 1
D’après le test de Lucas-Lehmer, 𝑀5 (= 31) est premier si et seulement si 𝑢3 ≡ 0 modulo 𝑀5
𝑢5−2 = 𝑢3
= 𝑢2 2 − 2
= (𝑢1 2 − 2)2 − 2
= ((𝑢0 2 − 2)2 − 2)2 − 2
= 37634
= 31 × 1214
≡ 0[31]
Le test de Lucas-Lehmer fonctionne pour 𝑀5
QUESTION 2
Variables :
u, M, n et i sont des entiers naturels
Initialisation : u prend la valeur 4
Traitement : Demander un entier n > 3
M prend la valeur 𝟐𝒏 − 𝟏
Pour i allant de 1 à n −2 faire
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u prend la valeur 𝒖𝟐 − 𝟐
Fin Pour
Si M divise u alors afficher « M est premier »
Sinon afficher « M n’est pas premier »
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