Nombres premiers

TS : Nombres premiers
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Nombres premiers
I. Nombres premiers
Définition 1
Un nombre entier naturel p est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et luimême.
Exemple
l 2 est premier car ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 2.
l 0 n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs positifs.
l 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un diviseur positif, lui-même.
l Les nombres premiers inférieurs à 50 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Remarque
ä Un entier supérieur à 2 qui n’est pas premier est dit entier composé.
ä Si p est un nombre premier et n un entier, ou bien p divise n ou bien p est premier avec n
puisqu’ils n’ont que 1 comme diviseur commun.
Théorème 1
l Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier.
l Tout entier naturel supérieur ou égal à 2, non premier, admet un diviseur premier p inférieur
p
ou égal à n.
Démonstration
Soit n un entier naturel, n ≥ 2. Si n est premier, il est un diviseur premier de lui-même.
Si n n’est pas premier, il admet un diviseur positif autre que 1 et lui-même. L’ensemble E des diviseurs positifs, autres que 1 et n, est donc un ensemble
d’entiers naturels non vide. Il a donc un plus petit élément que l’on note p.
Si p n’était pas premier, il existerait un diviseur propre d de p qui serait plus petit que p ; comme d diviserait p et p divise n alors d diviserait n. d serait
donc un élément de E plus petit que p, ce qui est absurde.
Donc p est premier et divise n. Il existe par conséquentp
q entier tel que n = pq avec < q < n. Donc q est un diviseur propre de n et par conséquent
p ≤ q. On en déduit que p 2 ≤ pq soit p 2 ≤ n et donc p ≤ n.
Propriété 1 : Test de primalité
Soit n un entier supérieur à 2.
p
Si n n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à n alors n est un nombre
premier.
Démonstration
p
Si n n’est pas premier, il admet un diviseur premier inférieur ou égal à n d’après le théorème 1.
La propriété 1 est donc la contraposée de cette proposition.
Exemple Pour n = 97,
un nombre premier.
p
n ≈ 9, 8. Or 97 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 donc 97 est
Théorème 2
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration
Activité 3 p 50
Exercices no 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 p 64 - 66
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II. Décomposition en facteurs premiers
Théorème 3
Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de nombres premiers.
Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
α
α α
On écrira n = p 1 1 p 2 2 . . . p k k où p 1 , p 2 , . . . , p k sont des nombres premiers deux à deux distincts et
α1 , α2 , . . . , αk sont des entiers naturels non nuls.
Démonstration
l Existence
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On sait d’après le théorème 1 qu’il admet un diviseur premier p 1 . Alors n = p 1 n 1 où 1 ≤ n 1 ≤ n.
Si n 1 = 1 alors n = p 1 et la propriété est démontrée.
Si n 1 6= 1, alors n 1 admet un divieurs premier p 2 et on a donc n = p 1 p 2 n 2 où 1 ≤ n 2 ≤ n 1 .
On continue de la même manière tant que le quotient n i est supérieur à 1.
On forme ainisi une liste d’entiers n 1 , n 2 , . . . strictement décroissante et minorée par 1. Elle est donc finie, c’est-à-dire qu’à un certain rang, on a n m = 1
et donc n = p 1 p 2m où les p i sont des nombres premiers, pas nécessairement distincts.
α
α α
En regroupant les facteurs égaux entre eux, on obtient l’écriture p 1 1 p 2 2 . . . p k k .
l Unicité
Admise. Elle peut se démontrer avec le théorème de Gauss.
Théorème 4
Si l’entier naturel n supérieur ou égal à 2 admet pour décomposition en produit de facteurs premiers
α
r
α α
r
r
n = p 1 1 p 2 2 . . . p k k , les diviseurs positifs de n sont les entiers p 11 p 22 . . . p kk où r 1 , r 2 , . . . , r k sont des
entiers tels que 0 ≤ r i ≤ αi pour 1 ≤ i ≤ k.
Exemple
24 = 23 × 3 donc 24 a pour diviseurs les entiers 2α × 3β avec 0 ≤ α ≤ 3 et 0 ≤ β ≤ 1.
On peut lister tous les diviseurs de 24 à l’aide de l’arbre ci-dessous.
2
0
21
22
23
30 . . . 20 × 30 = 1
31 . . . 20 × 31 = 3
30 . . . 21 × 30 = 2
31 . . . 21 × 31 = 6
3 0 . . . 22 × 3 0 = 4
31 . . . 22 × 31 = 12
30 . . . 2 3 × 30 = 8
31 . . . 23 × 31 = 24
Cet arbre a 4 × 2 branches donc 24 a 8 diviseurs.
En reprenant le dénombrement effectué sur l’exemple précédent, on obtient de façon générale le
nombre de diviseurs d’un entier n ≥ 2.
Propriété 2
α
α
α
Si un entier n, n ≥ 2 admet la décomposition en produit de facteurs premiers n = p 1 1 p 2 2 . . . p k k , n
admet (α1 + 1)(α2 + 2) × · · · × (αk + 1) diviseurs positifs.
Exercices no 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 30 - 31 - 32 - 33 - 34 - 35 - 36 - 37
38 - 39 - 40 p 66 - 67
Exercices no 64 - 66 - 67 - 71 - 72 - 73 - 76 - 77 - 80 - 81 - 82 p 70 - 75
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