Nombres premiers I. Nombres premiers 1) Définition : On dit qu’un entier naturel p est premier s’il possède deux diviseurs distincts positifs, 1 et lui-même. Exemples : 1 n’est pas premier 17 est premier 27 n’est pas premier 2) Propriété Tout entier naturel non premier n > 1 admet un diviseur premier p tels que 2 ≤ p ≤ n. Dem : n n’est pas premier il admet des diviseurs autres que 1 et lui-même. Soit E l’ensemble des diviseurs de n privé de 1 et n. E n’est pas vide ( car n n’est pas premier) D’après l’axiome du plus petit élément, il existe un plus petit élément de E, noté p. Si p non premier, p possèderait un diviseur p’ distinct de 1 et de lui-même. p’ < p et p’ diviserait n car il divise p, d’où p appartiendrait à E. Ce qui contredit le fait que p est le plus petit élément de E. Donc p est premier. On suppose que n = pq avec p < q car p est le plus petit diviseur premier de n. Comme p < q, on a p p p q d’où p² < n puis p < n. Ex 1 à 9 p.64 II. Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers 1) Propriété Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs. On note alors n p1 1 p2 2 ... prr où p1, p2, …, pr sont des nombres premiers distincts et 1 , 2 ,..., r sont des entiers naturels non nuls. Exemples : 1 http://playmaths.free.fr Démonstration : Existence : Si n est premier, la propriété est établie. Sinon, le plus petit diviseur de n > 1 est premier. On le note p1. Il existe donc n1 tel que n = p1 n1. n On peut définir n1 = avec n1 < n. ( p1 ≥ 2) p1 Si n1 est premier, la propriété est établie. Sinon, on réitère le processus : il existe p2 premier et on peut définir n2 = n1 avec n2 < n1. p2 On peut créer ainsi une suite (nk) d’entiers naturels, strictement décroissante. Cette suite est finie (principe de descente infinie) et son dernier terme est premier. En regroupant les facteurs premiers identiques, on obtient n p11 p22 ... prr Unicité : On démontre l’unicité par récurrence à l’aide du théorème de Gauss. L’unicité est claire pour n = 2. On suppose que la décomposition est unique pour tout entier strictement inférieur à un n donné, et on montre que la décomposition de n en produit de facteurs premiers est unique. On suppose que n admet deux décompositions distinctes en produit de facteurs premiers : n p1 p2 ... pr q1 q2 ... qs Si p1 était premier avec qi pour tout 1≤ i ≤ s, alors d’après le théorème de Gauss, p1 serait premier avec q1 q2 ... qs ; or p1 divise n = q1 q2 ... qs d’où une contradiction. Donc p1 n’est pas premier avec tous les qi. Donc il existe i tel que p1 et qi ne sont pas premiers entre eux. Comme ce sont des nombres premiers, on a nécessairement p1 = qi. n Le nombre admettrait deux décompositions distinctes ; p1 n1 = p2 ... pr q1 q2 ... qi1 qi1 ... qs ce qui contredit l’hypothèse de récurrence car n1 < n (car p2 ≥ 2). On en déduit que n admet une décomposition unique. On a ainsi démontré par récurrence l’unicité de la décomposition pour tout n ≥ 2. Ex 14-15-16 2) Propriété En notant p1 1 p2 2 ... prr la décomposition d’un entier naturel n en produit de facteurs premiers, tout diviseur de n admet une décomposition en produit de facteurs premiers de la forme : p1 1 p2 2 ... prr Où 1 , 2 ,..., r sont des entiers naturels tels que pour tout 1 ≤ i ≤ r, on a 0 i i . Exemple : 2 http://playmaths.free.fr Dem : Les nombres p11 p22 ... prr sont des diviseurs de p11 p22 ... prr . Réciproquement, en notant d un diviseur de n = p11 p22 ... prr , tout facteur premier de d divise n, donc appartient à la liste p1, p2, …, pn. On en déduit que la décomposition en produit de facteurs premiers de d peut s’ecrire par extension p11 p22 ... prr . Le cas où i 0 correspond à l’absence du facteur pi. Ex 22-23-24 p.65 3 http://playmaths.free.fr