LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY Arithmétique chapitre 5 : les nombres premiers I/Introduction définition Unnombrepremierestunentiernaturelquiadmetexactementdeuxdiviseurs:1etlui-même. remarques Unentiernaturelnonpremierautreque1estditcomposé.Iladmetaumoinsundiviseur,autreque1etluimême,appelédiviseurstrict. Lepluspetitnombrepremierest2;1n’estpaspremiercariln’aqu’undiviseurdans ! . exemples Lesnombres17et43sontpremiers. 14n’estpaspremier,iladmet7commediviseurstrict. théorème Toutnombreentier n ≥ 2 admetundiviseurpremier démonstration Si n = 0 alorslethéorèmeestvraicar2divise0. { } Onnote n unentiernaturelsupérieurouégalà2et Dn = p ∈!, p ≠ 1 tel que p n . n ∈Dn donc Dn n’estpasvide. Dn admetdoncunpluspetitélémentquel’onnote p1 . Démontronsque p1 estpremier:onnote d ∈! , d ≠ 1 ettelque d p1 Ilenexisteaumoinsun: p1 lui-même. Onadonc d p1 et p1 n donc d n .Or p1 estlepluspetitdiviseurde n donc d ≥ p1 . Etcomme d p1 alors d ≤ p1 .Onendéduitque d = p1 . p1 admetdonccommeseulsdiviseurs d ,c’est-à-direlui-mêmeet1:ilestpremier. théorème Soit P l’ensembledesnombrespremiers.Alors P estinfini. démonstration (Àl’aided’unraisonnementparl’absurde) { } n Supposonsque P soitfini;notons P = p1 ; p2 ; p3 ;…; pn .Soit d = ∏ pi + 1 i=1 LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY d n’estpaspremiercarilestplusgrandquetousles pi pour i ∈ 1; 2 ;…; n .Iladoncundiviseurpremier m { } n d’aprèslethéorèmeprécédentet m ∈P .Alors m divise d et m divise ∏ pi alors m divise1cequiestabsurde. i=1 Doncl’ensembledesnombrespremiersestinfini. théorème Toutentier n ≥ 2 nonpremieradmetaumoinsundiviseurpremier p telque p ≤ n . démonstration ( ) Onnote n unentiernaturelsupérieurouégalà2,nonpremier.L’ensembledesdiviseurs d de n 2 ≤ d < n admetunpluspetitélément p . si p n’estpaspremieralors p seraitdivisibleparunentier d1 ,avec 2 ≤ d1 < p ; d1 diviserait n ,cequi contredirait« p pluspetitdiviseurde n .Ainsi p estpremier. Alorsilexiste k ∈! telque n = p × k avec p ≤ k .Onadonc n = p × k ≥ p 2 . Orlafonctionracinecarréeeststrictementcroissantesur ! + doncelleconservel’ordre.Ainsi n ≥ p exemple 317est-ilpremier?D’aprèslethéorèmeprécédent,ilfauttesterladivisibilitéde317partouslesnombres premiersà 317 !17,8 donc17.Àl’aidedescritèresdedivisibilitéilapparaîtque317n’estdivisiblenipar2,ni par3,nipar5.Ils’avèrequelesnombrespremiers7,11,13,17nedivisentpas317.D’où317premier. II/Divisibilitéetnombrespremiers A théorèmedeGaussetnombrespremiers LesrésultatsquisuiventsontdesreformulationsduthéorèmedeGaussetdesesconséquencesdanslecas particuliersdesnombrespremiers théorème Unnombrepremierdiviseunproduitdefacteurssietseulementsiildivisel’undecesfacteurs. conséquences si p premier,divise a k alors p divise a etdonc p k divise a k . siunnombrepremierdiviseunproduitdefacteurspremiers,alorsill’undecesfacteurspremiers. soit p1 , p2 , p3 , … , pk desnombrespremiersdistinctset a1 , a2 , a3 , … , ak desentiersnaturelsnonnuls.Sipour { } a a a a a tout i ∈ 1 , 2 ,… , k , pi i divise n alors p1 1 p2 2 p3 3 … pk k divise n . B décompositiond’unentier théorèmefondamentaldel’arithmétique Toutentier n ≥ 2 ,peutsedécomposerdefaçonunique(àl’ordredesfacteursprès)enproduitdefacteurs premiers: exemple a a a n = p1 1 × p2 2 × …× pk k LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY Décomposons 349 272 enproduitdefacteurspremiers: méthode:oneffectuedesdivisionssuccessivespardesnombrespremiersdansl’ordrecroissant: 349 272 2 174 636 2 87 318 2 43 659 3 14 553 3 4 851 3 1 617 3 539 7 77 7 11 11 Onobtientdonc: 349 272 = 23 × 34 × 7 2 × 11 1 application:déterminationdu PGCD etdu PPCM dedeuxnombres. décomposonslesnombres252et735: 252 2 735 3 126 2 245 5 63 3 49 7 Onadonc: 252= 22 × 32 × 7 21 3 7 7 735= 3× 5 × 7 2 7 7 1 1 onutiliselesfacteurscommuns,pourle PGCD : PGCD 252 ; 735 = 3× 7 = 21 ( ) ( ) onutiliselesfacteurspourle PPCM : PPCM 252 ; 735 = 2 × 3 × 5 × 7 2 = 8820 2 2 théorème a a a Soitun n dontladécompositionenfacteurspremiersest: n = p1 1 × p2 2 × …× pk k b b b Alorstoutdiviseur d de n apourdécomposition: d = p11 × p22 × …× pk k { } avec 0 ≤ bi ≤ ai et i ∈ 1; 2 ;…; k ( )( ) ( ) Lenombredediviseurs N estalors: N = a1 + 1 a2 + 1 … ak + 1