Nombres premiers

Chapitre V
Nombres premiers
1
Nombre premier
1.1
Définition
Définition 1 Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs
dans N : 1 et lui-même.
Exemple 1 :
• 1 n’est pas premier (il n’admet qu’un diviseur dans N).
• 2 est le seul nombre premier pair.
• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont : 2, 3, 5, 7, . . .
• Un entier non premier est dit composé.
1.2
Diviseur premier
Propriété 1 :
Tout entier naturel n ≥ 2 admet un diviseur premier.
√
Si n n’est pas premier, alors il admet un diviseur p premier tel que 2 ≤ p ≤ n.
Démonstration :
Si n est premier, il admet un diviseur premier : lui-même.
Sinon, considérons l’ensemble des diviseurs d de n avec 2 ≤ d < n. C’est un ensemble non
vide (car n n’est pas premier) et majoré (par n). Il admet donc un plus petit élément que
nous notons p.
Si p admet un diviseur différent de 1 et de lui-même, alors ce diviseur serait strictement inférieur à p ce qui contredit la minimalité de p. Donc p est premier.
Donc√n = p × q avec p ≤ q. En multipliant cette inégalité par p, on a p2 ≤ pq = n c’est-à-dire
p≤ n
Remarque 1 Pour savoir si 101 est un nombre
√ premier, il suffit donc de tester si 101 est
divisible par un nombre premier inférieur à 11 ( 101 > 10).
☞ Exercices 1,2,4,5,8,10,13 p 64
1
1.3
Test de primalité, crible d’Eratosthène
Algorithme de test de primalité
Début
FIN
Lire N
p ←− 2
√
Tant que p 6 N faire
R ←− Reste (N/p)
Si R = 0 alors
Écrire "N n’est pas premier"
p ←− N
Sinon p ←− p + 1
Fsi
Ftq
Si p 6= N alors écrire "p est premier"
☞ Activité 40 page 67 (sur T.I avec amélioration de l’algo)
On peut améliorer cet algorithme en limitant le nombre de tests comme suit :
Début
D ←− 1
R ←− 1
Lire N
N
est entier faire :
Tant que
2
Afficher "Erreur ce nombre est pair, rentrer un nombre impair"
Lire N
Ftq
Tant que R 6= 0 et D 2 ≤ N faire :
D ←− D + 2
N
Reste R ←−
D
Ftq
Si D 2 > N :
Alors afficher "Ce nombre est premier"
Sinon afficher "Un diviseur de N est D
Fsi
FIN
2
Le crible d’Eratosthène (IIIè siècle avant J.C) permet de déterminer par exclusion tous
les nombres premiers inférieurs à un entier n donné.
Voici un exemple avec n = 100 (en bleu les nombres premiers) :
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
1.4
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
Une infinité de nombres premiers
L’exemple du crible précédent montre que les nombres premiers se raréfient. En effet, plus
un nombre est grand et plus les candidats diviseurs de ce nombre sont nombreux donc moins il
a de chances d’être premier. De nombreuses recherches sur la répartition des nombres premiers
sont encore effectuées aujourd’hui. En 1896 a été démontré le théorème des nombres premiers
x
où π(x) représente le nombre de nombres premiers inférieurs à
qui affirme que π(x) ∼
ln x
x
x. Cela veut dire que ce nombre π(x) se comporte comme la fonction x 7−→
en l’infini
ln x
(tracer sa courbe sur calculatrice). Mais ceci est compliqué, et largement hors-programme !
Par contre :
Théorème 1 Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration :
Supposons le contraire et appelons p le plus grand des nombres premiers. Formons le nombre
p′ = p! + 1 = p × (p − 1) × (p − 2) × · · · × 2 × 1 + 1.
Soit p0 un diviseur premier de p′ (on sait qu’il existe).
p0 |p! puisque p! = p × (p − 1) × (p − 2) × · · · × (p0 + 1) × p0 × (p0 − 1) × · · · × 2 × 1.
Donc, puisque p0 |p! et p0 |p′ alors p0 |p′ − p! = 1.
On en déduit que les seuls diviseurs de p′ sont 1 et lui-même. De plus, p′ > p par construction.
Notre hypothèse de départ était fausse.
2
Divisibilité et nombre premier
Le théorème de Gauss permet d’écrire le résultat suivant :
Propriété 2 :
Soit p un nombre premier et a et b deux entiers.
Si p|ab alors p|a ou p|b.
3
Démonstration :
En effet, supposons p|ab. Si p|a, la propriété est vraie. Si p ne divise pas a alors p et a sont
premiers entre eux (les seuls diviseurs de p sont 1 et p). Donc p|b d’après le théorème de
Gauss.
Conséquences :
• Si p premier divise une puissance ak alors p|a donc pk |ak .
• Si p premier divise un produit de facteurs premiers, alors p est l’un de ces facteurs premiers.
3
Décomposition en produit de facteurs premiers
Le théorème qui suit est parfois appelé "Théorème fondamental de l’arithmétique" :
Théorème 2 Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs
premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre près des facteurs.
On note n = pα1 1 × pα2 2 × · · · × pαr r où p1 , p2 , . . . , pr sont des nombres premiers et α1 , α2 , . . . αr
des entiers naturels non nuls.
Démonstration :
Existence :
Si n est premier, le théorème est vérifié.
Supposons donc n non premier (on dit aussi que n est composé).
Le plus petit diviseur de n est premier (voir propriété 1).
n
< n.
On le nomme p1 et on définit l’entier n1 =
p1
Si n1 est premier, la propriété est établie puisque n = n1 × p1 .
n1
Sinon, on réitère le processus en définissant n2 =
< n1 où p2 est premier.
p2
On a donc n = n1 × p1 = n2 × p2 × p1
On construit ainsi une suite d’entiers naturels (nk ) strictement décroissante.
Cette suite est donc finie et son dernier terme nr est premier.
En regroupant les facteurs égaux, on obtient n = pα1 1 × pα2 2 × · · · × pαr r .
Unicité :
L’unicité se démontre par récurrence :
Si n = 2, l’unicité est claire.
Supposons que la décomposition est unique pour tout entier naturel strictement inférieur à n.
On va alors montrer l’hérédité c’est-à-dire l’unicité de la décomposition pour n.
Supposons donc que n admette deux décompositions :
n = pα1 1 × pα2 2 × · · · × pαr r = q1β1 × q2β2 × · · · × qsβs
p1 divise donc un produit de facteurs premiers. D’après la conséquence de la propriété 2, il
existe 1 ≤ i ≤ s tel que p1 = qi et α1 = βi .
n
Soit n1 = . On a donc :
p1
β
β
i−1
i+1
× qi+1
× qsβs
n1 = pα2 2 × pα3 3 × . . . pαr r = q1β1 × q2β2 × · · · × qi−1
On a donc deux décompositions distinctes pour n1 ce qui contredit l’hypothèse de récurrence.
n admet donc une décomposition unique.
4
Exemple 2 :
16758 2
8379 3
2793 3
931
7
7
133
19
19
1
16758 = 2 × 32 × 72 × 19
Corollaire 1 Soit n = pα1 1 × pα2 2 × · · · × pαr r .
Alors les diviseurs de n sont les pβ1 1 × pβ2 2 × · · · × pβr r où 0 ≤ βi ≤ αi pour tout 1 ≤ i ≤ r.
Exemple 3 :
On a 300 = 22 × 3 × 52 .
Les diviseurs de 300 sont donc de la forme 2i × 3j × 5k avec i = 0; 1; 2, j = 0; 1 et k = 0; 1; 2.
Il y en a donc 3 × 2 × 3. 300 a 18 diviseurs.
☞ Exercices 15, 16, 20, 21(unicité invoquée), 25a, 26b, 29 page 65
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