Nombres premiers Définition Un nombre entier naturel est premier ssi il a exactement deux diviseurs positifs Propriétés Tout entier admet au moins un diviseur premier Tout entier composé n a (au moins) un diviseur premier d tel que 2 d n L’ensemble des nombres premiers est infini Crible d’Eratosthène Pour le construire, il suffit de partir de 1 et de regarder si le nombre est premier. Si oui, on l’entoure puis on barre tous ses multiples. Ensuite on recommence avec le nombre non rayé suivant et ainsi de suite. A la fin, on obtient la grille suivante : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 91 82 92 83 93 84 94 85 95 86 96 87 97 88 98 89 99 90 100 Les cases jaunes représentent les nombres composés et les cases bleues, les nombres premiers. 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même. Théorème fondamental de l’arithmétique Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près. Diviseurs d’un nombre 1 2 Soit N p1 p2 ...pn n . Les diviseurs de N sont les 1 2 nombres p1 p2 ...pn n avec 0 i i (pour 1 i n ) Remarques p est premier et aN , soit p et a sont premiers entre eux, soit a est un multiple de p. Si p, nombre premier, divise un produit, alors il divise l’un des facteurs de ce produit Les diviseurs premiers de N sont les pi , c’est à dire p1, p2, ..., pn i Si pi N alors 0 i i Nombres de diviseurs d’un nombre 1 2 Soit N p1 p2 ...pn n , le nombre de diviseurs de N se calcule de la manière suivante : 1 12 1...n 1 Petit théorème de Fermat Si p est premier et a n’est pas multiple de p, alors a p1 1 p