Nombres premiers comme somme de deux ou trois carrés 1 - IMJ-PRG

Agrégation externe
Nombres premiers comme somme de deux ou trois carrés
2015-2016
1 – Un résultat général – Thue
Proposition 1
Soient p un nombre premier impair et d ∈ {1, 2}. Si −d est un carré modulo p alors il
existe deux entiers a et b tels que p = a2 + db2 .
Démonstration. Considérons l’ensemble S = {0, . . . , n}, où n est le plus grand entier tel que
√
n < p. Fixons un entier w tel que w2 ≡ −d (mod p) et notons f l’application S × S → Fp définie
par f (x, y) = x + wy. Le cardinal de S × S étant égal à (n + 1)2 > p, le principe des tirroirs affirme
qu’il existe deux couples distincts (x, y) et (u, v) tels que f (x, y) = f (u, v). En posant a = x − u
et b = v − y, cette dernière identité se traduit par la congruence
a ≡ bw
(mod p)
et, en élévant au carré, on en déduit que p divise l’entier a2 + db2 . On vérifie alors facilement les
inégalités
0 < a2 + db2 < (1 + d)p,
Pour d = 1, on obtient directement l’identité a2 + db2 = p. Pour d = 2, si a2 + 2b2 = 2p alors
a = 2c est pair, ce qui amène à la relation b2 + 2c2 = p.
2 – Deux carrés – Fermat
Théorème 2
Un nombre premier p est somme de deux carrés si et seulement s’il n’est pas congru à 3
modulo 4.
Démonstration. Si p est somme de deux carrés alors il est congru à 1 ou 2 modulo 4. Réciproquement, l’assertion étant triviale pour p = 2, on peut seupposer p congru à 1 modulo 4. Dans ce cas,
la loi de réciprocité quadratique affirme que −1 est un carré modulo p et la proposition 1 permet
de conclure.
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3 – Trois carrés – Legendre
Théorème 3
Un nombre premier p est somme de trois carrés si et seulement s’il n’est pas congru à 7
modulo 8.
Démonstration. Le carré d’un entier étant congru à 0, 1 ou 4 modulo 8, si p est somme de trois
carrés, on vérifie facilement qu’il n’est pas congru à 7 modulo 8. Réciproquement, l’assertion étant
triviale pour p = 2, on peut supposer p impair, auquel cas il est congru à 1, 3 ou 5 modulo 8. Pour
p ≡ 1 (mod 4), on applique le théorème 2. Finalement, pour p ≡ 3 (mod 8), la loi de réciprocité
quadratique affirme que −2 est un carré modulo p et la proposition 1 permet de conclure.
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