Avant tout remarquons que : a, b p, a p

Avant tout remarquons que :
– la norme est multiplicative : car ∀(a, b) ∈ A2 , ab = ab donc N (ab) = abab =
aabb = N (a)N (b).
– ∀(p, a) ∈ A2 si p|a alors p|a car :
p|a ⇔ ∃q ∈ A tq pq = a ⇔ pq = pq = a = a ⇔ p|a.
– A est euclidien donc principal alors tout irréductible de A est premier.
Soit a un irréductible de A :
– Si N (a) = 1 alors a ∈ A× est a n’est pas irréductible contradiction.
– Donc N (a) > 1 et appartient à N donc il existe un nombre premier p de N qui
divise N (a) différencions deux cas :
1. p = 2 ou p ≡ ±1 modulo 8 alors par le 2.b) ∃α tq p = αα* et α premier.
Nous avons aa = αα × k, k ∈ N. Car α est premier dans A : α divise a
ou a auquel cas α divise a. Sans perdre de généralité supposons que ce
soit α qui divise a.
Car N (α) = p 6= 1 : α ∈
/ A× et car a est irréductible on a a ∼ α et donc
a = uα où u ∈ A× en passant à la norme on a : N (a) = N (u)N (α) = p.
2. p n’est pas congru à ±1 modulo 8, alors p est premier dans A et donc p|a
/ A× , ainsi car a est
ou p|a auquel cas (p = p)|a, car N (p) = p2 6= 1 : p ∈
irréductible a ∼ p.
Dans tous les cas a est soit de norme un nombre premier de N égal à 2 ou
congrus à ±1 modulo 8 soit a est associé à un nombre premier de N non congru
à ±1 modulo 8.
Donc les irréductibles de A sont :
– Les associés des nombres premiers non congru à ±1 modulo 8.
– Les éléments de A de norme un nombre premier de N égal à 2 ou congru à ±1
modulo 8.
√
* : ( pour p = 2 prendre α = (2+ 2), α est irréductible car de norme un nombre
premier de N )
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