Aujourd’hui, je vais vous faire apprendre ce que l’on appelle les congruences modulaires, ainsi que des exemples d’exercices appliquant les congruences modulaires. Il faut d’abord savoir que les congruences modulaires viennent de quelque chose de notre quotidien : regardons par exemple une horloge : il est à 1 heure, puis à 2 heures, à 3 heures, et ainsi de suite jusqu’à 12 heures, après il n’est plus à 13 heures, mais il revient à 1 heure : les congruences modulaires semblent désormais avoir un rapport avec un cycle (en l’occurence, un cycle de longueur 12 : 12 heures dans une horloge). Bon, maintenant, avec cette idée en tête, nous allons passer à l’écriture mathématique. Si l’on note a, b et m trois naturels strictement positifs, on dit que a est congru à b modulo m si et seulement si m divise a - b. D’emblée, cette écriture paraît vraiment horrifiante et dégoûtante, mais il faut toujours regarder avec des exemples : 1 est congru à 3 modulo 2 car 1 - 3 = -2 est divisible par 2, ou plus simplement, -2 est pair. En fait, elle n’est pas si difficile que l’on pensait ! Mais maintenant, à quoi servent ces congruences modulaires avec une écriture un peu bizarre ? On va dès lors introduire des propriétés mathématiques (si il y a des variables, elles sont des naturels strictement positifs) : - a est congru à a modulo m - si a est congru à b modulo m et c congru à d modulo n; ac est congru à bd modulo mn.
