Exercices: fractions continues (26-09

Exercices: fractions continues (26-09-15)
Exercice 1. Développer 14/9,
34/13,
2015/42 en fraction continue.√
√
√
Exercice 2. Développer 3 et 7, en fraction continue, ainsi que n2 + 1 pour tout n entier
strictement positif.
Exercice 3. Soit x un irrationel positif, p/q une de ses réduites, p0 /q 0 la réduite suivante, et r
le dernier quotient partiel intervenant dans le calcul de p0 /q 0 . Montrer que q 0 > rq et en déduire que
|x − (p/q)| < rq12 .
√
Exercice 4. Dans l’exercice précédent, on suppose que x = k où k est√un entier positif sans
être un carré parfait, et que r = 2m, où m est la√
partie entière de x. Montrer que k+(p/q) < 2(m+1).
En utilisant l’exercice précédent, montrer que | k − (p/q)| < 1/(2mq 2 ). En déduire que |p2 − kq 2 | = 1.
Trouver deux carrés parfaits strictement positifs tels que si on ajoute un 1 à droite de leur écriture
décimale, on trouve encore un carré parfait.
Exercice 5. On considère le nombre irrationnel x dont le développement en fraction continue
√
est [1; 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, . . . ]. Donner une expression de x sous la forme (a + b c)/d où a, b, c, d sont
entiers.
Exercices: divers
Exercice 6.
(JBMO 2011) Trouver tous les nombres premiers p tels qu’il existe des entiers
strictement positifs x et y vérifiant x(y 2 − p) + y(x2 − p) = 5p.
Exercice 7.
(IMO 1987) Montrer que la somme des nombres de points fixes de toutes les
permutations de {1, . . . , n} est égale à n!.
Exercice 8. Soit x = 126 , y = 68 , z = 211 .37 . Vérifier que xx y y = z z .
Exercice 9.
L’année de naissance d’une personne vivant aujourd’hui n’a que 2 et 3 comme
facteurs premiers. Déterminer cette année.
Exercice 10. 1) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 2 modulo 3,
et qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
2) Soit n un entier et p un nombre premier divisant n2 + 1. Montrer que p = 2 ou p est congru à
1 modulo 4 (on pourra utiliser le petit théorème de Fermat). En déduire qu’il existe une infinité de
nombres premiers congrus à 1 modulo 4.
3) Soit n un entier strictement positif et p un nombre premier divisant 1+n+n2 +n3 +n4 . Montrer
que p = 5 ou que p est congru à 1 modulo 5. En déduire qu’il existe une infinité de nombre premiers
dont l’écriture décimale se termine par 1.
Exercice 11.
On définit la suite (un )n≥0 telle que u0 = 0 et un+1 = 2un pour tout n ≥ 0.
Montrer que pour tout entier a ≥ 1, il existe r(a) ∈ {0, . . . , a − 1} tel que un est congru à r(a) modulo
a pour tout n suffisamment grand. Calculer r(42).
Exercice 12. On écrit les carrés parfaits les uns à la suite des autres: 149162536... Quel est le
126-ième chiffre écrit ?
Exercice 13.
(shortlist IMO 1983) Dix compagnies aériennes desservent un total de 1983
villes. Entre deux villes quelconques, il existe toujours une compagnie pour offrir un vol direct entre
ces deux villes, dans les deux sens. Prouver qu’au moins une des compagnies aériennes propose un
voyage consistant en un circuit fermé comprenant un nombre impair de villes.
Exercice 14. Pour n entier positif, on note an le nombre de quadruplets d’entiers entre 1 et
10 dont la somme est égale à n. Montrer que an est maximal pour n = 22.
n
Exercice 15.
Montrer que pour n ≥ 1 entier, nn est une puissance 42-ième parfaite si et
seulement si nn est une puissance 42-ième parfaite. Montrer que ce résultat devient faux si 42 est
remplacé par 63.
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