Fiche d`exercices n°5 - ambition

LFA/ Terminales S
Spécialité maths
Mme MAINGUY
ARITHMÉTIQUE
Fiche d’exercices n°5
Exercice 1
L’objectifestderésoudredans ! : n2 − 2n + 3 ≡ 0 ⎡⎣ 4 ⎤⎦ .
Cetexerciceproposedemettreenévidenceuneméthoderapidedelarecherchedessolutions.
1) Quelssontlesrestespossiblesdeladivisioneuclidiennede n par 4 ?
2) Compléterletableaudescongruencessuivants:
Restesdeladivisioneuclidiennede n par4
n estcongruà…modulo4
n2 estcongruà…modulo4
−2n estcongruà…modulo4
n2 − 2n estcongruà…modulo4
n2 − 2n + 3 estcongruà…modulo4
3) Conclure.
Exercice 2
Lesquestionssuivantessontindépendantes.
1†Résoudreleséquationssuivantes: 3x ≡ 7 ⎡⎣9 ⎤⎦ ; 4x ≡ 2 ⎡⎣5⎤⎦ ; 2x ≡ 6 ⎡⎣8 ⎤⎦ .
2†a/Justifierque 8n2 − 9n + 19 ≡ 0 ⎡⎣6 ⎤⎦ ⇔ 2n2 + 3n + 1 ≡ 0 ⎡⎣6 ⎤⎦ b/Résoudre 8n2 − 9n + 19 ≡ 0 ⎡⎣6 ⎤⎦ .
Exercice 3
Partie1
1) Déterminerlerestede 2 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 dansladivisioneuclidiennepar 7 .
2) Endéduireuneformulegénéraledonnantlerestede 23k , 23k+1 , 23k+2 dansladivisioneuclidiennepar 7 .
3) Endéduirelerestede 255 dansladivisioneuclidiennepar 7 .
Partie2
†Ens’inspirantdelapartie1,donnerlerestede 5n dansladivisioneuclidiennepar 12 ,puisendéduirelereste
de 5789 par 12 .
LFA/ Terminales S
Spécialité maths
Mme MAINGUY
ARITHMÉTIQUE
Exercice 4
prérequis:Courssurlanumération(siteambition-maths.com).Ehoui,ilfautbosserunpeulecourspour
découvrirdenouvellesnotationsetméthodesdecalculs.Bienvenuedoncdanslenouveaumonde
duchiffre…
Soient a et b deuxnombresentiersnaturelsinférieursouégauxà 9 avec a ≠ 0 .
Onconsidèrelenombre N = a × 103 + b .Onrappellequ’enbase10,cenombres’écritsouslaforme N = a00b .
Onseproposededéterminerparmicesnombresentiersnaturelsceuxquisontdivisiblespar7.
1) Vérifierque
103 ≡ −1 ⎡⎣7 ⎤⎦
.
2) Endéduiretouslesnombresentiers N cherchés.
Exercice 5
Onnote 0 , 1 , 2 , … , 9 , A , B leschiffresdel’écritured’unnombreenbase12.
12
BA7 = B × 122 + A × 121 + 7 × 120 = 11× 122 + 10 × 121 + 7 × 120 = 1 711 enbase10.
12
1) a/Soit N1 lenombres’écrivantenbase12: N1 = B1A .
Déterminerl’écriturede N1 enbase10.
b/Soit N 2 lenombres’écrivantenbase10: N 2 = 1131 = 1× 103 + 1× 102 + 3× 101 + 1× 100 .
Déterminerl’écriturede N 2 enbase12.
12
Danslasuite,unentiernaturel N s’écrirademanièregénéraleenbase12: N = an an−1 …a1a0 2) a/Démontrerque N ≡ a0 ⎡⎣3⎤⎦ .Endéduireuncritèrededivisibilitépar 3 d’unnombreécritenbase12.
b/Àl’aidedesonécritureenbase12,déterminersi N 2 estdivisiblepar 3 .Confirmeravecsonécriture
enbase10.
3) a/Démontrerque N ≡ an + an−1 + …+ a1 + a0 ⎡⎣11⎤⎦ .Endéduireuncritèrededivisibilitépar11d’unnombre
écritenbase12.
b/Àl’aidedesonécritureenbase12,déterminersi N1 estdivisiblepar11.Confirmeravecsonécriture
enbase10.
12
4) Unnombre N s’écrit x4 y .Déterminerlesvaleursde x etde y pourlesquelles N estdivisiblepar33.