MASTER M1 Recherche M1

Université Claude Bernard Lyon 1
MASTER M1 Recherche
M1-Algèbre
EXAMEN
10 Janvier 2013
Durée : 3 heures
Certaines questions pourront provoquer des réflexions profondes. Après un voyage
intérieur à travers la nature physique et métaphysique des questions posées, un
retour brutal risquerait d’aboutir à des désillusions existentielles irrémédiables 1 .
Il est donc fortement conseillé de rédiger avec le plus grand soin.
EXERCICE.
On se propose de montrer que le polynôme
P = X 9 + 3X 8 + 5X 3 − 3X 2 + 3X + 17
est irréductible sur Q[X].
1) Montrer que si P est irréductible sur Z[X], alors, il l’est sur Q[X].
2) Pour tout nombre premier p et tout polynôme Q de Z[X], on note Qp le polynôme de Fp dont les coefficients sont les résidus modulo p des coefficients de Q.
Montrer que Q 7→ Qp définit un morphisme d’anneaux entre Z[X] et Fp [X]. En
déduire que si Q est un polynôme unitaire de Z[X] tel que Qp est irréductible sur
Fp [X], alors Q l’est sur Z[X].
3) Montrer que X 3 − X − 1 est irréductible sur F3 [X].
4) Soit K le corps de décomposition du polynôme X 4 + X + 1 ∈ F2 [X] et α ∈ K
une racine de ce polynôme.
a) Montrer que α ∈ F16 et α 6∈ F4 .
b) Montrer que X 4 + X + 1 est irréductible dans F2 [X].
5) Conclure que P est irréductible sur Q[X].
On pourra étudier la factorisation de P 3 , ainsi que P 2 , puis, partir sur la considération suivante : l’ensemble des degrés des polynômes irréductibles dans la décomposition de P forme une partition de 9.
PROBLEME.
Le but du problème est de montrer qu’un entier n > 0 s’écrit comme une somme
de deux carrés d’entiers si et seulement si la p-valuation νp (n) de n est paire dès
que p est un nombre premier congru à 3 modulo 4.
1. Il n’est pas vraiment nécessaire de comprendre ces deux premières phrases pour réussir
l’examen.
1
A.
1) Quels sont les carrés de Z/4Z ?
2) Montrer que si un nombre premier impair est somme de deux carrés, alors p
est congru à 1 modulo 4.
3) Question de cours : montrer que l’anneau Z[i] des entiers de Gauss est principal.
4) Montrer que si p est congru à 3 modulo 4, alors p est premier dans Z[i].
On pourra utiliser la norme.
B. On suppose ici que la décomposition en facteurs premiers de n dans Z est
donnée par n = p1 · · · pk , où les pi , 1 ≤ i ≤ k, sont des nombres premiers deux à
deux distincts, non congrus à 3 modulo 4.
1) Montrer que −1 est un carré de Z/pi Z pour tout i, 1 ≤ i ≤ k.
2) En déduire que −1 est un carré dans Z/nZ. Combien −1 possède-t-il de racines
carrées dans Z/nZ ?
On distinguera deux cas. . .
On notera dans la suite ω une racine carrée de −1 dans Z/nZ.
3) Montrer que Z/nZ est doté d’une structure de Z[X]-module par
P.u = P (ω)u, P ∈ Z[X], u ∈ Z/nZ.
4) En déduire une structure de Z[i]-module sur Z/nZ et montrer que ce module
est alors engendré par 1 ∈ Z/nZ.
C. Soit m un entier positif et φ un morphisme injectif de Z-module de Zm dans
lui-même.
1) Enoncer le théorème de la base adaptée et montrer qu’il existe deux bases du
Z-module libre Zm (une de départ et une d’arrivée) pour lesquelles la matrice de
φ est diagonale.
2) En déduire que le cardinal du module quotient Zm /Imφ vaut | det(φ)|.
3) On suppose dans les questions 3) et 4) que n est comme dans B. Donner une
présentation du Z[i]-module Z/nZ par des Z[i]-modules libres de rang 1 et un
morphisme φ de multiplication par un entier de Gauss (a + ib).
4) En déduire une présentation du Z-module Z/nZ par des Z-modules libres de
rang 2, puis, par un argument de cardinalité, que n = a2 + b2 .
5) Montrer que si la p-valuation νp (n) est paire dès que p est un nombre premier
congru à 3 modulo 4, alors n s’écrit comme une somme de deux carrés d’entiers.
D.
1) Montrer qu’un nombre premier p reste premier dans Z[i] si et seulement si p
est congru à 3 modulo 4.
2) Montrer que si p est premier, avec p = a2 + b2 , alors a + ib et a − ib sont
premiers dans Z[i].
3) Soit n un entier positif tel que n se décompose en somme de deux carrés
d’entiers. Montrer que νp (n) est paire dès que p est un nombre premier congru à
3 modulo 4.
On pourra comparer deux décompositions de n dans Z[i] dont la décomposition
en facteurs premiers.
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