Nombres premiers comme somme de deux ou trois carrés 1 - IMJ-PRG

Agrégation externe
Nombres premiers comme somme de deux ou trois carrés
2016-2017
Leçons : 121,123,125,190.
Résultats admis : cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps fini.
1 – Un critère général – Thue
Proposition 1
Soient n > 0 un entier qui n’est pas un carré et d ∈ {1, 2}. Si −d est un carré modulo n
alors il existe deux entiers a et b tels que n = a2 + db2 .
√
Démonstration. Considérons l’ensemble S = {0, . . . , m}, où m est la partie entière de n. Fixons
un entier w tel que w2 ≡ −d (mod n) et notons f l’application S × S → Z/nZ définie par
f (x, y) = x + wy. Le cardinal de S × S étant égal à (m + 1)2 > n, le principe des tiroirs affirme
qu’il existe deux couples distincts (x, y) et (u, v) tels que f (x, y) = f (u, v). En posant a = x − u
et b = v − y, cette dernière identité se traduit par la congruence
a ≡ bw
(mod n)
et, en élévant au carré, on en déduit que n divise l’entier a2 + db2 . On vérifie alors facilement les
inégalités
0 < a2 + db2 < (1 + d)n,
Pour d = 1, on obtient directement l’identité a2 + db2 = n. Pour d = 2, si a2 + 2b2 = 2n alors
a = 2c est pair, ce qui amène à la relation b2 + 2c2 = n.
2 – Deux carrés – Fermat
Théorème 2
Un nombre premier p est somme de deux carrés si et seulement s’il n’est pas congru à 3
modulo 4.
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Démonstration. Si p est somme de deux carrés alors il est congru à 1 ou 2 modulo 4. Réciproquement, l’assertion étant triviale pour p = 2, on peut seupposer p congru à 1 modulo 4. Dans ce cas,
le groupe F×
p , qui est cyclique d’ordre dvisible par 4, possède un élément x d’ordre 4. On a alors
la relation x2 = −1 et la proposition 1 permet de conclure.
3 – Trois carrés – Legendre
Théorème 3
Un nombre premier p est somme de trois carrés si et seulement s’il n’est pas congru à 7
modulo 8.
Démonstration. Le carré d’un entier étant congru à 0, 1 ou 4 modulo 8, si p est somme de trois
carrés, on vérifie facilement qu’il n’est pas congru à 7 modulo 8. Réciproquement, l’assertion étant
triviale pour p = 2, on peut supposer p impair, auquel cas il est congru à 1, 3 ou 5 modulo 8. Pour
p ≡ 1 (mod 4), on applique le théorème 2. Finalement, pour p ≡ 3 (mod 8), l’entier p2 − 1 étant
divisible par 8, il existe un élément x ∈ Fp2 d’ordre 8, qui vérifie la relation x4 = −1, ou encore
x2 + x−2 = 0. En posant y = x − x−1 , on obtient alors les identités
y 2 = x2 − 2 + x−2 = −2.
En d’autres termes, y est l’une des deux racines carrée de −2 dand Fp2 (l’autre étant égale à −y).
En particulier, −2 est un carré dans Fp si et seulement si y ∈ Fp , ce qui se traduit par l’identité
y p = y. Les relations
xp = xp+1 x−1 = (x4 )
p+1
4
x−1 = (−1)
p+1
4
x−1 = −x−1
amènent alors aux identités
y p = (x − x−1 )p = xp − x−p = −x−1 + x = y.
En appliquant le théorème 1, on en déduit l’existence de deux entiers a et b tels que p = a2 + 2b2
et p est bien la somme de trois carrés.
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