Seconde 1 Trigonométrie. Page n ° 1 2007 2008 En 1579

Seconde 1
2007 2008
Trigonométrie.
Page n ° 1
En 1579, François Viète publie des tables de valeurs des lignes trigonométriques ( sinus, cosinus, … ).
Mais avant de parler des fonctions sinus et cosinus, il va d'abord falloir se repérer sur le cercle trigonométrique.
C'est ce que nous allons travailler dans ce chapitre.
1 Une nouvelle unité de mesure : le radian.
Soit C un cercle de centre O et de rayon r.
Alors un arc de cercle de 1 radian a une longueur égale au rayon de ce cercle.
Dessin : voir feuille annexe.
Soit C un cercle de centre O et de rayon 1.
Alors la longueur du cercle ( on dit aussi périmètre ) est égale à 2π radians ( ou bien 360 ° ).
Soit C un cercle de centre O et de rayon 1.
Alors la longueur du demi-cercle est égale à π radians ( ou bien 180 ° ).
Soit C un cercle de centre O et de rayon 1.
Alors la longueur du quart de cercle est égale à π radians ( ou bien 180 ° ).
2
Dessins : voir feuille annexe.
E1 Savoir déterminer des mesures d'angles.
Exercice p 117 n ° 11. question 1.
Mesures en degrés
180
10
53
60
18
π
3
2π
3
π
4
π
2
Mesures en radians
Exercice p 117 n ° 11. question 2.
Mesures en radians
Mesures en degrés
π
3π
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2 Enroulement de la droite des réels sur un cercle trigonométrique.
Il y a deux sens de parcours sur un cercle.
Par convention, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
On dit que le plan est orienté si un cercle du plan est orienté :
tous les cercles sont alors orientés de la même façon.
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct.
Soit ( O ; Ä
OA ; Ä
OB ) un repère orthonormé.
Soit C un cercle trigonométrique de centre O.
Soit D la droite des réels tangente au cercle C en A.
Alors en enroulant la droite des réels D autour du cercle trigonométrique C, on peut associer à chaque réel x
( repéré sur D ) un point unique M du cercle noté M ( x ).
Au nombre 0, on associe le point A.
Au nombre π , on associe le point B.
2
Autrement dit : on peut repérer chaque point du cercle par une infinité de réels.
Pour atteindre M à partir de A, on peut d'abord effectuer un nombre entiers de tours dans un sens ou
dans l'autre.
A est aussi repéré par les réels 2π ; 4π ; − 2π …
B est aussi repéré par les réels
5π 9π
;
;…
2
2
La mesure qui est dans l'intervalle ] - π ; π ] est appelée mesure principale de l'angle orienté.
Dessins et exemples : voir feuille annexe.
E2 Savoir placer des points sur un cercle trigonométrique.
P 117 n ° 10.
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3 Cosinus et sinus d’un nombre réel.
C est le cercle trigonométrique
B
sin x
A'
O
M(x)
cos x
A
→ →
Le repère ( O ; OA , OB ) est un repère orthonormal.
Soit M un point du cercle.
→ →
Alors, le cosinus de x, noté cos ( x ) , est l’abscisse de M dans le repère ( O ; OA , OB ).
→ →
Le sinus de x, noté sin ( x ) est l’ordonnée de M dans le repère ( O ; OA , OB ).
Valeurs exactes de cos ( 0 ) et sin ( 0 ).
Valeurs exactes de cos (
π
π
) et sin (
).
2
2
Valeurs exactes de cos ( π ) et sin ( π ).
Démonstrations : voir feuille annexe.
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E3 Savoir calculer des valeurs particulières de cos x et de sin x.
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a.
Soit H le milieu de [ BC ].
1. Calculer cos ( π ) et sin ( π ).
3
3
π
2. Calculer cos (
) et sin ( π ).
6
6
Soit DEF un triangle rectangle et isocèle en D tel que DE = DF = d.
3. Calculer cos ( π ) et sin ( π ).
4
4
4 Tableau des valeurs remarquables à savoir par cœur.
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
sin x
0
1
2
2
2
3
2
1
0
E4 Savoir déterminer des valeurs exactes de cos ( x ) et de sin ( x ).
P 128 n ° 68 ; 69 et 70.
5 Propriétés du cosinus et du sinus.
Quelque soit le réel x, cos ² ( x ) + sin ² ( x ) = 1.
Quelque soit le réel x, - 1 ≤ cos ( x ) ≤ 1 et - 1 ≤ sin ( x ) ≤ 1.
Quelque soit le réel x, cos ( - x ) = cos ( x ) et sin ( - x ) = - sin ( x ).
Quelque soit le réel x, cos ( x + 2π ) = cos ( x ) et sin ( x + 2π ) = sin ( x ).
Démonstrations : voir feuille annexe.
Exemple d 'exercice : x est un réel tel que cos x = - 1 et x ∈ [ - π ; 0 ]. Calculer sin x. Voir feuille annexe.
3
E5 Savoir calculer cos ( x ) et sin ( x ).
P 128 n ° 64 et n ° 65.