16 novembre 2015 Étude globale d’une fonction d’une variable réelle I Définitions de base Anticipation : si I ⊂ R, on note F (I , R) l’ensemble des fonctions (de variable réelle) définies sur I et à valeurs dans R. F (I , R) est un R-espace vectoriel pour les lois + et . définies par : ∀x ∈ I : ½ ( f + g )(x) (λ. f )(x) = = f (x) + g (x) λf (x) On peut aussi définir la loi × par : ∀x ∈ I : ( f × g )(x) = f (x)g (x) I.A Relation d’ordre Définition 1 Soient f , g ∈ F (I , R). On dit que f É g si : ∀x ∈ I , f (x) É g (x) Définition 2 Soit f , g ∈ F (I , R) : 1. On définit la fonction | f | par :∀x ∈ I , | f |(x) = | f (x)| 2. On définit également les fonctions sup( f , g ) et inf( f , g ) par : ½ f (x) g (x) si f (x) Ê g (x) sinon ½ f (x) g (x) si f (x) É g (x) sinon sup( f , g )(x) = inf( f , g )(x) = Remarque 1 : On a inf( f , g ) É f É sup( f , g ) et inf( f , g ) É g É sup( f , g ). En revanche, f et g ne sont pas nécessairement comparables. I.B Majorants, minorants Définition 3 Soit f ∈ F (I , R) : — On dit que f est majorée (sur I ) si ∃M ∈ R, ∀x ∈ I , f (x) É M M est alors appelé un majorant de f . — On dit que f est minorée (sur I ) si ∃m ∈ R, ∀x ∈ I , f (x) Ê m m est alors appelé un minorant de f . — On dit que f est bornée (sur I ) si elle est majorée et minorée (sur I ) i.e. ∃(m, M) ∈ R2 , ∀x ∈ I , m É f (x) É M Remarques 2 : 1. Dire que f est majorée revient à dire que l’ensemble : { f (x), x ∈ I } des images de f sur I est majoré. 2. f est bornée si et seulement si | f | est majorée. Lycée Jean Perrin 2013/2014 1 / 17 I.B Majorants, minorants Exercice I.1 : 16 novembre 2015 Montrer que la fonction f : x 7→ peut-on dire sur R ? x est bornée sur l’intervalle [0; +∞[, et comprise entre 0 et 1. Que x2 + 1 Définition 4 Soit f ∈ F (I , R) : 1. On définit la borne supérieure de la fonction f sur I par : ( sup f I = sup{ f (x), x ∈ I } si f est majorée = +∞ sinon Si f est majorée, sup f est le plus petit des majorants de f . I 2. On définit la borne inférieure de la fonction f sur I par : ( inf f = inf{ f (x), x ∈ I } si f est minorée I = sinon −∞ Si f est minorée, inf f est le plus grand des minorants de f . I Exemple 1 : Effectuons une recherche des bornes supérieure et inférieure de la fonction : f : ( R∗+ → x 7→ R 1− 1 x Une étude de cette fonction nous permet de « visualiser » le résultat. f est définie et dérivable sur R∗+ et : ∀x ∈ 1 R∗+ , f ′ (x) = 2 > 0 Après calcul des limites, on obtient le tableau des variations de f ainsi que l’allure de sa courbe x représentative : 0 x 1 f ′ (x) +∞ 1 y + Cf 1 f 0 −∞ On voit alors que f n’admet pas de minorant, et que sa borne supérieure semble être la valeur 1. On peut alors prouver ceci en utilisant la définition de la borne supérieure : 1 — 1 est clairement un majorant de f : ∀x > 0, 1 − < 1. x 1 1 pour avoir f (x) = 1 − > y, donc y n’est pas un majorant de f . — Si y < 1, il suffit de choisir x > 1− y x En conclusion, on a bien sup f = 1. On peut également faire un raisonnement de ce type pour établir que f n’est pas minorée. R∗ + Remarque 3 : On pourra constater plus loin que la notion de borne supérieure et la notion de limite sont liées lorsque la fonction est croissante. Lycée Jean Perrin 2013/2014 2 / 17 I.B Majorants, minorants 16 novembre 2015 Définition 5 Soit f ∈ F (I , R) : — On dit que f admet un maximum en a ∈ I si : ∀x ∈ I , Notation : f (a) = max f (x). f (x) É f (a) — On dit que f admet un minimum en a ∈ I si : ∀x ∈ I , Notation : f (a) = min f (x). f (x) Ê f (a) x∈I x∈I — On dit que f admet un extremum en a ∈ I si f (a) est un minimum ou un maximum pour f sur I . Exemple 2 : nimum en 0. La fonction f : ½ R x → 7→ Cf R admet un mix2 + 1 Définition 6 (Notion de voisinage) — Soit a ∈ R. On appelle voisinage de a un intervalle ouvert contenant a (on le choisit souvent centré en a, de la forme ]a − ε, a + ε[). — On appelle voisinage de +∞ (resp. −∞) un intervalle ouvert de la forme ]A, +∞[ (resp. ] − ∞, B[). Définition 7 On dit que f admet un maximum (resp. minimum) local en a ∈ I si il existe un voisinage V de a tel que f (a) est un maximum (resp. minimum) de f |I ∩V . Exemple 3 : La fonction x → x 3 − x admet un minimum local et un maximum local. Une étude de fonction suffit pour s’en convaincre. Max. local a b Cf Min. local Remarques 4 : 1. Le maximum de f , s’il existe, est également la borne supérieure de f (on rappelle que toute fonction admet une borne supérieure). Il n’est pas inutile de rappeler ici que R satisfait à l’« axiome de la borne supérieure » : Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure ! 2. En revanche, le maximum d’une fonction n’existe pas toujours, même si celle-ci est majorée (cf exemple 1). Lycée Jean Perrin 2013/2014 3 / 17 I.C Fonctions particulières 16 novembre 2015 I.C Fonctions particulières Définition 8 Soit f ∈ F (I , R) : — On dit que f est croissante (resp. décroissante) sur I si : ∀(x, y) ∈ I × I , x < y ⇒ f (x) É f (y) (respectivement x < y ⇒ f (x) Ê f (y)) — On dit que f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I si : ∀(x, y) ∈ I × I , x < y ⇒ f (x) < f (y) (respectivement x < y ⇒ f (x) > f (y)) — On dit que f est monotone (resp. strictement monotone) sur I , lorsqu’elle est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante) sur I . Proposition 1 Soient f et g deux fonctions de F (I , R) : 1. Si f et g sont croissantes (resp. décroissantes), alors f + g est croissante (resp. décroissante). 2. Si f et g sont croissantes (resp. décroissantes) et positives, alors f g est croissante (resp. décroissante). Démonstration. À faire immédiatement en exercice. Proposition 2 Soient f ∈ F (I , J ) et g ∈ F (J , R). Alors : 1. Si f et g sont monotones (resp. strictement monotones) et de même monotonie, alors g ◦ f : I → R est croissante (resp. strictement croissante). 2. Si f et g sont monotones (resp. strictement monotones) et de monotonie contraire, alors g ◦ f : I → R est décroissante (resp. strictement décroissante). Démonstration. On ne montrera ici que le premier point dans le cas où f et g sont toutes deux décroissantes. Soient (x, y ) ∈ I 2 avec x < y , alors : f (x) Ê f (y ) car f est décroissante donc : g ( f (x)) É g ( f (y )) car g est décroissante d’où : (g ◦ f )(x)) É (g ◦ f )(y ) Donc g ◦ f est croissante. Définition 9 On dit qu’une fonction f ∈ F (I , R) est paire (resp. impaire) si : ∀x ∈ I , f (−x) = f (x) (respectivement f (−x) = − f (x)). Remarque 5 : Cette dernière définition suppose que si x ∈ I alors −x ∈ I , donc que I est symétrique par rapport à 0. Définition 10 Soit f ∈ F (R, R). On dit que f est périodique de période T > 0 (ou T -périodique) si : ∀x ∈ R, f (x + T ) = f (x) Exemple 4 : Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques. Toute fonction constante est α-périodique, pour un réel α quelconque. Lycée Jean Perrin 2013/2014 4 / 17 I.D Bijections 16 novembre 2015 Proposition 3 L’ensemble FT (R, R) des fonctions T -périodiques est stable par combinaison linéaire. De plus, si f et g sont deux fonctions de FT (R, R) alors f g ∈ FT (R, R). Démonstration. Démonstration : en exercice Définition 11 Soit k un réel strictement positif. On dit que f ∈ F (I , R) est lipschitzienne de rapport k , ou k-lipschitzienne, si : ∀(x, y) ∈ I × I , | f (x) − f (y)| É k|x − y| Exemple 5 : Toute fonction f ∈ F (R, R) affine est lipschitzienne. Par exemple, la fonction f : x 7→ 2x + 1 est 2-lipschitzienne car : ∀x, y ∈ R, | f (x) − f (y)| = |2x − 2y| = 2|x − y| É 2|x − y| I.D Bijections Définition 12 I et J sont des intervalles de R. On dit que la fonction f : I → J est une bijection (ou que f est bijective) de I sur J si tout élément y de J a un et un seul antécédent par f . Ceci revient à dire que pour tout y de J , l’équation f (x) = y a une unique solution dans I . Définition 13 Si f est bijective, on note f −1 l’application de J dans I qui, à l’élément y de J , associe la solution de l’équation f (x) = y. On l’appelle application réciproque de f . On a : ½ f (x) = y ⇐⇒ x∈I ½ x = f −1 (y) y∈J ³ → − → −´ Remarque 6 : Dans un repère orthonormal 0, i , j , les courbes représentatives de f et f −1 sont symétriques par rapport à la droite ∆ d’équation y = x. En effet : M(x, y) ∈ C f ⇔ y = f (x) ⇔ x = f −1 (y) ⇔ M ′ (y, x) ∈ C f −1 De plus, ∀x ∈ I , ( f −1 ◦ f )(x) = x et ∀y ∈ J , ( f ◦ f −1 )(y) = y. Lycée Jean Perrin 2013/2014 5 / 17 I.D Bijections 16 novembre 2015 y b b M(x, yb = f (x)) x b b Exemple 6 : Soit f : x 7→ ensemble à déterminer. x b M ′ (y = f (x), x = f −1 (y)) y x −1 . Montrons que f définit une bijection de son ensemble de définition D f sur un x +2 Solution. On a D f = R\{−2}. On résout l’équation (⋆) y = f (x) sur D f . On a : ( x −1 y= x + 2 ⇔ (x + 2)y = x − 1 x 6= −2 On cherche alors à isoler x pour le calculer en fonction de y . L’équation précédente devient : x = 2y + 1 x y − x = −2y − 1 ⇔ x(y − 1) = −2y − 1 ⇔ 1− y y 6= −1 Donc, pour y ∈ R\{1}, l’équation (⋆) a une unique solution x = 2y + 1 sur D f . 1− y 2y + 1 f est donc une bijection de D f sur R\{1}, et la bijection réciproque est f −1 : y 7→ . 1− y Définition 14 Si I est un sous ensemble de R, on note f (I ) l’ensemble des réels qui ont au moins un antécédent dans I par f . On l’appelle ensemble image de I par f . Remarque 7 : On admet que si f est continue et I est un intervalle, alors f (I ) en est également un. Théorème 1 (admis) Si l’application f est continue et strictement monotone sur un intervalle I de R, alors f réalise une bijection de I sur l’intervalle J = f (I ). L’application réciproque f −1 est alors continue et strictement monotone de même monotonie que f , de J dans I = f −1 (J ). Si de plus f est dérivable, et que ∀x ∈ I , f ′ (x) 6= 0, alors f −1 est dérivable, et : ∀y ∈ J , ( f −1 )′ (y) = Lycée Jean Perrin 2013/2014 6 / 17 1 f ′ ( f −1 (y)) 16 novembre 2015 Remarque 8 : Ce théorème est connu sous le nom de théorème de la bijection. Important : Si v est dérivable sur l’intervalle I et u dérivable sur l’intervalle v(I ), alors u ◦ v est dérivable sur I et : ∀x ∈ I (u ◦ v)′ (x) = v ′ (x) × u ′ (v(x)) (À titre d’exercice, on pourra dériver ainsi f : x 7→ (x 2 + 1)10 et g : x 7→ cos7 x) On retrouve ainsi la formule de la dérivée de la fonction réciproque, car : ∀y ∈ J , f ◦ f −1 (y) = y, donc : ( f ◦ f −1 )′ (y) = 1 = ( f −1 )′ (y) × f ′ ( f −1 (y)) Exemple 7 : En utilisant le théorème de la bijection, montrons que x2 + 1 est bijective de [−1, 1[ sur un ensemble à déterminer. f : x 7→ (x − 1)2 Solution. f est définie et dérivable sur [−1,1[, et ∀x ∈ [−1,1[ : ′ f (x) = 2x (x − 1)2 −2 x2 + 1 (x − 1)3 = −2(x + 1) (x − 1)3 x −1 −2(x + 1) 0 (x − 1)3 f ′ (x) 1 − 0 − 0 + Le calcul de la dérivée nous donne immédiatement le tableau des variations de f . +∞ f (x) f est donc continue et strictement croissante sur [−1,1[, donc réa1 lise une bijection de [−1,1[ sur f ([−1,1[) = [ ,+∞[ (cf tableau de varia2 tions). 1 2 II Fonctions logarithmes et fonctions exponentielles réelles II.A La fonction logarithme de base a (a ∈]0, 1[∪]1, +∞[) Définition 15 On appelle logarithme de base a l’application notée loga définie sur R∗+ par : loga (x) = est appelé logarithme décimal, et loge est le logarithme népérien. ln x En particulier, log10 ln a La fonction logarithme de base a étant proportionnelle au logarithme népérien, on en déduit l’essentiel des propriétés de cette fonction : Proposition 4 La fonction loga est définie sur R∗+ , dérivable sur R∗+ , et on a : 1. loga (1) = 0, loga (a) = 1. 1 2. ∀x ∈ R∗+ , (loga )′ (x) = x ln a 3. ∀x, y ∈ R∗+ , ∀r ∈ Q : (i) loga (x y) = loga x + loga y µ ¶ x (ii) loga = loga x − loga y y (iii) loga (x r ) = r loga x ½ ½ −∞ si a > 1 +∞ 4. lim loga x = et lim loga x = x→+∞ +∞ si a < 1 −∞ x→0 Lycée Jean Perrin 2013/2014 7 / 17 si a > 1 si a < 1 II.B La fonction exponentielle de base a 16 novembre 2015 On constate donc que les variations de loga dépendent de la valeur de a (suivant le signe de ln a), ce qu’on peut résumer dans les tableaux suivants : Cas a ∈]1, +∞[ (soit l n(a) > 0) Cas a ∈]0, 1[ (soit l n(a) < 0) 0 x a 1 0 x +∞ 1 a +∞ +∞ +∞ 1 l og a 1 l og a 0 0 −∞ −∞ a =2 1 a = 10 1 2 a = 1/10 a = 1/e −1 a = 1/2 On constate que l’application loga est strictement monotone et continue sur ]0, +∞[, et qu’elle admet donc une application réciproque toujours d’après le théorème 1. II.B La fonction exponentielle de base a a est un réel de ]0, 1[∪]1, +∞[. Définition 16 L’application réciproque de loga est appelée exponentielle de base a et notée expa : R → R∗+ . expa est continue et strictement monotone de R sur R∗+ . ½ y = expa x ⇐⇒ x∈R ½ De plus ∀x > 0, expa (loga x) = x et ∀y ∈ R, loga (expa y) = y Proposition 5 ∀x ∈ R on a expa x = e x ln a ln y . ln a D’où ln y = x ln a et, par composition avec exp, on a le résultat. Démonstration. Soit x ∈ R, y = expa x, alors x = loga y = Lycée Jean Perrin 2013/2014 8 / 17 x = loga y y >0 II.B La fonction exponentielle de base a 16 novembre 2015 Conséquence : On étend la définition de la fonction exponentielle de base a à R∗+ en posant : exp1 x = e x ln 1 = 1 Attention cependant, cette dernière fonction n’est évidemment pas bijective. Proposition 6 La fonction expa est dérivable sur R, et on a : 1. expa 0 = 1 et expa 1 = a. 2. ∀x ∈ R, (expa )′ (x) = (ln a) expa x 3. ∀x, y ∈ R, ∀r ∈ Q : (i) expa (x + y) = expa x × expa y expa x (ii) expa (x − y) = expa y (iii) expa (r x) = (expa x)r ½ ½ 0 si a > 1 +∞ 4. lim expa x = et lim expa x = x→−∞ x→+∞ +∞ si a < 1 0 si a > 1 si a < 1 En particulier, une conséquence de 3) est que pour tout rationnel r , on a : expa r = expa (1r ) = (expa 1)r = a r . Par extension, on notera :∀x ∈ R, a x = expa x = e x ln a Lorsque x ∈ Q, cette notation coïncide avec la notation puissance x i e`me de a. Proposition 7 Soient a, b > 0, alors : (i) a 0 = 1 et a 1 = a (ii) ∀x, y ∈ R, (a x ) y = a x y (iii) ∀x, y ∈ R, a x+y = a x a y (iv) ∀x ∈ R, (ab)x = a x b x ax (v) ∀x, y ∈ R, a x−y = y a Lycée Jean Perrin 2013/2014 9 / 17 II.C La fonction puissance 16 novembre 2015 Étude des variations de expa : Cas a ∈]0, 1[ (soit l n(a) < 0) x −∞ 0 1 Cas a ∈]1, +∞[ (soit l n(a) > 0) x +∞ −∞ 0 1 +∞ +∞ 1 expa a ex p a a 0 1 0 4 a= 1 10 a = 10 3 a= 1 2 a=2 2 1 −3 −2 1 −1 Calculer la dérivée de la fonction f : x 7→ x x sur R∗+ . Exercice II.1 : II.C La fonction puissance Définition 17 Soit a ∈ R. On appelle fonction puissance d’exposant a, la fonction : f a (x) : Remarques 9 : 2. lim x a = x→0 Lycée Jean Perrin 2013/2014 ½ +∞ ½ R∗+ x → 7 → 1. ∀x ∈ R∗+ , x 0 = 1 et x 1 = x. ½ 0 si a > 0 +∞ a et lim x = x→+∞ +∞ si a < 0 0 R∗+ x a = expx (a) = e a ln x si a > 0 si a < 0 10 / 17 2 II.D Croissances comparées 16 novembre 2015 Pour cette raison, si a > 0, on adopte la convention 0a = 0. ½ a x si x > 0 La fonction f a = est continue sur R+ . On dit qu’on a effectué un prolongement par continuité 0 si x = 0 de f a . Proposition 8 La fonction f a : x 7→ x a est dérivable sur R∗+ , et ∀x ∈ R∗+ : f a′ (x) = ax a−1 Étude des variations de x 7→ x a : Cas a < 0 x 0 Cas a > 0 1 f a′ (x) 0 x +∞ 1 f a′ (x) − + +∞ +∞ 1 fa +∞ 1 fa 0 3 0 a= y =x 5 2 2 a= 1 2 1 a=− a=− 5 2 1 2 1 2 3 II.D Croissances comparées Nous avons établi la limite de la fonction ln x en +∞. (proposition ??) x ln x 1 É pour tout réel strictement x e p 2 ln x 2ln x ln x , puis par transformation de l’écriture = ¡p ¢2 É positif x, majoration obtenue après l’étude de x 7→ p x x e× x x et utilisation des théorèmes de comparaison. Les limites suivantes, dites « de croissances comparées », se déduisent de ce résultat fondamental et permettent : Il est judicieux de connaître cette démonstration, réalisée par majoration : 1. de lever les indéterminations résultant du quotient de deux fonctions ayant une limite infinie. 2. d’obtenir une information sur la croissance comparée de ces fonctions. Lycée Jean Perrin 2013/2014 11 / 17 II.D Croissances comparées 16 novembre 2015 3. de connaître le terme prépondérant d’une expression mettant en jeu les fonctions usuelles précédemment étudiées au voisinage de l’infini. Il s’agit, lorsque¡ α,¢β, γ sont trois réels strictement positifs, d’étudier les croissances comparées à l’infini des foncγ tions (ln x)α , x β et e x . Proposition 9 Soient α, β, γ trois réels strictement positifs et a > 1, alors : 1. (ln x)α lim xβ x→+∞ = 0, et en particulier lim x→+∞ ln x =0 x x xβ = 0, et en particulier lim x = 0 x→+∞ e x→+∞ e γx (ln x)α ln x = 0, et en particulier lim =0 3. lim x→+∞ e x x→+∞ e γx xβ 4. lim x = 0 x→+∞ a 2. lim Démonstration. On utilise la proposition ??. ∀x ∈]0,+∞[ 1. Pour tout réel x strictement positif, on transforme l’écriture α (ln x)α xβ = Ã ln x β xα !α (ln x)α xβ en utilisant les propriétés de la fonction logarithme. β α ln x α = −→ 0 β x→+∞ β α x | {z } −→ 0 x→+∞ D’après le théorème de la limite d’une fonction composée. 2. En posant X = e x −→ +∞, il vient x = ln X d’où : x→+∞ (ln X )β xβ xβ (ln X )β = = x γ = −→ 0 γx γ ln X e (e ) X γ X →+∞ (e ) D’après la propriété précédente et la limite d’une fonction composée. 3. Cette propriété est une conséquence des deux précédentes, combinées avec le théorème de la limite d’un produit de fonctions : x (ln x)α (ln x)α = × γx −→ 0 x→+∞ e γx x e 4. Comme a > 1 alors ln a > 0 (La fonction x 7→ ln x est strictement croissante sur ]1 + ∞[). xβ xβ xβ = −→ 0 (ln a > 0). = x x ln a x a e (e )ln a x→+∞ Remarque 10 : On déduit de ces résultats : α 1. que (ln x) est négligeable au voisinage de l’infini devant x β 2. que x β est négligeable au voisinage de l’infini devant eγx Il faut être capable de retrouver les limites suivantes à partir des limites de base et des propriétés des fonctions. Proposition 10 Soient α, β, γ trois réels strictement positifs et a > 1, alors : 1. lim+ | ln x|α x β = 0, et en particulier lim+ x ln x = 0 x→0 x→0 2. 3. β γx lim |x| e x→−∞ = 0, et en particulier lim xe x = 0 x→−∞ β x lim |x| a = 0 x→−∞ Démonstration. On démontre seulement les deux cas particuliers, les autres seront traités en TD : Lycée Jean Perrin 2013/2014 12 / 17 16 novembre 2015 1 1 −ln X 1 −→ +∞ : x ln x = ln = −→ 0 x x→0 X X X x→0 (limite d’une fonction composée). X −→ 0 2. On pose X = −x −→ +∞ : xe x = −X e −X = − x→−∞ e X x→−∞ 1. On pose X = Exercice II.2 : Calculer les limites suivantes : x 2 + (ln x)10 1. lim x→+∞ x + ex 2. lim x p x ln x x→0+ 2 ³ (ln x)10 x 1+ x 2 + (ln x)10 x2 1. lim = lim x x→+∞ x→+∞ x +e e x ( exx + 1) Solution. ´ (ln x)10 x2 1 + x2 = lim x × x x→+∞ e +1 ex x2 (ln x)10 x = 0, lim 1 + = 1 et lim x + 1 = 1 x x→+∞ e x→+∞ x→+∞ e x2 x 2 + (ln x)10 D’où (limite d’un produit et limite d’un quotient) : lim =0 x→+∞ x + ex Or, d’après les résultats précédents, lim 2. p p 2 lim x x ln x = lim e x(ln x) x→0+ x→0+ Or, lim x→0+ p 1 x(ln x)2 = lim x 2 (ln x)2 = 0 p x→0+ Donc, lim x x ln x = lim eX = 1 x→0+ X →0 III Fonctions trigonométriques réciproques III.A Fonction arc sinus h π πi dans [−1, 1], donc définit une bijection de La fonction sin est continue et strictement croissante de − , 2 2 h π πi − , dans [−1, 1]. 2 2 Définition 18 h π πi L’application réciproque de sin est appelée arc sinus, et notée arcsin : [−1, 1] → − , . 2 2 h π πi arcsin est continue, strictement croissante, et impaire de [−1, 1] sur − , . 2 2 ( ½ x = hsin y i y = arcsin x π π ⇐⇒ y∈ − , x ∈ [−1, 1] 2 2 h π πi De plus ∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin x) = x et ∀θ ∈ − , , arcsin(sin θ) = θ (Attention ! ce dernier point est faux si θ 2 2 est dans un autre intervalle). Exercice III.1 : p µ µ ¶ ¶ ³ ³ π ´´ 3π 1 2 Calculer les valeurs : arcsin et arcsin sin , arcsin − , arcsin sin − 2 2 3 4 Les relations précédentes nous permettent également de simplifier l’expression cos(arcsin x). On dispose en effet de la relation cos2 X + sin2 X = 1. En particulier, pour X = arcsin x : cos2 (arcsin x) + sin2 (arcsin x) = 1 | {z } =x 2 π π cos étant une fonction positive sur [− , ], on obtient après simplification : 2 2 p cos(arcsin x) = 1 − x 2 Lycée Jean Perrin 2013/2014 13 / 17 III.B Fonction arc cosinus 16 novembre 2015 Proposition 11 La fonction arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[, et : ∀x ∈] − 1, 1[, arcsin′ (x) = p Démonstration. ∀x ∈] − 1 1 =q cos(arcsin y ) 1− y2 1 1 − x2 π π , [ on a sin′ x = cos x 6= 0, donc d’après le théorème 1, arcsin = sin−1 est dérivable et : ∀y ∈] − 1,1[, (arcsin)′ (y ) = 2 2 1.5 π 2 y = arcsin(x) 1.0 0.5 −1.0 0.5 −0.5 1.0 −0.5 −1.0 −1.5 − π 2 III.B Fonction arc cosinus La fonction cos est continue et strictement décroissante de [0, π] dans [−1, 1], donc définit une bijection de [0, π] dans [−1, 1]. Définition 19 L’application réciproque de cos est appelée arc cosinus, et notée arccos : [−1, 1] → [0, π]. arccos est continue et strictement décroissante de [−1, 1] sur [0, π]. ½ ½ y = arccos x x = cos y ⇐⇒ x ∈ [−1, 1] y ∈ [0, π] De plus ∀x ∈ [−1, 1], cos(arccos x) = x et ∀θ ∈ [0, π], arccos(cos θ) = θ (Attention ! ce dernier point est faux si θ est dans un autre intervalle). Lycée Jean Perrin 2013/2014 14 / 17 III.B Fonction arc cosinus Exercice III.2 : 16 novembre 2015 p µ µ ¶ ¶ ³ 3π 3π 1 π ´ 3 ), arccos cos Calculer les valeurs : arccos , arccos(− , arccos cos(− ) et arccos cos 2 2 4 4 2 Proposition 12 La fonction arccos est dérivable sur ] − 1, 1[, et : ∀x ∈] − 1, 1[, 1 arccos′ (x) = − p 1 − x2 Démonstration. On procède de même qu’en III.A. π 3.0 2.5 y = arccos(x) 2.0 1.5 1.0 0.5 −1.0 0.5 −0.5 1.0 1.5 −0.5 −1.0 Exercice III.3 : Lycée Jean Perrin 2013/2014 Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], on a : arcsin x + arccos x = 15 / 17 π 2 2.0 2.5 3.0 III.C Fonction arc tangente 16 novembre 2015 III.C Fonction arc tangente La fonction tan est continue et strictement croissante de ] − dans R. π π π π , [ dans R donc définit une bijection de ] − , [ 2 2 2 2 Définition 20 i π πh L’application réciproque de tan est appelée arc tangente, et notée arctan : R → − , . 2 2 i π πh arctan est continue, strictement croissante, et impaire de R sur − , . 2 2 ( ½ x = itan y h y = arctan x π π ⇐⇒ y∈ − , x∈R 2 2 i π πh De plus ∀x ∈ R, tan(arctan x) = x et ∀θ ∈ − , ,arctan(tan θ) = θ 2 2 (Attention ! ce dernier point est faux si θ est dans un autre intervalle). Exercice III.4 : µ ¶ ³ p 3π π ´ Calculer les valeurs : arctan 1 , arctan 3, arctan tan(− ) et arctan tan 4 4 Proposition 13 La fonction arctan est dérivable sur R, et : ∀x ∈ R, arctan′ (x) = 2 1 1 + x2 π 2 y = arctan(x) 1 − −4 −3 −2 π 2 π 2 1 −1 2 −1 − π 2 −2 −3 Exercice III.5 : Lycée Jean Perrin 2013/2014 Montrer que ∀x > 0, on a :arctan x + arctan 1 π = Que peut-on dire pour x < 0 ? x 2 16 / 17 3 TABLE DES MATIÈRES 16 novembre 2015 Table des matières I Définitions de base I.A Relation d’ordre . . . . I.B Majorants, minorants I.C Fonctions particulières I.D Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 4 5 II Fonctions logarithmes et fonctions exponentielles réelles II.A La fonction logarithme de base a (a ∈]0, 1[∪]1, +∞[) . II.B La fonction exponentielle de base a . . . . . . . . . . . II.C La fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.D Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 10 11 III Fonctions trigonométriques réciproques III.A Fonction arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.B Fonction arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.C Fonction arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 14 16 Lycée Jean Perrin 2013/2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 / 17