Fonctions trigonométrique inverses
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c Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry F ORMULAIRE DE TRIGONOMÉTRIE INVERSE Bijection et variations h π πi • arcsin est une bijection croissante de [−1, 1] sur − , 2 2 • arccos est une bijection décroissante de [−1,i1] sur [0, π] π πh • arctan est une bijection croissante de R sur − , 2 2 Parité arcsin(−x) = − arcsin x arccos(−x) = π − arccos x arctan(−x) = − arctan x Liens avec les fonctions trigonométriques directes ∀x ∈ [−1, 1] sin(arcsin x) = x, h π πi arcsin(sin x) = x ⇐⇒ x ∈ − , 2 2 ∀x ∈ [−1, 1] cos(arccos x) = x, ∀x ∈ R tan(arctan x) = x i π πh arccos(cos x) = x ⇐⇒ x ∈ [0, π] arctan(tan x) = x ⇐⇒ x ∈ − , 2 2 Dérivation ∀x ∈] − 1, 1[ 1 arcsin ′ (x) = √ 1 − x2 ∀x ∈] − 1, 1[ 1 arccos ′ (x) = − √ 1 − x2 ∀x ∈ R arctan ′ (x) = Identités ∀x ∈ [−1, 1], ∀x ∈ [−1, 1], ∀x ∈ R∗ , http://laurentb.garcin.free.fr p sin(arccos x) = cos(arcsin x) = 1 − x2 π arcsin x + arccos x = 2 π 1 arctan x + arctan = signe(x) x 2 1 1 + x2
