Puissance d`un réel positif

Puissance d’un réel positif
Définition :
Quel que soit x strictement positif, quel que soit le réel ,
x = elnx
Propriétés :
Quels que soient les réels x et y strictement positifs,
quels que soient les réels  et  :
x  x = x + 
1
x   
x


x  y = (xy) 
(x) = x
Exemple :
Résoudre l’équation :
3x  4
Résoudre l’inéquation :
0,7 x  3
x ln 0,7  ln 3
ln 3
x
ln 0,7
x ln 3  ln 4
ln 4
x
ln 3
Fonction Puissance
Définition :
On appelle Fonction Puissance  la fonction f définie de ]0 ; + [ vers IR telle que f(x) = x
Remarque : f (x) > 0.
1
1
Cas particulier : x 2  e 2
ln x
 eln
x
 x
Dérivée de la fonction puissance :
Théorème :
Pour tout  réel, la fonction f est dérivable sur IR*+ et f’(x) = (x)’ =  x  – 1
Démo :
f (x) = x  = e lnx = e u(x) avec u(x) =  ln x


f '( x )  u '( x )eu ( x )   e ln x   x   x 1
x
x
Exemple :
= elnx
3
f ( x)  4 x3  x 4
f '( x ) 
3 43 1 3  14
3
x  x  4
4
4
4 x
Etude de la fonction f :
Théorème :
Si  > 0 alors lim x  
x 
si  < 0 alors lim x  0
x 
Démo :
Si  > 0 lim x  lim e ln x  lim e X  
x 
x 
X 
Si  < 0 lim x  lim e ln x  lim e X  lim
x 
x 
X 
x 
1
e
 x
 0 car –  > 0
Sens de variation :
f ’(x) =x-1 est donc du signe de .
Si  > 0 la fonction est croissante, si  < 0 la fonction est décroissante.
Si  < 0
x
0
+

x
+
0
Si  > 0
x
0

x
0
+
+
y
3.6
a=1
a>1
2.7
1.8
0<a<1
0.9
a<0
0
x
0.7
1.4
2.1
2.8
3.5
Application au calcul des dérivées :
Théorème :
Si u est une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors quelque soit le nombre
réel  non nul, la fonction u est dérivable sur I et
(u)’ =  u’ u - 1
Ex1 : Dériver la fonction telle f : x  f ( x )  3 2 x  1 définie sur ]–0,5 ; + [
f ( x )  (2 x  1)
2
3
2
1
1

2
4
4
3
f '( x )   2(2 x  1)  (2 x  1) 3  3
3
3
3 2x  1
Ex2 : Déterminer une primitive de la fonction f : x
1
1
f ( x )  2 x x ²  1  2 x( x ²  1) 2  u '( x )u( x ) 2 
3
2
2
2
F ( x )  u( x ) 
( x ²  1)3
3
3
f ( x)  2 x x²  1
3
1
2 3
 u '( x )u( x ) 2
3 2