Exercice 1 : ( 5 Points) On considère la fonction f définie sur par

Contrôle de mathématiques Ts
Vendredi 5 avril 2013
Correction
Exercice 1 : ( 5 Points)
On considère la fonction f définie sur par :
=
ln 1 +
1) Déterminer la limite de f en +∞ .
=
+
ln 1 +
)
( aide : on montrera que
Solution
=
1+
=
1+
=
=
× + ln 1 +
=
+
ln 1 +
Or lim
=0
!" é
→
Et lim 1 +
= 1 donc lim ln 1 +
→
→
Donc, par somme, on obtient lim
→
=0
+ ln 1 +
= ln 1 = 0 et lim
→
=0
2) Déterminer la limite de f en −∞ .
&' ( $
( Rappel :lim $ = 1)
$→%
Solution
On a
=
1+
Posons : - =
On sait que
=
, quand
)* ( + ,
+,
→ −∞ ; alors - → 0
ln 1 + = 1 / ! 0 123 0 3 1 4
$→%
Par composition, on a lim
=1
lim
0
→
3) On admet que f est dérivable sur ℝ , et que l’on a :
2
+
=
+1
Solution : Montrer que f est dérivable sur ℝ:
On a 1 +
continue, dérivable et strictement positif sur ℝ, donc ln 1 +
dérivable sur ℝ.
De plus
continue, dérivable sur ℝ.
Donc, f est continue, dérivable sur ℝ.
2
Soit
=−
ln 1 +
+
+ 6, + ,
( +,
2
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=−
+
ln 1 +
=
+ 6,
+ + 6,
continue,
(
+1
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4) En déduire une primitive 7 de
sur ℝ.
Solution
+ 6,
Il suffit de trouver une primitive de
On a ln 1 +
2
=
+ 6,
(
( + 6,
+ 6,
7
:
+ 6,
=−
Exercice 2 :( 4 Points)
+ &'
On pose, pour tout entier n, >* = ?(
1. En dérivant la fonction
Solution
Posons D
=
ln
On a donc
est :
F
(
d’où
−
1+
+ 1 ln 1 +
+
1
@
sur [ 1 , ], déterminer >% .
→
sur[ 1 , ], ,la fonction est dérivable et sa dérivée est :
1
D2
= 1 × ln + × = ln + 1
= D2
− 1 ce qui nous permet de trouver une primitive à
D
+ )*
>E = ?(
:;
> 0, qui est sous la forme de 9 <
avec
= − ′ + 6, = − 2
− 6,
+
(
+
− ln 1 +
=−
1+
1+
−
1+
1+
− ln
−
1+
1+
−
1+
− −
Or on a
7
=−
=−
=−
=−
D’où
Donc
+ 6,
−
+
=
−
+
(
1 = ?( ln 1 = G
H
, qui
− I =
− -1
(
1+1=1
2. Calculer>( .
Solution
+
>( = J
(
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(
1
1 = K ln
2
H
+
M =
(
1
ln
2
H
−
1
ln 1
2
H
=
1
2
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3. Montrer que la suite >* est une suite positive.
Solution
La fonction
*
est positive sur [ 1 , ], donc >* est une suite positive
=
4. Montrer que la suite >* est décroissante.
Solution
(
Sur [ 1 , ], on a ≥ 0
0< <1
0 < >* ( < >*
D’où la suite >* est décroissante
5. Montrer que, ∀
+ (
> 1 , 0 ≤ >* ≤ ?(
Solution
Sur [ 1 , ], on a 1 ≤
+ (
Avec ?(
@
1 =G
0<
(
≤
* (
×
(
@
@6Q
I =
(
<
(
0<
@
&'
@PQ
<
&'
@
. En déduire la limite de la suite >* .
0 < ln
+
(
@PQ
<1
*
(
0<
<
(
9− + @6Q + 1<
(
(
@
0 < >* < ?1
1
1
Exercice 3 : ( 4 Points)
Deux amis «U» et «W» se donnent rendez-vous dans un centre commercial entre 12 ℎ et 13 ℎ.
« U» décide d’arriver à 12 ℎ 30, alors que «B» arrive au hasard entre 12 h et 13 h.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire T donnant l’heure
d’arrivée de « W » ?
Solution
La loi est la loi uniforme sur l’intervalle [ 12 ; 13 ].
_ `
On rappelle que, pour une telle loi : \ ; ]^ = (a (H = ] −
avec
et ] en heure
b. Calculer la probabilité que « W » arrive avant « U ».
Solution
On veut b ≤ 12,5 , car il doit donc arriver avant 12 h 30, ce qui correspond en
heure à 12,5h.
(
Soit b ≤ 12,5 = 12 ≤ b ≤ 12,5 = 12,5 − 12 = 0,5 = H
(
La probabilité que « B » arrive avant « A » est donc de H
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c. Calculer la probabilité que « U » attende plus de 10 ! .
Solution
La probabilité que « A » attende plus de 10 min correspond à la probabilité que « B »
arrive entre 12 h 40 et 13 h
d%
H
La conversion de 40 min en heure est = , donc on veut :
e%
a
2
2
1
f12 + ≤ b ≤ 13g = 13 − f12 + g =
3
3
3
(
La probabilité que « A » attende plus de 10 min est donc de a..
d. Calculer la probabilité que « W » attende moins de 5 ! .
Solution
« B » doit arriver entre 12 h 25 et 12 h 30, on veut donc :
25
25
1
≤ b ≤ 12,5g = 12,5 − f12 + g =
60
60
12
(
La probabilité que « B » attende moins de 5 min est donc de (H.
f12 +
Exercice 4 : ( 6 Points)
La durée de vie, en années, d’un composant radioactif est une variable aléatoire b qui suit la
loi exponentielle de paramètre i = 0,0005 .
a. Calculer b < 1500 .
Solution
On a :
(j%%
b < 1500 = ?%
0,0005
%,%%%j
= − %,%%%j×(j%% − −
= 0,5276
(
1 = GH −
%,%%%j×%
%,%%%j
=−
(j%%
I
%
%,%%%j×(j%%
+1
b. Calculer 1500 < b < 2500 .
Solution
Hj%%
1500 < b < 2500 = ?(j%% 0,0005
=−
= 0,1859
%,%%%j×Hj%%
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%,%%%j
− −
(
1 =G −
H
%,%%%j×(j%%
%,%%%j
Hj%%
I
(j%%
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c. Calculer la probabilité que le composant résiste plus de 3000
Solution
Cette probabilité correspond à :
a%%%
b > 3000 = 1 −
b < 3000 = 1 − ?%
0,0005
(
=1−G −
%,%%%j
H
%,%%%j×a%%%
= 1+
= 0,2231
a%%%
I
%
+ −
%,%%%j×%
= 1+
.
%,%%%j
1
%,%%%j×a%%%
−1
d. Calculer la probabilité que le composant ne soit pas désintégré au bout de 2000
sachant qu’il n’a pas été désintégré au bout de 1000 ans.
Solution
Sachant que la loi exponentielle est sans vieillissement, on a :
b > 1000
no(%%% b > 2000 =
Et
(%%%
b > 1000 = 1 − b < 1000 = 1 − ?%
0,0005 %,%%%j 1
(%%%
1
%,%%%j
=1−K −
M
2
%
= 1+ %,%%%j×(%%% + − %,%%%j×% = 1+ %,%%%j×(%%% − 1
= 0,6065
e. Calculer la durée de vie moyenne d’un composant.
Solution
(
(
On sait que p b = q = %,%%%j = 2000.
La durée de vie moyenne d’un composant est donc de 2000 années.
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