2Niv2_Fct_chap 4

Mathématiques 2 e Niv.1 et 2
Deuxième partie : Fonctions
Théorie chapitre 4
CHAPITRE 4
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
§4.1 Introduction : les angles
4.1.1 Unités de mesure des angles
Deux unités de mesure sont couramment utilisées pour les angles : degrés et radians. Ces deux unités se
trouvent sur toutes le calculatrices scientifiques et sont abrégées généralement : DEG et RAD. En général,
la calculatrice travaille par défaut en degrés et il faut changer de mode si l'on veut travailler avec l’autre
unité.
Définitions:
e
Le degré est la mesure de la 90 partie d'un angle droit.
Le radian est la mesure de tout angle au centre qui intercepte sur un cercle quelconque un arc qui a
la même longueur que le rayon du cercle. (Pour la justification et l'explication de cette définition voir cidessous)
Considérons un angle et trois cercles concentriques. Le
même angle α détermine sur les trois cercles, trois arcs dont
les longueurs sont respectivement l1 , l2 et l3 .
De l'égalité des trois rapports suivants :
on peut tirer :
Le rapport
l1
l
l
= 2 = 3 ,
2πr1 2πr2 2πr3
l1 l2 l3
=
=
r1 r2 r3
longueur de l'arc
l
=
ne dépend pas du cercle considéré, mais de l'angle α tracé; ce
r longueur du rayon
rapport, appelé la mesure en radians de l'angle α, est noté : α(rad) =
l
et ceci quelle que soit l'unité
r
de mesure adoptée pour les longueurs, pour autant qu'elle soit la même. Cette mesure en RAD étant
le rapport entre deux segments mesurés avec la même unité, est donc un nombre "pur", c'est-à-dire
un nombre non accompagné par une unité de mesure : en d'autres mots, α(rad) est un nombre réel.
l
La formule α(rad) = , très utile, se trouve dans la table numérique (p. 38, sous la forme l = αr),
r
Si, dans la formule précédente, le rayon vaut 1, on a α(rad) = l, donc, sur un cercle de rayon unitaire,
la mesure d'un angle en radians est égale à la longueur de l'arc intercepté sur ce cercle. C'est pour
cette raison, qu'en trigonométrie, on travaille toujours en prenant comme cercle de référence un cercle
de rayon unitaire (r = 1), appelé cercle trigonométrique.
Si, dans la formule précédente, l'arc est le cercle entier ( l = 2π r ), on obtient la mesure en rad de
l'angle au centre correspondant à un tour complet:
l
2πr
=
= 2π : la mesure du tour complet en radians est 2π.
r
r
La mesure du même angle en degrés est 360°
α(rad) =
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Le tableau ci-dessous donne la correspondance entre les mesures d'angles en degrés et en radians.
Degrés
0°
30°
45°
60°
90°
180°
360°
Radians
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
2π
Combien un angle dont la mesure est de α(deg), mesure-t-il en radians?
Il est évident que la mesure en radians d'un angle de 1° est
1
de 2π.
360
Alors la mesure en radians d'un angle de α(deg) est α(deg)
2π
,
360
ce qu'on écrit α(rad) = α(deg) ⋅
2π
α (rad)
=
⇔
360°
2π
α°
360°
Si l'on veut prendre comme angle de référence, l'angle plat, on a alors :
€
r
1 rad
r
α (rad)
α°
=
π (rad) 180°
Si l'arc a la même longueur que le rayon, on a :
€
l r
α(rad) = = = 1 :
r r
l'angle α, dans ce cas, mesure 1 radian.
Cette situation correspond à la définition vue précédemment.
Une question se pose immédiatement :
« Quelle est la mesure en degrés d'un angle de 1 radian ?».
Il est possible d'y répondre en utilisant :
α(rad) α(deg)
, ce qui nous donne 57,2957795 ° = 57° 17' 44,8''
=
2π
360°
Par la suite, nous utiliserons principalement les radians, et un peu moins fréquemment les degrés.
4.1.2 Extension de la notion d’angle
Soit un cercle trigonométrique centré en l'origine <0;0> d'un repère
orthonormé du plan. Soit une copie de l'ensemble R, tangente au
π
3
cercle au point <1; 0>. On enroule cette copie de l'ensemble R
autour du cercle trigonométrique:
2
π/2
• le nombre 0 de R "reste en place", c'est-à-dire sur le
point <1;0>.
<0;1>
<-1;0>
π
• le nombre est envoyé sur le point <0; 1>,
2
• π sur le point <-1; 0>,
<0;0>
<0;-1>
1
<1;0>
-1
-2
• 2π sur <1; 0>,
-3
-π
• -π sur <-1; 0>, etc…
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L'orientation de la droite-copie de R donne le sens
trigonométrique des angles: le sens positif est le
+
sens inverse de celui des aiguilles d'une montre. On
-
parle d'angles orientés quand on a soit des angles
positifs, soit des angles négatifs.
L’application de R sur le cercle trigonométrique n’est pas bijective.
En effet, il s’agit d’une application, puisque à chaque nombre x ∈ R (préimage) correspond un est un seul
point (image) du cercle trigonométrique. Cependant, comme à chaque point (image) du cercle
correspondent une infinité de nombres réels (préimages) qui diffèrent d'un nombre entier de 2π, l’application
n’est pas bijective.
... , −3π/2, π/2, 5π/2, ...
... , −3π, −π, π, 3π, 5π, ...
... , −7π/4, π/4, 9π/4, ...
... , −4π, −2π, 0, 2π, 4π, 6π, ...
... , −5π/2, −π/2, 3π/2, ...
§4.2 Les fonctions trigonométriques
4.2.1 Définitions des fonctions trigonométriques.
P
Soit un nombre réel x, sur la droite copie de R, tangente au
sinx
cercle en S.
A ce nombre réel x correspond un point du cercle
O
x
cosx
A
x
S=<1;0>
trigonométrique.
La mesure en rad de l'angle SOP =
longueur arc x
=
= x.
rayon
1
Au même nombre x correspondent donc :
à la fois la mesure d'un segment, d'un arc de cercle et d'un angle.
Définitions :
L'abscisse de ce point P du cercle trigonométrique est cos(x), donc cos(x) est la mesure
algébrique du segment OA.
L'ordonnée de ce point P du cercle trigonométrique est sin(x), donc sin(x) est la mesure algébrique
du segment AP.
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De plus, si l'on prolonge la droite OP jusqu'à son intersection T avec la droite copie de
(la tangente
au cercle en <1;0>), la mesure algébrique du segment ST est, par définition, la tangente du même
nombre réel x.
Remarque :
Il est évident que le nombre tg(x) n'est défini lorsque x ∈{....−
π
+ k ⋅ π } et k ∈ .
2
c'est-à-dire lorsque x ∈ {
S=<1;0>
x
O
cosx
Axe du cosinus
tgx
Axe du sinus
A
sinx
x
O cosx
x
Axe de la tangente
T
x
tgx
sinx
P
5π
3π
π
π
3π
5π
;−
;− ;+ ; +
;+
; ...}
2
2
2
2
2
2
cos(x) > 0
sin(x) > 0
tg(x) > 0
cos(x) < 0
sin(x) > 0
tg(x) < 0
Selon les différents quadrants du cercle
II
I
III
IV
trigonométrique, les fonctions trigonométriques
ont les signes différents suivants :
cos(x) > 0
sin(x) < 0
tg(x) < 0
cos(x) < 0
sin(x) < 0
tg(x) > 0
4.2.2 Propriétés immédiates
A)
Selon les définition données, quel que soit le nombre réel x, on a :
-1 ≤ sin(x) ≤ 1
-1 ≤ cos(x) ≤ 1
Il est possible ainsi de définir les trois fonctions trigonométriques :
sin :
→ [-1;1]
x  sin(x)
cos :
→ [-1;1]
x  cos(x)
Remarques :
1.
2.
tg :
$π
'
\ % +k⋅π(} →
&2
)
x  tg(x) et k∈
€
Il est également possible de trouver la fonction cotangente, qui est définie comme suit :
cos(x)
cotg(x) =
.
sin(x)
Les fonctions sinus et cosinus sont bornées. car, | cos(x)| ≤ 1 et |sin(x)| ≤ 1.
Définition d’une fonction bornée :
Une fonction f est dite bornée (globalement), s'il existe un nombre réel B tel que : |f(x)| ≤ B ∀x ∈ Df.
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B)
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En appliquant le théorème de Pythagore, on a la relation suivante entre sin(x) et cos(x) :
sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1
€ C)
Il existe une relation fondamentale liant sin(x), cos(x) et tg(x). On
peut trouver facilement cette relation en considérant les deux
triangles semblables ABO et OCD.
R
D'après le théorème de Thalès, on a :
AB OB
=
CD OC
(*);
A
En utilisant les définitions précédentes du sinus, du cosinus et de
la tangente, on a :
C
B
OC = 1, AB = | sin(x) |, OB = | cos(x) | et CD = | tg(x) |
O
D
et l'égalité précédente (*) devient :
| sin(x)| | tg(x) |
=
| cos(x) |
1
De plus, l'égalité ci-dessus est également vraie en signe, puisque la tangente est positive lorsque
sin(x) et cos(x) sont de même signe et négative lorsque sin(x) et cos(x) sont de signes contraires; on
peut donc écrire :
tg(x) =
sin(x)
cos(x)
En considérant l'égalité ci-dessus, on peut vérifier que la tangente n'est pas définie pour {
k ∈ , donc Df =
D)
\{
π
+ k ⋅ π } et k ∈
2
π
+ k. π } et
2
.
D'autre part, on sait que des nombres réels qui diffèrent d'un multiple de 2π sont envoyés sur le même
point du cercle; cela signifie que ces deux nombres réels ont le même sinus et le même cosinus :
si x' = x + 2kπ, alors sin(x') = sin(x) et cos(x') = cos(x).
Ces égalités peuvent aussi s'écrire : sin(x + 2kπ) = sin(x) et cos(x + 2kπ) = cos(x).
Donc, pour n'importe quel nombre réel x, on a :
sin(x + 2kπ) = sin(x)
cos(x + 2kπ) = cos(x)
et pour n'importe quel nombre réel x appartenant à
\{
π
+ k ⋅ π } où k ∈
2
tg(x+kπ) = tg(x)
Définition d'une fonction périodique :
Si, pour une fonction réelle f, il existe un nombre réel T tel que pour tout nombre réel x on ait
f(x + T) = f(x), on dit que la fonction f est périodique et que T est une période de cette fonction.
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a
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a+T
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b
b+T
f
T
T
Le graphique d'une fonction périodique se répètant donc "périodiquement", il suffit d'étudier la fonction
sur un intervalle d'une période pour la connaître complètement.
Il est évident que les fonctions sin et cos sont des fonctions périodiques de période égale à 2π, alors
que la fonction tangente est une fonction de période égale à π.
Remarque :
De sin(nx) = sin(α), on peut tirer nx = α + 2kπ et donc x =
α
2π
2π
. La période est donc de
.
+ k
n
n
n
Il faut rajouter que l'égalité sin(nx) = sin(α) est aussi possible si nx = π - α + 2kπ (cf la suite du cours),
mais cela ne modifie pas la période.
€
€
2π
π
De même, pour cos(nx), la période sera de
, alors que pour tg(nx), elle sera de
.
n
n
Exemple :
€ = 4.cos(3x)
Trouver la période de la fonction f(x)
€
La fonction cosinus ayant une période de 2π, elle vérifie donc l'égalité suivante :
4.cos(3x + k.2π ) = 4.cos(3x) , pour tout k ∈
4.cos [3 ( x + k ⋅
On a donc :
.
2π
)] = 4.cos (3x) pour tout k ∈
3
2π
) = f (x) pour tout k ∈ .
3
On aurait également pu raisonner de la manière suivante et se dire:
f (x + k ⋅
ou
4π
2π
≤x≤3
3
2π
-2π ≤ 3x ≤ 0
⇔
≤x≤0
3
2π
0 ≤ 3x ≤ 2π
⇔
0 ≤x≤
3
2π
4π
2π ≤ 3x ≤ 4π
⇔
≤x≤
3
3
2π
On voit donc que la fonction f est de période
, puisque la fonction cos est de période 2π.
3
-4π ≤ 3x ≤ -2π
⇔
-
Remarque finale :
2
On peut remarquer que le carré du nombre réel sin(x) qui devrait être noté [sin(x)] , est noté depuis
2
2
2
des siècles sin (x). La même remarque vaut pour [cos(x)] )= cos (x) et [tg(x)]
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2
2
= tg (x).
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4.2.3 Représentations graphiques
A l'aide de la calculatrice, on détermine facilement les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente. On
peut prendre, par exemple, des angles distants de
π
. En reportant ces valeurs dans un repère
12
orthonormé, on obtient le graphique du sinus, du cosinus ou de la tangente (voir la table numérique à la
page 70).
a) La fonction sinus
sin :
→ [-1;1]
x
 sin(x)
La période est 2π
Graphique du sinus :
1
0
π /6
π
2π
-1
La fonction sinus est croissante de -
π
π
π
3π
à
et décroissante de
à
.
2
2
2
2
sin(-x) sin(x)
La fonction sinus est impaire.
On a, en effet :
sin(-x) = -sin(x)
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x
-x
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b) La fonction cosinus
cos :
→ [-1;1]
x  cos(x)
La période est 2π
Graphique du cosinus
1
0
π /6
π
2π
-1
La fonction cosinus est croissante de π à 2π et est décroissante de 0 à π (et ainsi sur chaque période de la
fonction).
La fonction cosinus est paire.
cos(x)
On a, en effet :
x
-x
cos(-x) = cos(x)
cos(-x)
c) La fonction tangente
tg :
\{
π
+ k⋅π } →
2
 tg(x)
x
et k∈
La période est π.
La fonction tangente est croissante sur chaque intervalle
de la forme :
]
π
π
+ k ⋅ π ; + (k + 1)⋅ π [
2
2
La fonction tangente est impaire. En effet,
tg(-x)
=
sin(−x) − sin(x)
sin(x)
=
== - tg(x).
cos(−x)
cos( x)
cos(x)
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4.2.4 Valeurs remarquables du sinus, du cosinus et de la tangente.
α=
π
6
(α = 30°)
Puisque α <
y
π
, sin(α), cos(α) et tg(α) sont trois nombres
2
positifs. Si A est le point du cercle sur lequel est envoyé α,
l'angle COA mesure 30°. La parallèle à l'axe y passant par
A
A, coupe le cercle en B et le triangle OAB est isocèle
O
C
x
avec l'angle AOB mesurant 60°. Le triangle AOB est donc
équilatéral et ses côtés mesurent 1; l'axe Ox est à la fois
B
bissectrice de l'angle AOB et médiatrice du segment AB.
π
1
sin( )
3
1
π
6
tg( ) =
= 2 =
=
π
3
6
3
3
cos( )
6
2
π
1
1
sin( ) = AC = AB =
6
2
2
cos(
α=
3
3
=
4
2
12
π
) = 1− ( ) =
2
6
π
(α = 60°)
3
Si A est le point du cercle sur lequel est envoyé α, alors
y
A
l'angle AOB mesure 60°. Le triangle OAB est isocèle, car
OB = OA = 1; par conséquent, les deux autres angles
O
C
B
x
mesurent aussi 60° et le triangle OAB est donc équilatéral;
la droite AC, parallèle à Oy est bissectrice de l’angle OAB
et médiatrice du segment OB.
π
1
1
cos( ) = OC =
OB =
3
2
2
sin(
α=
π
4
12
π
) = 1− ( ) =
2
3
π
3
sin( )
3
π
3
2
tg( ) =
π = 1 = 1 =
3
cos( )
3
2
3
3
3
=
4
2
(α = 45°)
Si A est le point du cercle sur lequel est envoyé α, alors OA
y
A
O
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x
est la diagonale d'un carré dont les côtés mesurent
π
π
π
π
sin( ) = cos( ). et sin2( ) + cos2( ) = 1.
4
4
4
4
2
1
π
π
π
Alors 2sin2( ) = 1; d'où sin( ) = cos( ) =
=
2
4
4
4
2
π
sin( )
π
4 = 1.
et tg( ) =
π
4
cos( )
4
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Théorie chapitre 4
Voici un résumé des résultats précédents :
Angles
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
tg
0
3
3
1
3
Pas
défini
0
4.2.5 Quelques relations entre les images du sinus, du cosinus et de la tangente
π
2
π
ou, si l'on veut, entre 0 et
, pour connaitre toutes les autres. Les relations suivantes obtenues par égalité
Il suffit de connaître les images des fonctions trigonométriques pour les valeurs de x comprises entre 0 et
4
des triangles, permettent de se ramener à un angle compris entre 0 et
angles opposés
sin(-x) = –sin(x)
π
.
2
cos(-x) = cos(x)
tg(-x) = –tg(x)
angles supplémentaires sin(π – x) = sin(x)
cos(π – x) = –cos(x)
tg(π – x) = –tg(x)
angles différant de π
sin(π + x) = – sin(x)
cos(π + x) = –cos(x)
tg(π + x) = tg(x)
angles
complémentaires
sin(
π
– x) = cos(x)
2
cos(
π
– x) = sin(x)
2
tg(
1
π
– x) =
tg(x)
2
A part quelque petite variante, il s'agit du tableau qui se trouve à la page 30 de la table numérique
Angles opposés
Deux angles sont opposés si leur somme est égale à k. 2π.
La mesure algébrique de AB est sin(x)
y
La mesure algébrique de CB est sin(-x)
Ces deux mesures sont égales en valeur absolue, mais de
sin(-x) sin(x)
A
signe contraire
x
O
-x
B
C
x
La mesure algébrique de OB est aussi bien cos(x) que cos(-x)
cos(-x) = cos(x)
tg(-x) =
sin(−x) − sin(x)
=
= - tg(x),
cos(−x)
cos( x)
d'où
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sin(-x) = - sin(x)
tg(-x) = -tg(x)
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Angles supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires si leur somme est égale à π + k. 2π.
La mesure algébrique de AB est sin(x). La mesure algébrique de DE est
sin(π - x). Ces deux mesures sont égales en valeur absolue et en signe.
y
D
sin(π - x) = sin(x)
A
π-x
La mesure algébrique de OB est cos(x). La mesure algébrique de OE est
x
O
E cos(-x)
cos(x)
x
B
cos(π − x). Ces deux mesures algébriques sont égales en valeur absolue,
mais de signe contraire.
cos(π - x) = - cos(x)
tg(π - x) =
sin(π − x)
sin(x)
=
= - tg(x)
cos(π − x)
− cos( x)
tg(π - x) = - tg(x)
Angles complémentaires.
π
+ k ⋅ 2π .
2
La mesure algébrique de OB est cos(x). La mesure algébrique de OD est
π
sin( - x). Ces deux mesures algébriques sont égales en valeur absolue
2
π
sin( − x) = cos(x)
et en signe.
2
Deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à
y
C
D
A
π -x
2
x
B
O
x
La mesure algébrique de AB est sin(x). La mesure algébrique de DC est
π
cos( -x). Ces deux mesures sont égales en valeur absolue et en signe.
€
2
π
cos( − x) = sin(x)
2
π
sin( − x) cos(x)
1
π
π
1
2
tg( - x) =
=
=
= cotg(x), d'où tg( − x) =
π
€
sin(x)
tg(x)
2
tg(x)
2
cos( − x)
2
Angles dont la différence est π.
€
Deux angles diffèrent de π si leur différence est égale à π + k. 2π.
La mesure algébrique de AB est sin(x). La mesure algébrique de DC est sin(π + x)
Ces deux mesures sont égales en valeur absolue, mais de signe contraire
y
sin(π + x) = - sin(x)
A
π+x
La mesure algébrique de OB est cos(x). La mesure algébrique de OD est cos(π + x).
x
D
O
B
x
Ces deux mesures sont égales en valeur absolue, mais de signe contraire
cos(π + x) = - cos(x)
C
tg(π + x) =
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sin(π + x)
− sin(x)
=
= tg(x)
cos(π + x) − cos( x)
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tg(π + x) = tg(x)
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