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Trigonométrie
Table des matières
1
2
mesure d’un angle
1.1 activité : cercle trigonométrique et mesure d’angle en radians . . . . .
1.2 corrigé activité : cercle trigonométrique et mesure d’angle en radians
1.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sinus et cosinus d’un angle orienté
2.1 activité : sinus et cosinus . . . .
2.2 corrigé activité : sinus et cosinus
2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
3
5
7
8
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.
11
11
12
16
17
3
évaluation
18
4
devoir maison
19
5
TP
20
1
1.1
mesure d’un angle
activité : cercle trigonométrique et mesure d’angle en radians
Le but est d’indiquer sur le "cercle trigonométrique" (cercle orienté de rayon 1) la "mesure
d (en degrés et en "radians") pour chacun des rayons ci dessous (figures
principale" de l’angle IOM
question c)
1. sachant que
(1) la mesure en radian, d’un angle non orienté α,
est égale à la longueur l de l’arc de cercle de rayon r = 1 qu’intercepte cet angle
(2) la longueur d’un arc de cercle intercepté est proportionnelle
à la mesure de l’angle
(a) calculer la longueur l de l’arc de cercle de rayon r = 1 et d’angle 360◦
en déduire la mesure en radian d’un angle de 360◦ (rappel : p = 2πr)
l
α
r=1
r=1
(b) compléter le tableau ci dessous (valeurs exactes simplifiées et à 0,1 près pour 1 radian)
mesure en degrés
0
mesure en radians
45
90
π
6
1
π
3
120
150
3π
4
360
π
calculs :
d ci dessous en
(c) placer les mesures principales (dans ] − 180 ; 180] ou ] − π ; π]) d’angles IOM
tenant compte de l’orientation
mesures d’angles en degrés
mesures d’angles en radians
+
O
I
+
O
I
−
−
2. placer A, B, C, ... sur le cercle de droite et donner la mesure principale de l’angle sachant que
d a pour mesure 3π ( que l’on notera IOA
d = 3π )
(a) IOA
d = −6π
(b) IOB
d = 7π
(c) IOC
2
d = − 5π
(d) IOD
2
d = 5π
(e) IOE
4
d = − 5π
(f ) IOF
4
d = 4π
(g) IOG
3
d = − 40π
(h) IOH
3
d = 15π
(i) IOJ
6
d = − 75π
(j) IOK
6
1.2
corrigé activité : cercle trigonométrique et mesure d’angle en radians
Le but est d’indiquer sur le "cercle trigonométrique" (cercle orienté de rayon 1) la "mesure
d (en degrés et en "radians") pour chacun des rayons ci dessous (figures
principale" de l’angle IOM
question c)
1. sachant que
(1) la mesure en radian, d’un angle non orienté α,
est égale à la longueur l de l’arc de cercle de rayon r = 1 qu’intercepte cet angle
(2) la longueur d’un arc de cercle intercepté est proportionnelle
à la mesure de l’angle
l
α
r=1
(a) calculer la longueur l de l’arc de cercle de rayon r = 1 et d’angle 360◦
en déduire la mesure en radian d’un angle de 360◦ (rappel : p = 2πr)
✞
à 360◦ correspond 2π radians
p = 2π × 1 = 2π donc
✝
☎
✆
r=1
(b) compléter le tableau ci dessous (valeurs exactes simplifiées et à 0,1 près pour 1 radian)
mesure en degrés
0
30
45
mesure en radians
0
π
6
π
4
≃
57, 3
1
60
90
120
135
150
180
360
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
2π
calculs :
(
☎
✄
360 ↔ 2π
1 ✞
π
1
360
360 ↔ 2π
π
⇒ x = 360 × 1 ×
⇒ x = 360 × ×
≃ 57, 3
=
= ✂ 30 ✁
✆
x↔
x↔1
6 2π
12
2π ✝
6
d ci dessous en
(c) placer les mesures principales (dans ] − 180 ; 180] ou ] − π ; π]) d’angles IOM
tenant compte de l’orientation
mesures d’angles en degrés
mesures d’angles en radians
π
2π
π
2
3 π
3π 3
J
4
4
π
5π
F
6
6
90
120
60
135
45
150
180
30
π A
I 0
O
−150
−135
−120
+
−30
−60
−90
−45
−
−
O
5π
6
3π
−
4
E
G=H
−
2π
3
C=D=K
π
−
2
+
B I 0
π
−
6
π
−
4
π
−
3
−
2. placer A, B, C, ... sur le cercle de droite et donner la mesure principale de l’angle sachant que
(a)
(b)
✞
☎
✝
✞
✆☎
d = 3π ≡ π[2π]
IOA
d = −6π ≡ 0[2π]
IOB
✝
☛
✆✟
☛
✟
☛
☛
✟
☛
d = − 5π ≡ 3π [2π]
(f ) IOF
4
4
✡
✠
d = 7π ≡ − π [2π]
IOC
2
2
✡
✠✟
☛
✟
☛
5π
π
4π
2π
d =−
d =
(g) IOG
(d) IOD
≡ − [2π]
≡ − [2π]
2
2
3
3
✡
✠
✡
✠
(c)
✟
d = 5π ≡ − 3π [2π]
d = − 40π ≡ 2π [2π]
(e) IOE
(h) IOH
4
4
3
3
✡
✠
✡
✠
✟
d = 15π ≡ π [2π]
(i) IOJ
6
2
✡
✠
☛
✟
d = − 75π ≡ − π [2π]
(j) IOK
6
2
✡
✠
Explications pour les mesures principales :
☛
✟
40π
(a) −
✡ 3 ✠
40π
40π
−
∈]
/ − π; π] donc −
n’est pas la mesure principale
3
3
40
( − ≃ −13, 33 et −13, 33 ∈]
/ − 1; 1] )
3
40π
pour que le résultat soit dans ] − π; π]
on ajoute autant de fois 2π qu’il faut à −
3
40π
−
3 = − 40π × 1 = −40 ≃ −6, 66
2π
3
2π
6
40π
on peut donc ajouter 6 fois 2π à −
3
−40π + 36π
−4π
40π
+ 6 × 2π =
=
−
3
3
3
−4π
mais on a encore
∈]
/ − π; π]
3
on ajoute encore 2π
−
4π
4π + 6π
2π
+ 2π = −
=
3
3
3
et
2π
∈] − π; π]
3
☛
✟
40π
40π
2π
2π
est alors la mesure principale de −
et on écrit −
≡
[2π]
3
3
3
✡ 3
✠
2π
40π
congru à
modulo 2π
−
3
3
1.3
à retenir
définition 1 : (mesure d’angle non orienté en radian)
quel
que soit l’angle (non orienté) α
✄
✂ la mesure en radian ✁ de l’angle α est égale à la longueur l
de l’arc de cercle de rayon r = 1 intercepté par cet angle
α
r=1

 mesure
l=
en radian

de α
remarques
i. "tour complet" : 2πr = 2π × 1 = 2π
π
1
× 2π =
4
2
iii. on confond usuellement l’angle avec la valeur de sa mesure, mesure(α) = α
ii. "quart de tour" : par proportionnalité,
degrés
0
30
45
≃ 57
60
90
120
135
150
180
radians
0
π
6
π
4
1
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
iv.
exemples
l=
π
l=
π
4
α=
4
r=1
π
2
l=π
π
2
r=1
α=
α=π
r=1
définition 2 : (cercle trigonométrique et mesure d’angle orienté en radian)
(1) Le cercle trigonométrique
est le cercle de rayon r = 1
(2) Quel que soit l’angle orienté α,
si l’angle est dans le sens positif,
la mesure en radian de l’angle α est égale à la longueur l
l
de l’arc de cercle de rayon r = 1 intercepté par cet angle
α=l
sinon c’est -1 que multiplie cette longueur
r=1
exemples
π
l=
π
4
α=+
4
r=1
+
orienté négativement dans le sens horaire
orienté positivement dans le sens anti-horaire
l=
r=1
l
α = −l
r=1
l=π
l=π
α = +π
α = −π
π
2
π
2
r=1
α=−
r=1
r=1
remarques
i. le sens positif est appelé le "sens trigonométrique" ou sens "direct"
ii. le sens négatif est appelé le "sens horaire" ou sens "indirect"
+
définition 3 : (angle orienté entre deux vecteurs)
P
→
→
Quels que soient les vecteurs non nuls −
u et −
v
→
−
→
−
→
−
→
−
l’angle
orienté entre les vecteurs u et v est noté ( u ; v )
✄
B
d
de ses mesures ✁ est celle de l’angle orienté AOB
✂une

A
O
 O est le centre du cercle trigonométrique C
−−→ →
−−→ →
où
M et P sont deux points tels que OM = −
u et OP = −
v

A = C ∩ [OM ) et B = C ∩ [OP )
−
→
d
ainsi : (→
u;−
v ) = AOB
✞
☎
✄
→
→
d + 2kπ
toutes les mesures de l’angle (−
u;−
v ) sont de la forme AOB
✂
✁
−
où k ∈ Z est un entier relatif quelconque
✝
✆
−
→
u
−
→
v
M
+
Exemple
P
π
B
A 4
M
→
−
u
−
→
v
−
→
d =π
ci contre on a : (→
u ;−
v ) = AOB
4
π
7π π 9π 17π
et toutes ses mesures sont de la forme + 2kπ (..., − , , ,
, ...)
4
4 4 4
4
O
propriété 1 : (mesure principale d’un angle)
→
→
quels que soient les vecteurs non nuls −
u et −
v,
→
−
−
→
parmi toutes
les
mesures
de
l’angle
(
u
;
v
)
de
la forme
✞ α + 2kπ, ☎
✄
il en existe ✂ une seule ✁ faisant partie de l’intervalle ] − π ; π] ,
cette mesure est appelée la
✞
mesure principale
✝
✝
☎
✆
de l’angle
✆
démonstration (cette propriété est admise)
exemples
d = 101π
i. AOB
4
101π
pout trouver la mesure principale de
, on soustrait autant de fois qu’il faut 2π à
4
101π
pour que le résultat soit dans ] − π ; π] ,
4
101π
101π
1
101
×
=
= 12, 625
or, 4 =
2π
4
2π
8
101π
on peut donc enlever 12 fois 2π à
4
101π 96π
5π
101π
− 12 × 2π =
−
=
qui n’est pas dans ] − π ; π],
ce qui donne :
4
4
4
4
3π
5π
− 2π = −
qui est ] − π ; π] et la mesure
on enlève encore une fois 2π ce qui donne
4☛
4
✟
3π
3π
101π
101π
est alors −
et on écrit
≡ − [2π]
principale de
4
4
4
✡ 4
✠
101π
3π
congru à − [2π] modulo 2π
4
4
−101π
d =
ii. AOB
4
−101π
pout trouver la mesure principale de
, on ajoute autant de fois qu’il faut 2π à
4
−101π
pour que le résultat soit dans ] − π ; π] ,
4
✟
☛
101π
3π
3π
101π
est alors
et on écrit −
≡
[2π]
et une mesure principale de −
4
4
4
✡ 4
✠
→
−
w
propriété 2 : (propriétés des angles orientés)
→
−
→ −
−
→
→
−
v
quels
✞ que soient les vecteurs non
☎ nuls u , v et w ,
→
−
u
→
→
→
→
→
→
(1) (−
u ;−
v ) + (−
v ;−
w ) = (−
u ;−
w ) (relation de Chasles)
(2)
(3)
(4)
✝
✞
→
→
(−
u ;−
u)=0
✝
✞
☎
✞
✆
✝
→
→
→
→
(−
v ;−
u ) = −(−
u;−
v)
✝
✞
✆
→
→
(−
u ; −−
u)=π
☎
✞
✆
✝
→
→
→
→
(−
u ; −−
v ) = (−
u;−
v)+π
✝
☎
✆
→
−−
u
→
→
→
→
(−−
u ; −−
v ) = (−
u;−
v)
☎
✆
✞
−
→
u
☎
✆
→
→
→
→
(−−
u;−
v ) = (−
u;−
v )+π
✝
☎
✆
démonstration (1) admis (le reste s’en déduit en exercice)
−
→
v
−
−→
u
→
−−
v
−
→
u
1.4
exercices
exercice 1 :
1. placer les point A, B, C et D sur le cercle trigonométrique sachant que :
−→ −→
2π −→ −−→
π −→ −−→
π
5π −→ −−→
; (OI, OB) = −
; (OI, OC) = ; (OI, OD) = −
(OI, OA) =
6
3
2
2
2. Déterminer la mesure principale des angles
suivants :
−−→ −→
(a) (OB, OA)
−−→ −→
(b) (OD, OA)
−→ −−→
(c) (OA, OD)
−−→ −−→
(d) (OC, OB)
+
O
I
−
exercice 2 :
−
→ −→
π
ABC est un triangle et I est le milieu de [BC ], (IA, IB) =
3
et
−→ −→
π
(CI, CA) = −
6
Déterminer en justifiant, la mesure principale des angles orientés suivants
−
→ −→
1. (AI, IB)
−
→ −→
2. (AI, IC)
−
→ −
−→
−
→ −−→
5. (AI, AB)
3. (IA, CB)
−→ −
→
4. (AC, AI) qu’en déduire pour
−−
→ −→
AIC ? puis pour ABC
6. (AB, BI)
exercice 3 :
On considère les points A, B, C et D du cercle trigonométrique C associés, respectivement,
245π
37π 29π 62π
,
,
et −
aux réels
6
4
3
6
−→ −→
−→ −−→
1. Déterminer les mesures principales des angles orientés (OI, OA) et (OI, OB)
2. Démontrer que (OA)⊥(OC)
−−→ −→
−−→ −−→
3. Déterminer les mesures principales des angles orientés (OD, OA) et (OC, OD)
−→ −−→
4. Préciser une mesure en degré de l’angle (OA, OD)
+
O
I
−
1.5
corrigés exercices
corrigé exercice 1 :
1. placer les point A, B, C et D sur le cercle trigonométrique sachant que :
−→ −→
2π −→ −−→
π −→ −−→
π
5π −→ −−→
; (OI, OB) = −
; (OI, OC) = ; (OI, OD) = −
(OI, OA) =
6
3
2
2
π
C:
2
A:
5π
6
+
π
O
I 0
−
B:−
2π
3
D:−
π
2
2. Déterminer la mesure principale des angles
suivants :
−−→ −→
−−→ −→
−→ −→
(b) (OD, OA) = (OD, OI) + (OI, OA)
−−→ −→
−−→ −→
−→ −→
(a) (OB, OA) = (OB, OI) + (OI, OA)
−→ −→
−→ −−→
−−→ −→
(OB, OA) = −(OI, OB) + (OI, OA)
−→ −→
−→ −−→
−−→ −→
(OD, OA) = −(OI, OD) + (OI, OA)
−−→ −→
2π
5π
(OB, OA) = −(− ) +
3
6
−−→ −→
2π 5π
(OB, OA) =
+
3
6
9π
3π
−−→ −→
4π 5π
+
=
=
∈
/ ] − π ; π]
(OB, OA) =
6
6
6
2
☛
✟
−−→ −→
3π
π
(OB, OA) =
≡ − [2π]
2
✡ 2
✠
−−→ −→
π
5π
(OD, OA) = −(− ) +
2
6
−−→ −→
π 5π
(OD, OA) = +
2
6
8π
4π
−−→ −→
3π 5π
+
=
=
∈
/ ] − π ; π]
(OD, OA) =
6
6
6
3
−→ −−→
−−→ −→
(c) (OA, OD) = −(OD, OA) ≡
☛
✟
2π
[2π]
✡3
✠
☛
✟
−−→ −→
4π
2π
≡ − [2π]
(OD, OA) =
3
✡ 3
✠
−−→ −−→
π 2π
−3π − 4π
7π
(d) (OC, OB) = − −
=
=−
2
3
6
6
☛
✟
−−→ −−→
7π
5π
(OC, OB) = −
≡
[2π]
6 ✡6
✠
corrigé exercice 2 :
−
→ −→
π
ABC est un triangle et I est le milieu de [BC ], (IA, IB) =
3
A
b
π/6
π/3
bb
b
b
C
I
B
E
−→ −→
π
(CI, CA) = −
6
et
b
D
b
Déterminer en justifiant, la mesure principale des angles orientés suivants
☛
✟
−
→ −→
−→ −→
π
4π
2π
1. (AI; IB) = (ID, IB) = π + =
≡ −
3
3 ✡ 3 ✠
☛ ✟
−
→ −→
−→ −→
−
→ −→
π
(opposés par le sommet)
2. (AI; IC) = (ID, IC) = (IA, IB) =
✡3 ✠
☛ ✟
−
→ −−→
−
→ −→
π
3. (IA; CB) = (IA, IB) =
✡3 ✠
−→ −
→
4. (AC; AI) qu’en déduire pour AIC ? puis pour ABC ?
d = π − π = 2π
CIA
3
3
la somme des angles d’un triangle vaut 180◦ soit π
donc
d = π − π − 2π = π
IAC
6
3
6
✞
☎
donc AIC est un triangle isocèle en I (2 angles égaux)
✝
✆
✟
☛
−→ −
→
π
et (AC; AI) = −
✡ 6 ✠
de plus
✞
☎
IA = IC = IB donc ABC est rectangle en A
✝
✆
−
→ −−
→
5. (AI; AB) :
d = π − π = 2π = π
IAB
2
6
6
3✟
☛
−
→ −−
→
π
donc (AI; AB) = −
✡ 3 ✠
−−
→ −→
−−→ −→
6. (AB; BI) = (BE; BI)
BIA isocèle en I
donc
d = ABI
d =π
IAB
3
☛
✟
−−
→ −→
−−→ −→
π
2π
(AB; BI) = (BE; BI) = π − =
3 ✡3 ✠
corrigé exercice 3 :
On considère les points A, B, C et D du cercle trigonométrique C associés, respectivement,
245π
37π 29π 62π
,
,
et −
aux réels
6
4
3
6
−→ −→
−→ −−→
1. Déterminer les mesures principales des angles orientés
(OI,
✟ OA) et (OI, OB)
☛
π
−→ −→
37π
36π π
π
π
(OI, OA) =
=
+ = 6π + = 3 × 2π + ≡
[2π]
6
6
6
6
6 ✡6
✠
☛
✟
−→ −−→
3π
28π π
π
π
π
π
π
29π
=
+ = 7π + = 3 × 2π + π + ≡ π + ≡ π + − 2π ≡ − π ≡ − [2π]
(OI, OB) =
4
4
4
4
4
4
4
4
✡ 4
✠
2. Démontrer que (OA)⊥(OC)
−→ −−→
−→ −→
−→ −−→
37π 62π
−37π + 124π
87π
29π
28π π
(OA, OC) = (OA, OI) + (OI, OC) = −
+
=
=
=
=
+
6
3
6
6
2
2
2
☎
✞
−→ −−→
π
π
(OA, OC) = 14π + ≡ donc (OA)⊥(OC)
✝
✆
2
2
−−→ −→
−−→ −−→
3. Déterminer les mesures principales des angles orientés (OD, OA) et (OC, OD)
−−→ −→
37π
282π
−−→ −→
−→ −→
−→ −−→
−→ −→
245π
(OD, OA) = (OD, OI) + (OI, OA) = −(OI, OD) + (OI, OA) = −(−
)+
=
6
6
6
☎
✞
−−→ −→
(OD, OA) = 47π = 46π + π = 23 × 2π + π ≡ π[2π]
✝
✆
☛
✟
−−→ −−→
−−→ −→
−→ −−→
3π
π
π
≡
[2π]
(OC, OD) = (OC, OA) + (OA, OD) ≡ − + (−π) ≡ −
2
2 ✡2
✠
4.
✞
☎
✝
✆
−→ −−→
(OA, OD) = −π = −180◦
+
O
I
−
2
2.1
sinus et cosinus d’un angle orienté
activité : sinus et cosinus
J
−→ −→
Soit le repère orthonormé (O; OI, OJ ),
sin(x)
Dans le cercle trigonométrique de centre O,
−→ −−→
au réel x ∈ R correspond le point M tel que (OI; OM ) = x
M
x
O
I
cos(x)
cos(x), le cosinus de x est par définition l’abscisse xM du point M
sin(x), le sinus de x est par définition l’ordonnée yM du point M
1. à quel intervalle appartiennent sin(x) et cos(x) ?
2. justifier que : cos(x)2 + sin(x)2 = 1 pour tout x ∈ R
√
2
π
π
3. justifier que : cos( ) = sin( ) =
4
4
2
√
1
π
3
π
4. justifier que : cos( ) = et en déduire que sin( ) =
3
2
3
2
√
π
1
π
3
5. justifier que : sin( ) = et que cos( ) =
6
2
6
2
6. compléter le tableau suivant
π
π
0
x
6
4
π
3
π
2
π
cos(x)
sin(x)
7. à l’aide de la figure ci contre, compléter les égalités suivantes sur les angles associés
cos(x + 2π) = ...
cos(−x) = ...
π
+x
2
sin(x + 2π) = ...
sin(−x) = ...
cos(π − x) = ...
sin(π − x) = ...
cos(x + π) = ...
sin(x + π) = ...
π
cos( − x) = ...
2
π
sin( − x) = ...
2
π
−x
2
x
π−x
O
π+x
−x
8. résoudre dans R les équations suivantes
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
cos(x) = 2
sin(x) = −3
cos(x) = 0
sin(x) = 0
cos(x) = 1
sin(x) = 1
(g) cos(x) =
1
2
1
2
√
2
(i) cos(x) =
2
(h) sin(x) = −
√
2
2
(k) cos(2x) = cos(x)
(j) sin(x) = −
(l) sin(3x) = sin(x)
(m) cos(2x) = sin(3x)
(n) cos(2x) = cos(3x + π)
2.2
corrigé activité : sinus et cosinus
−→ −→
Soit le repère orthonormé (O; OI, OJ ),
J
sin(x)
Dans le cercle trigonométrique de centre O,
−→ −−→
au réel x ∈ R correspond le point M tel que (OI; OM ) = x
M
x H
I
O cos(x)
cos(x), le cosinus de x est par définition l’abscisse xM du point M
sin(x), le sinus de x est par définition l’ordonnée yM du point M
1.
✞
☎
✞
☎
✝
✆
✝
✆
sin(x) ∈ [0; 1]
et
cos(x) ∈ [0; 1]
(M est sur le cercle de rayon 1)
2. Dans ✞
OHM rectangle en H ☎: OH 2 + HM 2 = OM 2 = 12 = 1
donc cos(x)2 + sin(x)2 = 1 pour tout x ∈ R
✝
✆
√
π
2
π
3. justifier que : cos( ) = sin( ) =
4
4
2
π
Pour x = (45◦ ), OHM est rectangle isocèle en H
4
donc 2OH 2 = 1
✎
r
√ ☞
π
π
1
2
OH = cos( ) = sin( ) =
=
4
4
2
✍2 ✌
π
1
4. montrons que cos( ) =
3
2
π
x=
3
OIM est isocèle en O car OI = OM = 1
c=
donc Ib = M
π
3 =π
2
3
π−
donc OIM est équilatéral
donc ✟
(M H) est hauteur mais aussi médiane et médiatrice donc
☛
1
1
π
OH = HI = donc cos( ) =
2
3
2
✡
✠
cos(x)2 + sin(x)2 = 1
π
π
donc cos( )2 + sin( )2 = 1
3
3
π 2
1
3
donc sin( ) = 1 − =
3
4
4
√
√
3
3
π
π
donc sin( ) =
ou −
(à rejeter car sin( ) > 0 )
3
2
2
3
✎
√ ☞
π
3
donc sin( ) =
2 ✌
✍ 3
√
1
π
π
3
5. on procède de même pour montrer que sin( ) = et que cos( ) =
6
2
6
2
6. compléter le tableau suivant
π
π
π
0
x
6
4
3
√
√
3
2
1
1
cos(x)
2
√2
√2
1
2
3
0
sin(x)
2
2
2
π
2
π
0
-1
1
0
7. à l’aide de la figure ci contre, compléter les égalités suivantes sur les angles associés
✞
☎
✞
☎
✝
✞
☎
✆
✝
✆
✝
✞
✆
cos(x + 2π) = cos(x)
cos(−x) = cos(x)
cos(π − x) = −cos(x)
sin(x + 2π) = sin(x)
✞
sin(−x) = −sin(x)
✝
☎
✞
☎
✆
sin(π − x) = sin(x)
✆
☎
✝
✞
✆
✝
☛
✆
✟
✝
☛
✟
cos(x + π) = −cos(x)
sin(x + π) = −sin(x)
π
cos( − x) = sin(x)
2
✡
✠
π
sin( − x) = cos(x)
2
✡
✠
8. résoudre dans R les équations suivantes
(a) cos(x)
= 2☎
✞
S = {} car cos(x) ∈ [−1; 1]
✝
✆
(b) ✞
sin(x) = −3
☎
S = {} car sin(x) ∈ [−1; 1]
✝
✆
(c) cos(x) = 0
π
cos(x) = cos( )
2
π
π
x = + 2kπ ou x = − + 2kπ
2
2
☛
✟
π
π
S = { + 2kπ; − + 2kπ; k ∈ Z}
2
2
✡
✠
(d) sin(x) = 0
sin(x) = sin(0)
x = 0 + 2kπ ou x = π − 0 + 2kπ
✞
☎
✝
✆
S = {0 + 2kπ; π + 2kπ; k ∈ Z}
(e) cos(x) = 1
cos(x) = cos(0)
x = 0 + 2kπ ou x = −0 + 2kπ
✞
☎
✝
✆
S = {0 + 2kπ; k ∈ Z}
(f ) sin(x) = 1
π
sin(x) = sin( )
2
π
π
x = + 2kπ ou x = π − + 2kπ
2
2
☛
✟
π
S = { + 2kπ; k ∈ Z}
2
✡
✠
1
2
π
cos(x) = cos( )
3
π
π
x = + 2kπ ou x = − + 2kπ
3
3
☛
✟
π
π
S = { + 2kπ; − + 2kπ; k ∈ Z}
3
3
✡
✠
(g) cos(x) =
π
−x
2
x
π−x
☎
✝
✞
π
+x
2
O
☎
✆
π+x
−x
1
2
π
sin(x) = sin(− )
6
π
π
x = − + 2kπ ou x = π − + 2kπ
6
6
(h) sin(x) = −
☛
✟
☛
✟
π
5π
S = {− + 2kπ; −
+ 2kπ; k ∈ Z}
6
6
✡
✠
√
2
(i) cos(x) =
2
π
cos(x) = cos( )
4
π
π
x = + 2kπ ou x = − + 2kπ
4
4
✟
☛
π
π
S = { + 2kπ; − + 2kπ; k ∈ Z}
4
4
✡
✠
√
2
(j) sin(x) = −
2
π
sin(x) = sin(− )
4
π
π
x = − + 2kπ ou x = π − + 2kπ
4
4
3π
π
+ 2kπ; k ∈ Z}
S = {− + 2kπ; −
4
4
✡
✠
(k) cos(2x) = cos(x)
2x = x + 2kπ ou 2x = −x + 2kπ
x = 2kπ ou 3x = 2kπ
x = 2kπ ou x =
☛
2kπ
3
✟
2kπ
; k ∈ Z}
S = {2kπ ;
3
✡
✠
(l) sin(3x) = sin(x)
3x = x + 2kπ ou 3x = π − x + 2kπ
2x = 2kπ ou 4x = π + 2kπ
x = kπ ou x =
☛
π 2π
+
4
4
✟
π kπ
+
; k ∈ Z}
S = {kπ ;
4
2
✡
✠
(m) cos(2x) = sin(3x)
cos(2x) = cos(
π
− 3x)
2
π
π
− 3x + 2kπ ou 2x = −( − 3x) + 2kπ
2
2
π
π
5x = + 2kπ ou 2x = − + 3x + 2kπ
2
2
π
2kπ
π
x=
+
ou −x = − + 2kπ
10
5
2
2kπ
π
π
+
ou x = − 2kπ
x=
10
5
2
2x =
☛
✟
2kπ π
π
;
− 2kπ; k ∈ Z}
S={ +
10
5
2
✡
✠
(n) cos(2x) = cos(3x + π)
2x = 3x + π + 2kπ ou 2x = −3x − π + 2kπ
−x = π + 2kπ ou −5x = −π + 2kπ
x = −π − 2kπ ou x =
☛
π 2kπ
+
5
5
✟
π 2kπ
S = {−π − 2kπ ;
+
; k ∈ Z}
5
5
✡
✠
2.3
à retenir
définition 4 : (sinus et cosinus d’un réel)
quel que soit le réel x ∈ R,
dans le cercle trigonométrique de centre O,
−→ −→
soit le repère orthonormé (O; OI, OJ),
−→ −−→
au réel x ∈ R correspond le
point M tel que (OI;
OM ) = x
☎
☎✞
✞
le cosinus de x, cos(x) est ✝l’abscisse xM de M ✆ cos(x) = xM
le sinus de x, sin(x) est
✞
l’ordonnée yM de M
✝
☎✞✝
sin(x) = yM
✆✝
J
sin(x)
M
x
☎✆
O
cos(x)
✆
Remarques
✞
☎ ✞
☎
i. Quel que soit le réel x ∈ R : −1 ≤ cos(x) ≤ 1 et −1 ≤ sin(x) ≤ 1
✝
✆ ✝
✆
Exemple
−→ −→
−→ −→
i. cos(0) = cos(OI, OI) = xI = 1
sin(0) = sin(OI, OI) = yI = 0
propriété 3 : (valeurs remarquables)
x
0
cos(x)
1
sin(x)
0
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
propriété 4 : (propriété principale)
quel que soit le réel x ∈ R,
π
3
1
√2
3
2
✞
☎
✝
✆
cos(x)2 + sin(x)2 = 1
propriété 5 : (cosinus et sinus des angles associés)
quel que soit le réel x ∈ R,
✞
☎
✞
☎
✝
✞
✆
✝
✆
cos(x + 2π) = cos(x)
cos(−x) = cos(x)
✝
✞
☎
sin(x + 2π) = sin(x)
✞
sin(−x) = −sin(x)
✆
✝
☎
cos(π − x) = −cos(x)
✞
✆
sin(π − x) = sin(x)
✝
✞
✆
☎
✝
✞
✝
☛
✆
✟
✝
☛
cos(x + π) = −cos(x)
☎
π
0
-1
1
0
π
−x
2
π
+x
2
x
π−x
☎
✆
sin(x + π) = −sin(x)
π
cos( − x) = sin(x)
2
✡
✠
π
2
✟
O
☎
✆
π+x
π
sin( − x) = cos(x)
2
✡
✠
propriété 6 : (équations )
quel✞que soit le réel ☎a ∈ R,✞
☎
(1) cos(x) = cos(a) ⇐⇒ ✝x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ ✆où k ∈ Z
(2)
✝
✞
sin(x) = sin(a)
✝
✆
☎
✞
☎
⇐⇒ ✝x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ ✆où k ∈ Z
✆
Exemples :
π
1
⇐⇒ cos(x) = cos( ) ⇐⇒ x =
2
3
1
π
sin(x) = ⇐⇒ sin(x) = sin( ) ⇐⇒ x =
2
6
cos(x) =
π
π
+ 2kπ ou x = − + 2kπ
3
3
π
π
5π
+ 2kπ ou x = π − + 2kπ =
+ 2kπ
6
6
6
−x
I
2.4
exercices
exercice 4 :
simplifier au maximum
π
+ x)
2
π
2. sin(π + x) + cos( − x) + sin(−x)
2
π
π
3. sin( − x) + sin( + x)
2
2
1. sin(π − x) + cos(
4. sin(π + x) + cos(π + x) − sin(−x)
5. 2sin(
π
π
+ x) + sin( − x) − cos(−x)
2
2
exercice 5 :
simplifier au maximum
5π
7π
A = sin π4 + sin 3π
4 + sin 4 + sin 4
4π
5π
B = cos π3 − cos 2π
3 + cos 3 − cos 3
π
C = sin π6 + cos 7π
6 + cos − 6
D = sin π2 − cos π + sin 3π
2
π
3π
E = cos 7π
4 + sin 4 − cos 4
F = sin2
π
3
G = 2 cos2
π
6
+ cos2
π
6
− cos π3 + 1
exercice 6 :
Résoudre les équations suivantes :
1. Dans R : cos x =
√
3
2
8. Dans R : sin x =
2. Dans ] − 2π ; 2π] : sin x = − sin π4
3. Dans ] − π ; π] : sin x − cos π6
4. Dans R : sin x = 0
7. Dans R : cos x = − cos π4
9. Dans R : sin x = − cos π4
10. Dans ] − π ; π] : (sin x + 1)(cos x − 1) = 0
11. Dans ] − π ; π] : cos2 x = 1
5. Dans R : cos x = 0
6. Dans R : cos x = cos − π4
1
2
12. Dans [0 ; 2π] : 2 sin2 x + sin x − 1 = 0
13. Dans ] − π ; π] : 2 cos x + 3 = 2
14. Dans ] − π ; π] : sin2 x − sin x = 0
3
évaluation
4
devoir maison
Devoir maison
Exercice 1 :
ABCD est un carré orienté dans le sens direct (trigonométrique) .
E et F sont les points tels que CBE et ABF sont des triangles équilatéraux orientés dans le
sens direct.
Le but de cet exercice est de prouver que les points D, E et F sont alignés, à l’aide des angles
orientés.
1. Faire une figure
−→ −−→
π
(a) Montrer que (AF , AD) =
6
−−→ −→
5π
(b) En déduire que (F D, F A) =
12
−−→ −−→
π
2.(a) Montrer que (BE, BF ) =
2
−−→ −−→
π
(b) En déduire que (F B, F E) =
4
−−→ −−→
π
3.(a) Montrer que (F D, F E) =
4
(b) Conclure
Exercice 2 :
1. Déterminer la mesure principale dans chacun des cas suivants et placer les points sur le
cercle trigonométrique
−→ −→
299π
(a) (OI, OA) =
6
−→ −−→
101π
(b) (OI, OB) = −
3
−→ −−→
2. en déduire la mesure principale de (OA, OB)
3. qu’en déduire pour les droites (OA) et (OB) ?
Exercice 3 :
1. Simplifier au maximum
π
π
π
(a) f (x) = sin(− − x) + cos(x − ) − sin(x + π) + sin(x − ) − cos(x − π) + cos(−x)
2
2
2
π
7π
7π
π
(b) A = sin( ) + cos( ) + sin( ) + cos( )
4
6
4
6
Exercice 4 :
1. Résoudre les équations
(a) 4sinx + 6 = 7
(b) 4cos2 x − 3 = 0
5
TP
−−→ −→
−−→ −→
a) Justifier que (AM ; AC) = −(CM ; CA)
M ∈ med([AC])
M C = ...
AM C est
−−→ −→
−−→ −→
(AM ; AC) et (CM ; CA) de sens ...
d =
ACM
−−→ −→
(AM ; AC) =
−−
→ −−→
−→ −−
→
a) Justifier que (BA; BF ) = −(CA; CF )
−−
→ −−→
−−
→ −−→
(BA; BF ) = (BA; BC) + ...
−−
→ −−→
(BA; BF ) = .......... + ...
−
−→ −−→
(BA; BF ) = ...
−→ −−→
−→ −−→
(CA; CF ) = (CA; CB) + ...
→
−→ −−
(CA; CF ) = .......... + ...
AC = AB donc A est sur la ...............................de [BC]
(AD) est la .............................................. de [BC]
DC = DB donc D est sur la ...............................de [BC]
BCF est ........................................ en ...............
Fd
CB =
F ∈ (AD) donc F C = ...............
−−→ −−→
→
−−→ −−
(CB; CF ) et (BC; BF ) de sens ...
−−→ −−→
(BC; BF ) = ...
−−→ −−→
−−→ −−→
π
b) Justifier que (AM ; BF ) = − (CM ; CF )
2
−−→ −→
−−→ −→
a) Justifier que (AM ; AC) = −(CM ; CA)
M ∈ med([AC])
M C = ...
AM C est ...
−−→ −→
−−→ −→
(AM ; AC) et (CM ; CA) de sens ...
−−→ −→
(AM ; AC) = ...
−−
→ −−→
−→ −−→
a) Justifier que (BA; BF ) = −(CA; CF )
d = ...
ACM