10 nombres complexes 1

10.
NOMBRES COMPLEXES
A. L’ESSENTIEL DE PREMIERE :
1. Forme algébrique d’un nombre complexe :
Un nombre complexe est un nombre qui s’écrit : ___________________________avec i² = – 1.
Le réel x est la partie réelle ; le réel y est la partie imaginaire.
Le nombre complexe z = x + iy a pour image le point du plan M( x ; y ).
On dit que z = x + iy est _______________________________________ du point M .
On appelle ________________________ du nombre complexe z = x + iy et on note 𝑧̅ le nombre :
___________________________________.
L’ensemble des nombres complexes est noté : ℂ ; il contient l’ensemble ℝ .
2. Calculs sous forme algébrique :
Les calculs dans ℂ se font comme dans ℝ , en utilisant la distributivité et i² = – 1.
Quotient :
Propriété : Pour tout z = x + iy , où x et y sont deux nombres réels , on a z𝑧̅ = x² + y² .
Méthode pour calculer un quotient de deux nombres complexes :
𝑧
Pour obtenir la forme algébrique du quotient ( avec z’  0) , on multiplie numérateur et
𝑧′
dénominateur par le conjugué du dénominateur 𝑧̅′ .
Exemples : déterminer la forme algébrique de :
4+2𝑖
Z1 =
=
1−5𝑖
3. Affixe d’un point du plan :
Définition :
Soit M( x ; y ) le point d’affixe z = x + iy dans un repère
orthonormé ( O ; 𝑢
⃗ ; 𝑣).
On appelle _______________________ de z
Et on note |𝑧| la distance OM : |𝑧| = 𝜌
Si z est non nul ; on appelle : ____________________
et on note arg(z)=  , toute mesure de l’angle (𝑢
⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 )
Tout nombre complexe z peut s’écrire :
z = ( cos𝜃 + i sin𝜃 ) où 𝜃 est une argument de z et 𝜌= |𝑧|.
On note z = [𝜌 ; ] : _________________________
Z2 =
3
2+𝑖
=
2
Passage d’une forme à l’autre :
Propriétés :
1. Si z est un nombre complexe de forme trigonométrique : z = [𝜌 ;] alors :
_______________________________________________________
2. Si z = x + iy alors 𝜌 et 𝜃 sont définis par :
𝜌 = _____________________________________
__________________
__________________
et {
Exemples :
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z
1
5𝜋
de module
et d’argument : – :
2
Déterminer la forme trigonométrique de
z = 2 – i 2 √3
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B. FORME EXPONENTIELLE :
1. Définition : Pour tout nombre complexe z non nul de module 𝜌 et d’argument 𝜃, on écrit :
z=𝜌𝑒 𝑖𝜃 .
Cette écriture est appelée : ____________________________________________________
𝜋
Remarques : On a en particulier : 𝑒 𝑖0 = 1 et 𝑒 𝑖 2 = i .
2. Calculs sous forme exponentielle : On va utiliser les propriétés des puissances.
Multiplication
(𝜌𝑒 𝑖𝜃 ) × (𝜌′𝑒 𝑖𝜃 ) = _____________________________
Puissance
(𝜌𝑒 𝑖𝜃 )n = _____________________________________
Inverse
′
1
= _______________________________________
ρ𝑒 𝑖𝜃
Quotient
ρ𝑒 𝑖𝜃
′
ρ′𝑒 𝑖𝜃
= ______________________________
Exemples : calculer sous formes exponentielles : z1 = 2𝑒
𝑖
3𝜋
4
×√3𝑒
𝑖
𝜋
8
3𝜋
;
z2=
1
𝜋
𝑖
√3𝑒 8
;
z3 =
𝑖
2𝑒 4
𝜋 .
𝑖
√3𝑒 8