Terminale S CALCULS DANS LE CORPS DES COMPLEXES , ÉQUATIONS Les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes que dans ℝ … à un détail près : il existe un nombre (noté i) dont le carré est égal à -1 ! Pour écrire une somme , une différence , un produit , on utilise donc les règles de calculs usuelles et le fait que i Exemples : (4 + 2i) – (3 + 5i) = 4 + 2i – 3 – 5i = 1 – 3i et (1 + 3i)(3 + 2i) = 3 + 2i + 9i + 6i² = 3 +11i – 6 = - 3 + 11i . 2 =−1 Pour écrire un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique , il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur . Exemple : 2 3 +5i (3 +5i)(1− 4i) 3 – 12 i+5i – 20i 23 – 17 i 23 = = = = –i 2 1+4i (1 +4i )(1− 4i) 17 17 1–4i EXERCICE 1 1. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres suivants : z 2=(3+2 i)(2−i) z 3=4−(3+5 i)(−3+4 i) z 1=3(1+i) – 5( 2i−3) 2. Même question avec les nombres suivants : z 2=(3−4 i)(3+4 i) z 1=(1 – 3 i)2 z 3=1+2 i−(3+5 i)2 z 4=2 i (1+i)(2−i) z 4=(3+2 i)3 3. Même question avec les nombres suivants : 1 10 1+i i(4 +3 i) z 1= z 2= z 3= z 4= 2+3 i 3i 3−i 5+4 i 1 1+2 i 2 + 4. Simplifier l'écriture du nombre Z = + . 5 i 2+i 1 – 2 i 5. Soient x et y deux nombres réels . Écrire sous forme algébrique les nombres 2 et z 1=3 i(x +2 i y ) – (1+i)(x +i y ) z 2=(5 x−i y ) – (2 – i)(x – i y ) . EXERCICE 2 1. Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants : 1+2 i a) z 1=−1+4 i b) z 2=8 i−√3 c) z 3=(1 – 2 i)(3+5 i) e) z 5= d) z 4=(−2+7 i)2 3– 4 i 2. Dans chacun des cas suivants , donner une expression du conjugué de Z (la forme algébrique n'est pas demandée) 3 –5 i 2 i+3 1+i Z= Z= Z= z = 5 + 3i - (2 + 6i)(3i - 4) 2+i 2+3 i 1−i 3+i 3–i 3. On pose α= et β= . 5+7 i 5−7 i Montrer que le nombre α + β est réel et que α - β est imaginaire pur . 4. Soit z un nombre complexe . 3 (1+i) z – 5 Écrire à l'aide de ̄z , le conjugué de (1+i) z +3 – 5 i ; (2 – i)(3 z – 5 i )+3 i z +7 et . z –5i 5. On considère un nombre complexe z = x + iy . z +2+i Écrire à l'aide de x et de y (3+i) z – (5 – i) ̄z +3+4 i ; ( z – 3 i)( ̄z +1+i) et z – 2i EXERCICE 3 Résolution d'équations 1. Résoudre les équations suivantes : z –3 i (−2+4 i) z+6 =5 i a) (1+i )z – 11 i=0 b) 3 i z+4 (1+i) z−3 (z+5)+22=i c) =−1−2 i d) z +2 z+i 2. Même question avec les équations a) z 2=−9 b) 3 z2 +12=0 c) ( z+2)2 +4=0 d) 2( z – 3 i)2+6=0 3. Déterminer les réels x et y tels que : 5 (3 x+i y ) =8−i 3(2x +3 i y)+2(1+i)(2+i y)=26−51 i x+2 i 4. Résoudre les équations suivantes : 3 (z – 3 i) (4 +i)z +2 ̄z +19+i=0 =5+7 i ̄z – 1 EXERCICE 5 On se propose de résoudre dans le corps des complexes l'équation : (E) z4 + 7 + 24i = 0 . On donne le nombre complexe z1 = 2 - i . 1. Donner la forme algébrique de chacun des nombres : z2 = i z1 z3 = i z2 2. Montrer que l'équation (E) est équivalente à : (E ') z4 - z14 = 0 . 4 4 3. Écrire z - z1 sous la forme d'un produit de quatre facteurs. En déduire les solutions de (E) . z4 = i z3. EXERCICE 6 4 On veut résoudre l'équation (E) z +4=0 . 1. Factoriser z 4 +4 sous forme d'un produit de deux facteurs de degré 2 . 2. Vérifier que (1+i )2=2 i . En déduire une factorisation de z 4 +4 sous forme d'un produit de quatre facteurs de degré 1 . 3. Résoudre l'équation (E) .