Nombres complexes : Forme trigonométrique

Nombres complexes : Forme trigonométrique
I.
Forme trigonométrique
On considère le plan muni d’un repère orthonormal direct (O ;
). A tout point M du plan
on associe son affixe
. On peut également caractériser ce point M par ses
coordonnées polaires
peut écrire
et
) avec :
et
et donc
( ,
ainsi on
.
Définition :
Un argument de z, noté arg z, est une mesure exprimée en radians de
l’angle orienté ( ,
.
L’écriture
et
= θ (2π).
est appelée forme trigonométrique de z avec
Remarques :
 Un nombre complexe non nul admet une infinité d’arguments, la différence étant un
multiple de 2π.

est un nombre complexe de module 1.
Théorème : Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique :
et
, on a :
Exemple : Donner les formes trigonométriques de :
z1 = 1 + i
z2 = 3 + i
z3 = 1 - i 3
z4 = i
0
1
0
II.
6
4
3
2
1
2
2
2
2
2
Propriétés des arguments
Propriétés : Soient z et z' deux nombres complexes non nuls d'arguments respectifs et ' , on a :
[2 ]
[2 ]
[2 ]
[2 ]
[2 ]
[2 ]
3
1
2
2
3
2
1
0
Nombres complexes : Forme trigonométrique
Remarque : Pour diviser deux nombres complexes non nuls, on divise les modules et on
retranche les arguments.
Démonstrations :
Exemple : Soit z1 = 2 + 2i et z2 = 1 + i 3 . Écrire z1 et z2 sous la forme trigonométrique.
En déduire les formes trigonométriques de
III.
;
;
;
;
;
Forme exponentielle
D'après les résultats précédemment démontrés, l'argument du produit de deux nombres
complexes est égal à la somme des arguments de ces deux nombres. C'est-à-dire que la
fonction  ( ) = cos + i sin est telle que ( + ') = ( ) x ( ').
Elle vérifie donc l'équation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle. D’où
l’idée de poser :
cos + i sin = e i
Théorème : Tout nombre complexe non nul admet une écriture de la forme
et θ un argument de z , appelée forme exponentielle de z.
, avec
Propriétés : Les résultats déjà vus s'écrivent, avec la notation exponentielle :
ei
x
e i ' = e i ( + ')
n
(e i ) = e i n
n
ZZ
1 = e i (- ) = e -i
ei
ei
= e i ( - ')
ei '
ei
- ei = ei( + )
= e -i
Nombres complexes : Forme trigonométrique
Remarques :
 La propriété e i
x
e i ' = e i(
+ ') facile
cos(θ+θ’) =
à retenir permet de retrouver les formules d’addition de
et sin(θ+θ’)=
2
 La propriété (e i ) = e 2i permet de retrouver les formules de duplication
cos 2θ=
et sin 2θ=
n
 Pour tout entier n, (e i ) = e i n . On en déduit donc la formule de Moivre:
 Des égalités
et
on tire les formules d’Euler :
Exemple : Soit
et
– . Donner les formes exponentielles de
puis
Equation paramétrique d’un cercle : Soit Ω un point d’affixe ω et le cercle de centre Ω et
de rayon r, on a l’équivalence :
⇔
avec θ ∈ [0 ;2π[
illustration :
IV.
Argument et géométrie
Théorème : Soit A, B, C trois points distincts 2 à 2, d’affixes respectives
Démonstration :
et
:
Nombres complexes : Forme trigonométrique
Exemple : Soit A(1+i), B(1-i) et C((1+
)i).
Déterminer la mesure principale de l’angle orienté
Théorème : Ecriture complexe d’une rotation
 L’écriture complexe d’une rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ est :
 Soit θ distinct de 2kπ et b un nombre complexe. La transformation d’écriture
complexe
est une rotation d’angle θ.
Démonstration : Pour tout point M distinct de Ω et son image M’ par la rotation r, on a par définition
et
Si on note
l’affixe du centre de la rotation r :
- l’égalité
se traduit par :
- l’égalité
se traduit par :
Des deux égalités précédentes, on en déduit que
ce qui se réécrit
ou encore
Application : La transformation du plan d’écriture complexe
est une
rotation d’angle . Pour trouver son centre, on recherche le point fixe en résolvant l’équation
............