Terminale S CALCULS DANS LE CORPS DES COMPLEXES , ÉQUATIONS , MODULE , ARGUMENT , FORME TRIGONOMETRIQUE Les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes que dans ℝ … à un détail près : il existe un nombre (noté i) dont le carré est égal à -1 ! Pour écrire une somme , une différence , un produit , on utilise donc les règles de calculs usuelles et le fait que i Exemples : (4 + 2i) – (3 + 5i) = 4 + 2i – 3 – 5i = 1 – 3i et (1 + 3i)(3 + 2i) = 3 + 2i + 9i + 6i² = 3 +11i – 6 = - 3 + 11i . 2 =−1 Pour écrire un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique , il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur . Exemple : 2 3 +5i (3 +5i)(1− 4i) 3 – 12 i+ 5i – 20i 23 – 17 i 23 = = = = –i 1+ 4i (1 +4i )(1− 4i) 17 17 1 – 4 i2 EXERCICE 1 1. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres suivants : z 2=(3+2 i)(2−i) z 3=4−(3+5 i)(−3+4 i ) z 1=3(1+ i) – 5( 2i−3) 2. Même question avec les nombres suivants : 1 10 z 1= z 2= 2+3 i 3i z 4=2 i (1+ i)(2−i) z 3= 1+i 3−i EXERCICE 2 Conjugués 1. Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants : a) z 1=−1+ 4 i b) z 2=8 i−√3 c) z 3=(1 – 2 i)(3+5 i) d) z 4=(−2+ 7 i )2 e) z 5= 1+2 i 3– 4 i 2. Dans chacun des cas suivants , donner une expression du conjugué de Z (la forme algébrique n'est pas demandée) 3 –5 i 2 i+3 1+ i Z= Z= Z= z = 5 + 3i - (2 + 6i)(3i - 4) 2+ i 2+3 i 1−i 3. Soit z un nombre complexe . 3 (1+i) z – 5 Écrire à l'aide de ̄z , le conjugué de (1+i) z +3 – 5 i ; (2 – i)(3 z – 5 i )+3 i z +7 et . z –5i EXERCICE 3 Résolution d'équations 1. Résoudre les équations suivantes : a) (1+i) z – 11 i=0 b) 3 i z+ 4 (1+i) z−3 (z+ 5)+22=i 2. Même question avec les équations a) z 2=−9 b) 3 z2 +12=0 c) (z+ 2)2 + 4=0 3. Résoudre les équations suivantes dans le corps des complexes : a) z² + 3z - 4 = 0 b) z² + 4z + 5 = 0 e) 2z² + 3z + 2 = 0 d) 3z² - 12z + 1 = 0 4 3 4. On note: f ( z ) z 2 z 4 2 z 16 . Montrer que , pour tout complexe z , on a : f(z) = (z² + 4) (z² - 2 z - 4). En déduire l'ensemble des solutions de l'équation : f(z) = 0 . c) z –3 i =5 i z +2 d) 2( z – 3 i)2+6=0 c) 3z² + 5z + 3 = 0 EXERCICE 4 4 On veut résoudre l'équation (E) z +4=0 . 1. Factoriser z 4 +4 sous forme d'un produit de deux facteurs de degré 2 . 2. Vérifier que (1+i )2=2 i . En déduire une factorisation de z 4 +4 sous forme d'un produit de quatre facteurs de degré 1 . 3. Résoudre l'équation (E) . Soit w un vecteur d'affixe z . On appelle argument de z et on note arg(z) toute mesure de u ;w l'angle . Si M a pour affixe z , arg (z )=(⃗ u ;⃗ OM ) Si M est le point du plan complexe d'affixe z , alors |z| représente la distance OM . Si z s'écrit z = a + ib , alors |z|=√ a + b 2 2 Déterminer le module et l'argument d'un nombre complexe Quelques cas particuliers : Si z est un réel positif , arg(z) = 0 [2 p] z est un réel négatif , arg(z) = p [2 p] Si Si z s'écrit z = ib , Si z s'écrit z = ib , avec b < 0 , avec b > 0 , arg(z) = -p/2 [2 p] arg(z) = p/2 [2 p] On peut déterminer le module et un argument à l'aide de méthodes géométriques ou par le calcul : on détermine r , la valeur du module de z (à l'aide de la formule |z| = a 2b2 ) en notant , q = arg(z) , on doit avoir r cos(q) = a et r sin(q) = b . Exemple : Pour trouver le module et un argument de z=−33 3 i . Le module de z est −3 23 32= 9 27=6 . En notant , q = arg(z) , on doit donc avoir 6 cosq = -3 et 6 sinq = 3 Ö3 , donc cosq = -1/2 et sinq = Ö3/2 . La valeur de q dans ]-p ; p] qui correspond à ces valeurs est q = 2p/3 . Forme trigonométrique : Si z est un nombre complexe de module r et dont un argument est q, alors il s'écrit z = r (cosq + i sinq ) C'est sa forme trigonométique . EXERCICE 5 Forme trigonométrique et argument z 3=3−3i ; 1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z 1=5 ; z 2 =−4 i 2. Donner la forme trigonométrique de z 4=4+ 4 i √3 et z 5=√6+i √2 . u ; v . 3. Le plan est rapporté à un repère orthonormal O ; On note A , B et C les points d'affixes respectives z A=cos π + i sin π ; z B=−3 et z C =6 – 6 i 3 . 4 4 Déterminer les valeurs de OA , OB et OC , puis une mesure de u ; OB et u ; OC . OA ; u ; EXERCICE 6 1.a) Écrire chacun des nombres z 1=22 i 3 et z2 = 2 - 2i sous forme exponentielle . b) En déduire la forme exponentielle de z1×z2 . c) Écrire sous forme algébrique z1×z2 . En déduire la valeur de cos et sin . 12 12 2. On veut calculer 2 3−2i5 . a) Déterminer le module et un argument de 2 3−2 i . b) En déduire le module et un argument de 2 3−2i5 , puis sa forme algébrique .