Feuille PC7 - Sites personnels de TELECOM ParisTech

MAP 311 - Aléatoire - Groupes 5 et 18.
PC 7 - 8 Juin 2015
Gersende Fort et Amandine Véber
Les feuilles de PC sont disponibles sur le site http://www.cmap.polytechnique.fr/~veber/ et
des compléments sur le site http://perso.telecom-paristech.fr/~gfort/.
Les exercices marqués (?) sont corrigés dans le livre Aléatoire de S. Méléard.
Mots-clés de la semaine : fonctions caractéristiques, convergence en loi, théorème de la limite
centrale.
Fonctions caractéristiques
EXERCICE 1 - Loi Gamma.
On rappelle que la loi Gamma G(r, λ) (pour r > 0 et λ > 0) a pour densité
γr,λ (t) =
λr r−1 −λt
t e 1R+ (t),
Γ(r)
R∞
où Γ(r) = 0 tr−1 e−t dt. Le but de cet exercice est de retrouver tous les résultats sur les lois
Gamma vus dans les PCs précédentes à l’aide de leurs fonctions caractéristiques.
1) Calculer la fonction caractéristique d’une v.a. de loi G(r, λ).
2) Montrer que si X et Y sont des v.a. indépendantes de lois respectives G(r, λ) et G(s, λ), alors
X + Y a une loi G(r + s, λ). Pourrait-on aussi faire varier le paramètre λ ?
3) Soient X1 , . . . , Xn des v.a indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ. Calculer la loi
de X1 + . . . + Xn .
4) Soient X1 , . . . , Xn des v.a indépendantes de loi N (0, 1). Montrer que X12 a une loi Gamma et
en déduire la loi de X12 + . . . + Xn2 .
EXERCICE 2 - Vecteurs gaussiens.
Soient (X1 , . . . , Xn ) des variables aléatoires i.i.d. de loi normale centrée réduite. On pose X =
(X1 , . . . , Xn ).
1) Calculer la fonction caractéristique de X.
2) Soit A une matrice de taille p × n et b ∈ Rp . Calculer la fonction caractéristique de AX + b.
Lorsque n = p, à quelle(s) condition(s) ce vecteur admet-il une densité ?
3) Soit P ∈ Mn (R) une matrice orthogonale. Montrer que X et P X ont la même loi. En déduire
X
que la loi de kXk
est une mesure de probabilité sur la sphère unité S (n−1) de Rn invariante par
toute transformation orthogonale (cette propriété caractérise la mesure uniforme sur S (n−1) ).
EXERCICE 3 - Convergence en loi.
1) Soit λ > 0. Étudier la convergence en loi de la suite (Xn /n)n≥1 , où Xn suit une loi géométrique
de paramètre pn = nλ .
2) Soit Xn une v.a. de loi uniforme sur {0, n1 , n2 , . . . , n−1
n , 1}.
a) Trouver la limite en loi de la suite (Xn )n≥1 . On notera X une v.a. ayant cette loi.
b) Montrer que P(Xn ∈ Q) ne converge pas vers P(X ∈ Q). Comparer avec la définition de
la convergence en loi.
EXERCICE 4 - Loi des extrêmes.
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d. Posons Mn = max1≤i≤n Xi , la valeur la plus
grande prise par les Xi , i ≤ n. L’objectif de cet exercice est de montrer que pour des suites
déterministes (an )n≥1 et (bn )n≥1 bien choisies, la variable an (Mn − bn ) converge en loi vers une
limite non-triviale.
Montrer cette convergence dans le cas où
1) Xi suit une loi uniforme sur [0, 1], an = −n et bn = 1 ;
2) Xi suit une loi exponentielle de paramètre 1, an = 1 et bn = ln n ;
3) Xi suit une loi de Cauchy, an = π/n et bn = 0.
On peut en fait montrer que quelle que soit la loi commune des Xi , si la loi limite de an (Mn −
bn ) existe alors il s’agit nécessairement de l’une des trois lois limites obtenues ici (à une homothétie
ou translation près).
Théorème de la limite centrale
EXERCICE 5 - Stabilité des lois gaussiennes. (?)
Considérons X1 et X2 , deux v.a. indépendantes de même loi µ, de variance finie égale à σ 2 et
qui satisfont la propriété suivante :
X1 + X2
√
a encore la loi µ.
2
L’objectif est de montrer que nécessairement, µ est la loi normale N (0, σ 2 ).
(P)
1) Montrer que si µ est la loi normale N (0, σ 2 ), alors la propriété (P) est satisfaite.
2) On suppose maintenant que (P) est satisfaite.
a) Montrer que E(X1 ) = 0.
b) Prouver que si X1 , X2 , · · · , X2n sont des v.a. indépendantes de même loi µ, alors
X1 + X2 + · · · + X2n
√
a la loi µ.
2n
c) Conclure que µ est la loi normale N (0, σ 2 ).
EXERCICE 6 - Dilemme du couturier.
Un couturier fabrique deux modèles de chemise, le modèle A à rayures et le modèle B à carreaux,
pour 2000 clients. Chaque client choisit le modèle A avec probabilité 1/4 et donc le modèle B
avec probabilité 3/4. Combien ce couturier doit-il fabriquer de chemises de type A pour qu’il y
en ait suffisamment avec probabilité 90% ?