Module de Probabilités - ENS TD 4 : Convergences

Module de Probabilités - ENS
TD 4 : Convergences stochastiques
Exercice 1 Échauffement
Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes. Montrer que :
p.s.
Xn −→ 0
⇐⇒
∀e > 0,
∑ P(|Xn | > e) < +∞
n ≥0
Exercice 2 Comparer les différentes notions de convergence
Soit ( Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. La loi de Xn est
donnée par : P( Xn = 0) = 1 − pn et P( Xn = xn ) = pn où 0 < pn < 1 et xn ≥ 1.
2.1. Caractériser la convergence presque sûre de Xn vers 0 à l’aide de la convergence d’un
série bien choisie. Caractériser la convergence dans L p (resp. en probabilité) de Xn vers 0
en terme de convergence d’une suite de réels.
p.s.
L1
2.2. Soit pn = 2−n et xn = 2n . A-t-on Xn −→ 0 ? Xn −→ 0 ?
Lp
p.s.
P
2.3. Soit pn = n−1 et xn = 1. Soit p ≥ 1. A-t-on Xn −→ 0 ? Xn −→ 0 ? Xn −→ 0 ?
L1
L2
2.4. Soit pn = n−2 et xn = n. A-t-on Xn −→ 0 ? Xn −→ 0 ?
2.5. Compléter par des symboles =⇒ le diagramme suivant :
convergence L p
convergence en probabilité
convergence p.s.
convergence en loi
Exercice 3
Soit ( Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes de loi E (λ).
3.1. Montrer que
max Xk
1
1≤ k ≤ n
P
−→
ln n
λ
3.2. Démontrer que la suite de terme général max1≤k≤n Xk − lnλ n converge en loi vers
une limite à déterminer.
1
MIT 1
Module de Probabilités - ENS TD 4
Exercice 4
Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires réelles.
P
4.1. Montrer que si Xn −→ X alors E(min(| Xn − X |, 1)) −−−−→ 0.
n→+∞
P
4.2. Montrer que si E(min(| Xn − X |, 1)) −−−−→ 0 alors Xn −→ X.
n→+∞
Exercice 5 Ruine du joueur
Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Il perd 1 euro à chaque pile, et
gagne 1 euro à chaque face. Le jeu est terminé lorsqu’il a gagné la fortune de son adversaire, soit b euros, ou bien lorsqu’il a perdu sa fortune, soit a euros.
5.1. Modéliser ce jeu : gain Gn à la partie n, et nombre T de parties jouées.
5.2. Montrer que le jeu s’arrête.
5.3. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ? Appliquer l’identité de Wald à la variable
aléatoire Sn = inf( T, n), puis faire tendre n vers l’infini.
Exercice 6 Théorème de Weierstrass
En utilisant la loi des grands nombres, montrer que si f : [0, 1] → R est continue, alors
lim sup n→∞
n
∑
x ∈[0,1] k =0
f
k
n
Cnk x k (1 − x )n−k − f ( x ) = 0.
Exercice 7
Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires qui converge en probabilités vers X et vers
Y. Montrer que X = Y presque sûrement.
Exercice 8
Soit (en )n∈N une suite de réels positifs telle que ∑n≥0 en < +∞. Supposons que
∑n≥0 P(| Xn+1 − Xn | > en ) < +∞. Montrer que ( Xn )n∈N converge presque sûrement.
Exercice 9
Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires convergeant en probabilité vers X. Montrer
qu’il existe une sous-suite ( Xnr )r∈N qui converge presque sûrement vers X.
Exercice 10
Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées
telle que E(| X1 |) < +∞. Montrer que :
Xn p.s.
−→ 0
n
Exercice 11
Soit ( Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi U [0, 1]. Montrer que
p.s.
max Xi −→ 1.
i =1,··· ,n
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