TD8. Variables à densités classiques.

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6)
UE LM231 – Probabilités-Statistiques
Licence de Mathématiques L2
Année 2012–13
TD8. Variables à densités classiques.
Loi uniforme
Exercice 1. Pour a < b, donner la fonction de répartition d’une variable uniforme sur [a, b].
Exercice 2. Deux personnes ont décidé de se rencontrer entre 13h et 14h. La première arrivée au
point de rendez-vous attend au maximum 15 minutes avant de partir. On veut calculer la probabilité
que ces deux personnes se rencontrent effectivement ?
On modélise le problème de la manière suivante : soient U1 et U2 deux v.a. indépendantes et uniformes
sur [0, 1] qui représentent les heures d’arrivées des deux personnes.
a) Rappeler la densité de U2 et en déduire la densité de −U2 .
b) Donner la densité de U1 − U2 .
c) Répondre au problème initial.
Exercice 3. Soit X la v.a. à valeurs dans R et ayant pour densité :
f : y 7−→
1
π(1 + y 2 )
(on dit que X est une v.a. de Cauchy de paramètre 1).
a) Calculer la fonction de répartition de X.
b) En déduire que si U est une v.a. uniforme sur [0, 1], alors
1
Y = tan π U −
2
a même loi que X.
Variable exponentielle
Exercice 4.
a) Donner la fonction de répartition F d’une v.a. exponentielle de paramètre λ > 0.
b) Soient n un entier naturel non nul, λ un réel strictement positif et (Xi )1≤i≤n une famille de
variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle E(λ). Donner la loi de min (Xi ) et celle
1≤i≤n
de max (Xi ).
1≤i≤n
Exercice 5. On considère trois variables aléatoires X, Y et Z indépendantes et suivant la loi exponentielle de paramètre λ.
a) Déterminer la loi de Y + Z (on pourra calculer sa densité).
b)
i) Déterminer la densité de la variable aléatoire D = Y + Z − X sur R+ .
ii) Calculer P(X ≤ Y + Z).
c) Déterminer l’événement complémentaire de l’événement
{X ≤ Y + Z} ∩ {Y ≤ Z + X} ∩ {Z ≤ X + Y }
et calculer sa probabilité.
d) Quelle est la probabilité pour qu’on puisse construire un triangle (éventuellement aplati) dont
les côtés aient pour longueurs X, Y et Z ?
1
Loi normale
Pour les exercices 6 et 7, utiliser la table de la loi normale.
Exercice 6. Soit X une variable aleatoire normale de moyenne µ = 2 de variance σ 2 = 4.
a) Soit la variable T = (X − µ)/σ. Quelle loi de probabilité suit T ?
b) On considère l’évenement {X < 1, 5}. Quel est l’évenement équivalent pour T ? Quelle est la
probabilité correspondante ?
c) Même question pour l’évenement {X > −2}.
d) Soit l’évenement {−1 ≤ T < 1}. Quel est l’évenement équivalent pour X ? Quelle est sa probabilité ?
e) Déterminer les valeurs x telles que P(X < x) = 0, 76 ; P(X ≥ x) = 0, 6 et P(0 ≤ X < x) = 0, 40.
Exercice 7. Le taux de glycémie d’une population est répartie suivant une loi normale. Une enquête
auprès de l’ensemble de cette population montre que 84,1% des individus ont un taux inférieur à 1,40
g/l et 2,3% ont un taux supérieur à 1,60 g/l.
a) A l’aide de la table de la loi normale, déterminer la moyenne et la variance du modèle.
b) En admettant qu’un taux de glycémie supérieur à 1,30 g/l nécessite un traitement, quel pourcentage de cette population devra t’on traiter ?
Exercice 8. Soit X une variable aléatoire gaussienne centrée et réduite (on note X ∼ N (0, 1)).
Trouver la densité de la variable aléatoire Y = X 2 .
Exercice 9. On considère N de loi normale N (0, 1) et ε, indépendante de N , telle que P(ε = −1) =
P(ε = 1) = 1/2.
a) Montrer que N 0 := εN a même loi que N (on pourra d’abord montrer que −N a même loi que
N ).
b) Est-ce que N + N 0 est une v.a. normale ?
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