Exercice 1 : loi des grands nombres

TD3 : Convergence de variables aléatoires
Exercice 1 : Estimateurs empiriques
1 n
Soient X 1 ,..., X n des v.a. i.i.d. d’espérance m et de variance  ² . On pose X n   X i et
n i 1
n
2
1
Sn2    X i  X n  .
n i 1
1) Calculer les espérances de X n et nS n2 .
2) Etudier la convergence en probabilité de ces deux suites.
X m
3) Montrer que n n
converge en loi et donner sa limite.
Sn2
Exercice 2 : Théorème central limite
On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant deux boules blanches et quatre
boules bleues. A chaque tirage i=1,…n, on associe la v.a. Xi valant 1 si la boule tirée est
blanche, 0 sinon.
1 n
1- Etudier la convergence en probabilité de la suite X n   X i .
n i 1
2- En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer le nombre de tirages
nécessaires n0 pour que P X n  13  0.2  0.01.


3- En utilisant le théorème central limite, déterminer une autre valeur n1 répondant à la
question précédente et comparer.
Exercice 3 : Variable de Poisson de grand paramètre
On dispose d’un échantillon ( X1 ,..., X n ) i.i.d. issu d’une loi de poisson de paramètre θ. Soit
n
Yn   X i
i 1
.
1) Etudier la convergence en moyenne et presque sûre de la suite
2) Montrer que
Yn
.
n
Yn  n
converge en loi et préciser sa limite.
n
3) Exprimer P(Yn  n) pour   1.
nk 1

2
k 0 k !
n
4) En déduire que limn e n 
Rq : Si X et Y sont deux variables aléatoires de loi de Poisson de paramètres a et b, X+Y suit
une loi de Poisson de paramètre a+b.
Exercice 4 : Convergence de la suite des minimums
Soit ( X n ) n 0 une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi U [ ,  1] . On définit la v.a.
Z n  min( X1 ,..., X n ) .
1- Donner la loi de Z n .
2- Montrer que Z n converge en probabilité vers  .
3- Montrer que n( Z n   ) converge en loi vers une v.a. Z dont on donnera la loi.
Exercice 5 : Convergence en loi d’une variable hypergéométrique
Soit X N une suite de variables aléatoires de loi (N,n,p). Montrer que lorsque N tend vers
l’infini, X N converge en loi vers une variable de loi Binomiale (n,p).
Exercice 6 : Convergence en loi et convergence en probabilités
On tire un nombre au hasard entre 0 et 1. On définit sur l’espace probabilisé
[0,1],P ([0,1], P  les variables aléatoires X n  1 1 1  et X  1 1  .
0, 2  n 


 2 ,1
 
1- Calculer les lois et les fonctions de répartitions de ces variables.
2- Montrer que X n converge en loi vers X lorsque n tend vers l’infini.
3- Calculer la probabilité P  X n  X    . En prenant un exemple précis de  , montrer
que X n ne converge pas en probabilité vers X .
Exercice 7 : Variations sur la loi normale
Soient ( X1 ,..., X n ) i.i.d. issus d’une loi de densité
 0
f ( x)  
 x 2
2 xe
x0
x0
1) Calculer E ( X 1 ), E ( X 12 ) .
1 n 2
 Xi .
n i 1
n
3) Etudier la convergence en probabilité de Wn  n
.
2
 Xi
2) Etudier la convergence presque sûre de Tn 
i 1