convergence en probabilite

CONVERGENCE EN PROBABILITE
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a. Inégalité de Bienaymé-Tchébycheff
Soit X une variable aléatoire réelle discrète ou continue.


  0, P X  E(X )   
2
2
avec V(X) =  2
b. Définition de la convergence en probabilité
Une suite de n variables aléatoires réelles X1, X2, …, Xn converge en probabilité vers X si :


  0, lim P X n  X   = 0 quand n tend vers  
c. Loi faible des grands nombres
Soit X1, X2, …, Xn une suite de n variables aléatoires réelles discrètes ou continues. Ces n
variables ont, par hypothèse, les caractéristiques suivantes :
 elles suivent toutes la même loi de probabilité ;
 elles ont toutes la même moyemme m et la même variance  2 ;
 elles sont 2 à 2 mutuellement indépendantes.
1 n
Soit Zn =  X i . Dès lors :
n i 1


  0, P Z n  m)   
2
n 2
La démonstration de cette formule est couramment demandée dans les sujets de concours au
titre de l’application de l’inégalité de Bienaymé-Tchébycheff.
Démonstration :
Pour appliquer à Zn l’inégalité de Bienaymé-Tchébycheff, commençons par calculer E(Zn) et
V(Zn) :
n
1
1
1 n
E(Zn) = E(  X i ) = E ( X i ) = nm = m
n i 1
n
n i 1
n
1 n
1
X
V
(
X i ) . Il n’y a en effet pas lieu de rajouter 2 fois la somme des
)
=
 i n2 
n i 1
i 1
covariances distinctes car les variables sont supposées mutuellement indépendantes. Dès lors :
1
2
V(Zn) = 2 n 2 =
n
n
Il reste alors à appliquer à Zn l’inégalité de Bienaymé-Tchébycheff :
V(Zn) = V(


  0, P Z n  E(Z n )   
V (Z n )
2
soit encore :   0, P  Z n  m    
2
n 2
d. Cas particulier de la loi faible des grands nombres lorsque X1, X2, …, Xn sont
des variables de Bernoulli identiques et indépendantes
On suppose désormais que X1, X2, … , Xn :
 suivent une loi de Bernoulli de paramètre p ;
 sont 2 à 2 mutuellement indépendantes.
n
Dans ce cas la variable Sn =
X
i 1
i
suit ne loi binômiale B(n ; p) donc :
E(Sn) = np et V(Sn) = npq.
1
1 n
S n =  X i . Dès lors :
n
n i 1
1
1
 E(Zn)= E ( S n ) = np = p ;
n
n
1
1
pq
 V(Zn)= 2 V ( S n ) = 2 npq =
n
n
n
Appliquons alors à Zn l’inégalité de Bienaymé-Tchébycheff :
Soit Zn =


  0, P Z n  E(Z n )   
V (Z n )
2
éy
soit encore :   0, P  Z n  p    
pq
n 2
On peut alors montrer que   0, P  Z n  p    
1
4n 2
1
pq
en étudiant la fonction f telle que f(p) = p(1-p)=p-p2 :

2
4n 2
n
f est définie sur  mais son étude sera limitée à l’intervalle [0 ;1].
F’(p) = 1-2p dons f’(p)>0 sir 1-2p>0 soit p <1/2. Par conséquent, f est croissante sur [0 ;1/2] et
Pour cela montrons que
décroissante sur [1/2 ;1]. f admet donc un maximum en p=1/2 et f(1/2)=1/2 – (1/2)2 = ½ - ¼ = ¼ .
Donc f(p) < ¼ soit p(1-p) < ¼ soit encore pq< ¼ . Finalement :
1
pq
.

2
4n 2
n
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