Puissance d`exposant entier relatif 4

Puissance d’exposant entier relatif
4ème
Activité1 (cahier d’exercices)
Un laboratoire fait des recherches sur le développement d’une population de bactéries. On a observé que le
nombre N de bactéries a été multiplié par 3 toutes les heures à partir du moment où l’étude a commencé.
a)
Par quel produit le nombre initial a-il- été multiplié :
- Au bout de 1 h Nombre de bactéries = N x …….
-
Au bout de 2 h
Nombre de bactéries = ( N x ….) x…..= N x…….
-
Au bout de 5 h
Nombre de bactéries = N x .. x…x...x….x...= N x ….
-
Au bout de 8 h
Nombre de bactéries = N x ………..
b)
Comment note-on le produit 3x3 ?
c)
Proposer une notation pour 3x3x3x3x3 et pour 3x3x3x3x3x3x3x3
Conclusion
n étant un nombre supérieur ou égal à 2 , que représente 3n?
A quel nombre correspond l’écriture 31?
I)
PUISSANCE D’EXPOSANT ENTIER STRICTEMENT POSITIF
Cours (cahier de leçon) :
1) Définition
Pour tout nombre relatif a non nul et tout nombre entier n positif non nul : a n = a × a × .... × a
n facteurs
Le nombre n est l’exposant de a et a est la puissance d’exposant n du nombre a.
1
0
En particulier : a = a . Par convention : a = 1 .
n
2) Exemples :
Donner l'écriture décimale des nombres :
24 =……………. ;
(-0,2)3=……………….., (
1 4
) =……………….
3
4ème
Puissance d’exposant entier relatif
Activité2 (cahier d’exercices)
a) Compléter l’échelle des puissances :
74
:7
…
:7
7…
:7
7…
:7
7
b) Que peut-on dire lorsqu’on divise une puissance de 7 par 7 ?
c) Quelle valeur faut-il donner à 70 pour que le processus fonctionne encore ?
d) Compléter l’échelle des puissances, en considérant que le processus fonctione encore :
70
:7
7-1
:7
…
:7
7…
:7
7…
:7
7
e) Compléter les égalités suivantes :
70 : 7 =
...
;
7
7-2 : 7 =
... 1
... ... 1
x
=
x x
;
... 7
... ... 7
d’où 7-1 =
..
;
7
7-1 : 7 =
d’où 7-3 =
... 1
...
x
= 2 ;
7
7
7
d’où 7-2 =
..
...
...
...
II)
PUISSANCE D’EXPOSANT ENTIER STRICTEMENT NEGATIF
Cours (cahier de leçon) :
1) Définition :
Pour tout nombre relatif a non nul et tout nombre entier n positif non nul : a − n =
1
a
2) Exemple 1 : Donner l'écriture décimale des nombres :
En particulier : a-1 =
10-3 = ………………..…….,
3-2 =………………………,
1
1
= n
a × a × .... × a a
n facteurs
( 1 )-3 =……………….………..
4
III) SIGNE D’UNE PUISSANCE D’UN NOMBRE NEGATIF
1) Propriété :
Pour tout nombre entier relatif n,
- Si a est positif alors an est positif.
- Si a est négatif alors an est positif lorsque l'exposant n est pair,
et négatif lorsque l'exposant n est impair.
2) Exemple :
Quel est le signe de A = (– 3)4 et de B = (– 2)– 5 ?
- Comme – 3 est négatif et l'exposant 4 est pair, A est un nombre positif.
- Comme – 2 est négatif et l'exposant – 5 est impair, B est un nombre négatif.
4ème
Puissance d’exposant entier relatif
Activité3 (cahier d’exercices) :
a) Ecrire sous la forme d’un produit de facteurs égaux à 10, puis d’une puissance de 10,
les nombres suivants :
100=10 x……=…. ;
1000=10 x………….=….. ; 100000= 10 x …………….=……
Observer le nombre de zeros de l’écriture décimale et l’exposant de son écriture sous forme de
Puissance de 10.
b) Compléter les égalités suivantes :
10-1 =
10-4 =
1
10
...
= 0,1 ;
....
=
1
10
10-3 =
1
1
=
= …..
... × .... × ..... ....
1
1
=
= ….
.... × .... × .... × .... .....
Que remarque-t-on ?
IV)
LES PUISSANCE DE 10
Cours (cahier de leçon) :
1) Propriétés
Pour tout nombre entier positif n :
10 n = 10 × 10 × .... × 10 = 10...0
n facteurs
10 − n =
1
= 0,0 ...01
10 n
n zéros
2) Exemples :
10-2 =
; 10-5 =
; 103 =
; 104 =
n zéros
et 100=1
4ème
Puissance d’exposant entier relatif
Activité4 (cahier d’exercices) :
a) Produit de 2 puissances de 10
Ecrire sous la forme d’un produit de facteurs égaux à 10, ou de l’inverse d’un produit de facteurs
égaux à 10, puis d’une puissance de 10 les nombres suivants
102 x 103 =……x…x…x…x…. =……;
10 x 102=….x…x…x……. ;
1
1
1
1
1
x …x…x…=……...;
10-2 x 10-4 =
x
=
= = 10 ...
....
.......
...... ... × .... × ... × .... × ... × .... ....
Observer le nombre de zeros de l’écriture décimale et l’exposant de son écriture sous forme d’une
puissance de 10.
b) Ecrire sous forme d’un quotient de facteurs de 10 puis d’une puissance de 10 les expressions suivantes
:
10-1 x 103=
105
102
=…………….=…..
;
=…………….. ;
103
107
c) Conclusion ?
100
=………… ;
10− 6
10−4
10− 3
Activité5 (cahier d’exercices) :
3
a) Ecrire le nombre (10 2 ) sous la forme d’un produit de facteurs égaux à 102, puis de facteurs égaux à 10.
(102)3 =……..x…….x…….= …..x….x….x…..x….= 10….
b) Compléter les égalités suivantes :
(10 − 2 ) = 10.. x 10 …=
2
1
1
1
=
=
= 10…
... × ...
... × ... × ... ...
−2
(103 ) =……………….
−4
(10 − 2 ) =…………….
Que remarque-t- on?
V)
OPERATIONS SUR LES PUISSANCE DE 10
Cours (cahier de leçon) :
1) Propriétés
n et p étant 2 entiers relatifs :
2) Exemples
VI)
10 n
n− p
=
10
10 P
10n x 10p = 10 n+p
10 6
= ..........
10 3
102 x 106=………..
PUISSANCE D’UNE PUISSANCE DE 10
Mise à la puissance p d’une puissance de 10 :
n et p étant 2 entiers relatifs :
3) Exemples
(103)4=……..
(10n)p = 10n p
X
(102)-3=…………
Puissance d’exposant entier relatif
4ème
Activité6 (cahier d’exercices) :
a) Effectue les calculs suivants à l'aide de la calculatrice :
A = 9 620 000 000 + 9 870 000 000=……………… ; B = 262 144 × 3 906 250=………….
et C = 309=…………….
Trop de chiffres composent ces nombres pour que la calculatrice les affiche tous. Dans ce cas, la
calculatrice affiche le produit d'un nombre par une puissance de 10. Il s'agit ici de l'écriture
scientifique du nombre.
b) Quels résultats affiche la calculatrice lorsqu'on lui fait calculer les produits suivants :
D = 791 × 1015= ...................…;
E = 1 298,4 × 1013 =……………….
c) Dans les écritures scientifiques obtenues précédemment, comment semble être le nombre affiché par la
calculatrice avant la puissance de 10 ?
VII)
NOTATION SCIENTIFIQUE D’UN NOMBRE DECIMAL NON NUL
Cours (cahier de leçon) : opérations sur les puissances de 10
1) Définition :
La notation scientifique d’un nombre décimal non nul est la seule écriture de ce nombre sous la forme
a × 10p,
où a est un nombre décimal dont la distance à zéro est comprise entre 1 et 10 (1 inclus) et (10 exclu), c'est à
dire ayant un seul chiffre non nul avant la virgule, et où p est un nombre entier relatif.
Le nombre a est appelé : mantisse.
2) Exemples :
26000= ………….
-0,00137=…………..
Puissance d’exposant entier relatif
4ème