cours puissances 3eme

Séquence
:
Les puissances
1- Puissance d’un nombre non nul
Définition : Pour un nombre a non nul, an se lit « a puissance n » ou « a exposant n ».
an=axax…xa
pour n≥2
n facteurs
a1 = a
1 n= 1
0 n= 0
Exemples :
5 2 = 5 x 5 = 25
a0 = 1
(-2) 5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -32
(-3) 4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81
- 2 4 = - 2 x 2 x 2 x 2 = -16
(-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16
Conséquences sur le signe :
Pour tout nombre entier relatif n,
• Si a est positif alors an est positif (ex : 59 est positif)
• Si a est négatif alors an est positif lorsque l’exposant n est pair et négatif lorsque l’exposant n est
impair.
Exemples : (-3)4 est positif car -3 est négatif et que la puissance est paire.
mais (-3)5 est négatif car la puissance est impaire.
2- Propriétés :
a, b sont des nombres entiers ou décimaux, n et p sont des nombres entiers relatifs.
an x a m = an+m
an x bn = (a x b)n
(an)p = (a)n x p
Explications des formules et exemples :
•
4² x 45 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 47
4
6
4+6
3 x3 = 3
et 7 = 2 + 5
On additionne les puissances.
10
=3
67 x 62 = 69
•
23 x 53 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5
= (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5)
= (2 x 5)3
= 103
On multiplie les nombres mais la puissance ne change pas.
35x65 = (3 x 6)5 = 185
74x84 = 564
•
(3²)3 = 3² x 3² x 3² = 3 6
4 5
et 6 = 2 x 3.
On multiplie les puissances.
20
(5 ) = 5
a
a
n
p
1 =
n
=
a
=
Explications des formules et exemples :
(
(
•
× × × ×
=
•
× ×
=
)
)
=
= 7²
et 2 = 5 - 3
On soustrait les puissances :
Puissance du numérateur - puissance du dénominateur
=
= (− )
=
= (− )
=
•
3-
Calculer avec des puissances
Pour calculer une expression sans parenthèse, on calcule d’abord les puissances.
2 x 3² + 5 = 2 x 9 + 5
= 18 + 5
= 23
et surtout pas 2 x 3² +5 = 6² + 5
= 36 + 5
= 41
4- Puissance de dix
a) Définition :
10n se lit "dix puissance n" ou "dix exposant n".
10 − n =
10n = 10
×10
×4
...×4
10 (pour n ≥ 2)
14
42
3
n facteurs
1
(pour n ≥ 2)
10
×4
102
×4
...×4
10
14
3
n facteurs
10n = 10…0 (n zéros)
10-n = 0,0…01 (n chiffres après la virgule, n zéro en comptant le 1er)
Exemples :
100000 =
1000 =
0,001 =
0,00001 =
104 =
10 –3 =
Les formules apprises ne changent pas :
10nx10m =
(10n )m =
=
=
b) Multiplier par une puissance de 10
Règle
•
•
Multiplier un nombre par 10n revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite (on complète
par des zéros si nécessaire).
Multiplier un nombre par 10-n revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche (on complète
par des zéros si nécessaire).
Remarque : Multiplier par 10-n revient à diviser par 10n.
Exemple 1 :
208,641 x 10² = 20 864,1
54,8 x 105 = 5 480 000
37,1 x 10-3 = 0,0371
Exemple 2 :
• Par combien faut-il multiplier 7,532 pour obtenir 75 320 ?
Pour passer de 7,532 à 75 320, on décale la virgule de 4 rangs vers la droite donc il faut multiplier
7,532 par 104 pour obtenir 75 320.
75 320 = 7,532 x 104
•
Par combien faut-il multiplier 5 pour obtenir 0,005 ?
Pour passer de 5 à 0,005, on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche donc il faut multiplier 5 par
10-3 pour obtenir 0,005.
0,005 = 5 x 10-3
5- La notation scientifique
a) Définition
La notation scientifique d’un nombre est de la forme ax10 n
avec 1 ≤ < 10 et où n est un entier relatif.
Exemples : Écrire les nombres ci-dessous en notation scientifique
58 000 000 = 5,8 x 10 000 000 = 5,8 x 107
0,0287 =
0,32 =
b) Comparer deux nombres en notation scientifique
Pour comparer deux nombres en notation scientifique, on compare d’abord leurs signes.
S’ils ont le même signe, on compare leurs ordres de grandeur à l’aide de leur puissance de 10.
S’ils ont le même exposant, on compare les mantisses.
Exemples : Compare A = 2,3 x 107 et B = 8,1 x 104
Le nombre A a une puissance de 10 supérieur à celle du nombre B, donc A > B.
Puissance de
10
Multiplicateur décimal
Nom
Symbole
Origine
1012
1 000 000 000 000
téra
T
Du grec teras, monstre
10
9
1 000 000 000
giga
G
Du grec gigas, géant
10
6
1 000 000
méga
M
Du grec megas, grand
10
3
1 000
kilo
k
Du grec khilioi, mille
10
2
100
hecto
h
Du grec hekaton, cent
10
1
10
déca
da
du grec déka, 10
10
0
1
unité
10
-1
0,1
déci
d
du latin décimus, dixième
10
-2
0,01
centi
c
(1783) du latin centum, cent
10
-3
0,001
milli
m
Du latin mille, mille
10
-6
0,000 001
micro
µ
Du grec mikros, petit
10
-9
0,000 000 001
nano
n
10-12
0,000 000 000 001
pico
p
Quelques ordres de grandeur à connaître :
Taille d’un atome :
Taille d’une bactérie :
Taille d’une alvéole pulmonaire :
Capacité de stockage d’un disque dur
Vitesse du son :
Vitesse de la lumière :
Distance Terre-Lune :
Distance Terre-Soleil :
Distance Soleil-Proxima Centauri (étoile la plus proche) :
De l'italien piccolo, petit