PUISSANCE D`UN NOMBRE RELATIF I. Puissance d`un nombre relatif

PUISSANCE D'UN NOMBRE RELATIF
I. Puissance d'un nombre relatif
Définitions et Notations :
Soit a un nombre relatif non nul et n un entier positif ou nul.
On pose
a n =a ×a ×a ××a
n fois
an se lit “a puissance n ” ou encore “a exposant n ”.
a –n=
On pose
Cas particulier :
1
an
a1 = a et a0 = 1 (par convention)
L'inverse de a est a-1
Exemples : 24=2×2×2×2=16
;
 – 35= – 3× – 3× – 3× – 3×– 3=– 243
1
1
1
1
1
1
2 – 3= 3 =
=
 – 1– 2 =
= =1
4– 1=
;
;
2
4
2 2×2×2 8
– 1  1
Vocabulaire : a 2 se lit « a au carré » et a 3 se lit « a au cube »
Méthode de calcul : Pour transformer une expression avec des puissances, on écrit les
puissances sous forme de produits, on simplifie l'expression et on la réécrit avec des
puissances.
Exemples :
4
2
5 ×5 =5×5×5×5×5×5=5
7
–3
7
2
=7– 3×
1
7
2
=
1
7
3
×
1
7
2
=
5
6
5
1
3
7 ×7
2
=
4
=
2
5×5×5×5
=5×5=52
5×5
1
1
= 6 =7– 6
7×7×7×7×7 7
3 ×5 3 =3×5 ×3×5 ×3 ×5=3×5×3×5×3 ×5=3 ×3×3×5×5×5=3 3 ×53
II.Puissance de dix et opérations
Propriété : Soit n un entier supérieur ou égal à 1
10n = 1000…………0
et
10–n = = 0,000…………1
1 suivi de n zéros
1 situé à la nième place après la virgule
Vocabulaire : n s’appelle l’exposant
On lit : « 10 puissance n » ou « 10 exposant n »
Cas particulier : 101 = 10 et par convention 100 = 1
Exemples : 105 = 100 000
;
10–3 = 0,001
Opérations sur les puissances de 10 : m et p sont des nombres entiers relatifs
●
Produit :
10m ×10 p =10 m  p
Exemples :
●
Quotient :
10 m
Exemples :
●
5
3
53
10
p
=10m −p
10 5
10
3
=10
5– 3
=10
3 2
2
;
5
10
10
−8
=105 – – 8 =1058 =1013
10m p =10m ×p
Puissance d’une puissance :
Exemples :
8
10 ×10 =10 =10
104 ×10– 6 =104– 6=10 – 2
104 ×10×10– 2=104 1 – 2=103
3 ×2
6
10  =10 =10
104 −3=104 ×−3 =10– 12
10– 3 −5 =10−3 ×−5 =1015
/!\ ATTENTION : il n’y a pas de formule pour ajouter des puissances de 10 /!\
105 + 103 = 100 000 + 1 000 = 101 000
Règle : n est un entier positif
Pour multiplier un nombre décimal par 10n, on déplace la virgule de n rangs vers la droite ;
Pour multiplier un nombre décimal par 10–n, on déplace la virgule de n rangs vers la gauche.
Exemples :
52,3×10 4 =523 000
52,3×10– 4=0,00523
III.Notation scientifique et ordre de grandeur
Définition : L’écriture scientifique ou notation scientifique d’un nombre relatif est l’écriture de
ce nombre sous la forme a ×10n , où a est un nombre décimal ayant un seul chiffre différent
de zéro avant la virgule et n un entier relatif.
Exemples :
123,5=1,235×102
0,00037=3,7×10– 4
Encadrement et ordre de grandeur :
Soit x un nombre positif dont l’écriture scientifique est a ×10n .
Un encadrement de x par deux puissances consécutives de 10 est : 10n x 10n 1
Un ordre de grandeur de x est b ×10n , avec b l’arrondi à l’unité de a.
4
Exemple : Donner un ordre de grandeur et un encadrement de C =734,9×10
On commence par écrire le nombre en notation scientifique :
C =7,349×102×104=7,349×10 6
L’arrondi à l’unité de 7,349 est 7 donc un ordre de grandeur de C est 7×106 .
Encadrement : 106C 107