Rappels de trigonométrie

Rappels de trigonométrie
1. La fonction cosinus :
La fonction cosinus est définie sur R par f (x) = cos x.
La fonction cosinus (
est paire et périodique de période 2π sur R.
cos(−x) = cos x
, ∀x ∈ R
En particulier, on a
cos (x + 2π) = cos x
Elle est dérivable donc continue sur R et sa fonction dérivée est f ′ (x) = − sin x.
On en déduit le tableau de variation de la fonction cosinus :
x
0
− sin x
0
π
−
0
1
cos x
−1
2
1
y = cos x
#”
j
− 3π
2
−π
− π2
O
#”
i
π
2
π
3π
2
−1
−2
2. La fonction sinus :
La fonction sinus est définie sur R par f (x) = sin x.
La fonction sinus est(impaire et périodique de période 2π sur R.
sin(−x) = − sin x
, ∀x ∈ R
En particulier, on a
sin (x + 2π) = sin x
Elle est dérivable donc continue sur R et sa fonction dérivée est f ′ (x) = cos x.
Rappels de trigonométrie
1/6
2π
5π
2
On en déduit le tableau de variation de la fonction sinus :
x
π
2
0
cos x
+
π
−
0
1
sin x
0
0
2
1
y = sin x
#”
j
− 3π
2
− π2
−π
O
#”
i
π
2
π
3π
2
5π
2
2π
−1
−2
3. Propriétés algébriques :
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
,
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
,
(
,
∀x ∈ R
∀x ∈ R
cos2 x + sin2 x = 1, ∀x ∈ R

π



cos
− x = sin x
2
π



sin
− x = cos x
2

π



cos
+ x = − sin x
2
π



sin
+ x = cos x
2
∀x ∈ R
Formules d’addition :
Pour tous réels a et b,
(
cos(a + b) = cos a × cos b − sin a × sin b
sin(a + b) = sin a × cos b + sin b × cos a
Rappels de trigonométrie
(
2/6
,
∀x ∈ R
,
∀x ∈ R
cos(a − b) = cos a × cos b + sin a × sin b
sin(a − b) = sin a × cos b − sin b × cos a
Formules de duplication :
Pour tout réel a,
(
cos(2a) = cos2 a − sin2 a
sin(2a) = 2 cos a sin a


cos2 a = 1 + cos(2a)
2

sin2 a = 1 − cos(2a)
2
4. La fonction tangente :
On appelle fonction « tangente », la fonction définie par tan x =
Dans la suite, on notera f (x) = tan x.
sin x
.
cos x
a. f (x) existe si cos x 6= 0.
cos x = 0
⇐⇒ cos x = cos
π
2
⇐⇒ x =
π
+ 2kπ
2
ou
⇐⇒ x =
π
+ kπ,
2
k∈Z
On en déduit,
b.
x=−
Df = R \
nπ
2
π
+ 2kπ, k ∈ Z
2
+ kπ; k ∈ Z
o
i.
• Df est centré en 0.
• Soit x ∈ Df .
f (−x) = tan(−x) =
C’est-à-dire
− sin x
sin(−x)
=
= − tan x = −f (x)
cos(−x)
cos x
f (−x) = −f (x).
Ainsi, f est une fonction impaire sur Df .
ii. Soit x ∈ Df .
f (x + π) = tan(x + π) =
C’est-à-dire
− sin x
sin x
sin(x + π)
=
=
= tan x = f (x)
cos(x + π)
− cos x
cos x
f (x + π) = f (x).
Ainsi, f est une fonction π−périodique sur Df .
Rappels de trigonométrie
3/6
iii.
h
πh
.
∗ On étudie f sur 0 ;
2
i π
h
∗ D’une part, f est une fonction impaire sur Df , on complète l’étude de f sur − ; 0 par symétrie par
2
rapport à l’origine du repère.
∗ D’autre part, f est une fonction π−périodique sur Df , donc on complète la représentation graphique
#”
#”
sur Df par translations successives de vecteurs π i et −π i .
c. limπ f (x) :
x→ 2
x< π2
• limπ (sin x) = 1
x→ 2
x< π2
• limπ (cos x) = 0+
(Il suffit de faire le cercle trigonométrique pour s’en convaincre)
x→ 2
x< π2
lim (tan x) = +∞
D’où,
x→ π2
x< π2
π
• On déduit de cette limite que la droite d’équation x = est asymptote vertivale à la courbe représentative
2
de la fonction tangente.
h
h
πh
πh
comme quotient de deux fonctions dérivables et cos x 6= 0 sur 0 ;
.
d. f est dérivable sur 0 ;
2
2
h
h
π
Soit x ∈ 0 ;
.
2
f ′ (x) =
=
cos x × cos x − sin x × (− sin x)
cos2 x
cos2 x + sin2 x
cos2 x
cos2 x sin2 x
+
cos2 x cos2 x
sin x 2
=1+
cos x
=
f ′ (x) = 1 + tan2 x
Rappels de trigonométrie
4/6
h
h
πh
πh
e. Très clairement, f ′ (x) > 0 ∀x ∈ 0 ;
. f est donc strictement croissante sur 0 ;
.
2
2
Tableau de variation de f :
x
f ′ (x)
f (0) = tan 0 = 0
π
2
0
+
+∞
f (x)
0
f.
10
9
Cf
8
7
6
5
4
3
2
#”
πi
1
#”
j
−1
O 0
#”
i
1
2
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
Rappels de trigonométrie
5/6
3
4
5. Le cercle trigonométrique :
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
√
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
π
0
−1
1
0
π
2
1
2π
3
π
3
√
3
2
√
2
2
3π
4
5π
6
π
4
⊕
π
6
1
2
π
0
−π −1
−
5π
6
−
•
√
√
3
2
−
2
2
−
−
7π
6
−
3π
4
5π
4
−
Rappels de trigonométrie
O 0
1
2
2π
3
4π
3
√
2
2
1
2
√
3
2
1
2
−
√
2
−
2
√
3
−
2
−
−
−1
−
6/6
π
2
π
3
π
4
1
π
6
2π