racines carrées

Cours n°9 : RACINES CARREES
La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels
(quotient de deux entiers).
L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres
irrationnels.
Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable 2 qui
étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre
indicible et jamais rencontré jusqu'alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le
fondement même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de
Métaponte, trahisse le secret. Celui-ci périra "curieusement" dans un naufrage !
I-
RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
Activité :
Quelle est la longueur de la diagonale d’un carré dont le côté mesure 1 m ?
Quel est le nombre positif dont le carré est égal à 2 ?
x
1
2
1,5
1,4
1,42
1,41
1,415
x²
1
4
2,25
1,96
2,0164 1,9881 2,002225
Le nombre cherché n’a pas d’écriture décimale, et n’est pas un nombre rationnel
(démonstration). Ainsi, on a défini ce nombre à l’aide d’une nouvelle écriture :
Définition :
égal à
2
désigne un nombre positif. L’unique nombre positif dont le carré est
se note √ et se lit « racine carré de
Pour tout nombre
0, on a donc : √
». Le symbole √ s’appelle le radical.
0 et √
.
Exemples :
3 est le nombre positif dont le carré est 3, donc ( 3)² = 3.
o
On a 1² = 1, donc
o
On a 0² = 0, donc
1 = 1.
0 = 0.
Le symbole utilisé pour écrire les racines peut faire penser à un V, mais c’est un R stylisé. Mais pas le R de racine, celui de « Radical ». En effet pour parler des racines carrées, on peut aussi employer le mot « radicaux ».
Maths – 3ème o
1 Cours n°9 : RACINES CARREES
Remarque 1 :
-5 = ?
La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5.
Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre
négatif est impossible.
-5 n’existe pas !
Propriété :
Exemple :
désigne un nombre positif. On a :
36 =
²
.
6² = 6
Remarque 2 : pour un nombre très important de valeurs
0 , le nombre
a est un
nombre irrationnel. Il n’a ni d’écriture décimale ni d’écriture fractionnaire. Ainsi, la
calculatrice permet de ne trouver qu’une valeur approchée de la racine carrée.
Nombre dont le carré vaut 10
Valeur exacte :
10
Valeur approchée :
3,16 au centième
3,162 au millième
Cependant, on peut donner avec ou sans calculatrice la valeur exacte de certaines
racines carrées. Les nombres positifs dont la racine carrée est un entier sont appelés
carrés parfaits ; voici la liste des premiers carrés parfaits :
Remarque 3 : devant l’écriture
o
o
o
√ , on est en présence de trois informations :
est un nombre positif ;
est un nombre positif ;
²
.
Exercice : voici une liste de nombres :
4 ; 4 ; 3² ; 4 ; √ 81 ; √81 ; √123 ; 123² ; 15,29² ; √13
Classer ces nombres dans un tableau à trois colonnes : ceux qui existent et ont une écriture
plus simple, ceux qui existent mais n’ont pas d’écriture plus simple et ceux qui n’existent pas.
existent mais n’ont pas
d’écriture plus simple
n’existent pas
Maths – 3ème existent et ont une écriture plus
simple
2 Cours n°9 : RACINES CARREES
II-
OPERATIONS SUR LES RACINES CARREES
Propriété 1 : a et b désignent deux nombres positifs, nous avons : √
Exemple :
2×
8=
16 =
3×
27 =
81 =
4×
25 =
100 =
√
√
4² = 4
9² = 9
10² = 10
Démonstration :
o
Outils utilisés : propriétés des puissances et propriété vue au I/.
o
Démonstration :
1. soit x = a × b ; x > 0 ;
•
x² = ( a × b)²
•
x² = ( a)² × ( b)²
x² = ab
•
2. donc : y = a × b ; y > 0 ;
•
•
y² = ( a × b)² ;
y² = ab
3. D’où : x = y, c’est-à-dire :
Remarque : quelque soit le nombre
Exemple : √8
√8
a × b = a × b.
0 : √
√
²
√
.
8
Propriété 2 (admise) : a et b désignent deux nombres positifs avec b ≠ 0, nous
avons :
√
√
Exemples :
32
2
=
32
=
2
16 =
64
=
9
4² = 4 ;
64
9
=
8²
3²
=
8
3
Attention ! Quels que soient les nombres a et b positifs :
√
√
et√
Exemples :
o
√2
o
3√7
√5 ne peut être simplifié.
5√7
8√7
√
√
Maths – 3ème √
3 Cours n°9 : RACINES CARREES
III- SIMPLIFICATION D’ECRITURES
1) Simplifier une racine carrée
Définition : simplifier une racine carrée, c’est trouver une écriture de la forme √
pour laquelle le nombre sous le radical est le plus petit possible.
Méthode : il faut décomposer le nombre sous la racine carrée sous la forme d’un
produit où un des deux facteurs est un carré parfait ; à savoir 4 , 9 , 16 , 25 …
Exemple 1 : écrire plus simplement
√72 .
←on fait « apparaître » dans 72 un carré parfait.
√36
2
√36
√2 ←on extrait cette racine (propriété 1).
6
√2
←on simplifie la racine « parfaite ».
Exemple 2 : écrire plus simplement
√54
Exemple 3 : développer puis simplifier
9
3√7
9
27√7
27√7
27√7
5
45
9
45
3√4
√8 3√7
3√7
√8
3√8
45
√24 .
7
5
14
6√14
√8
5 .
5
2√2
10√2
10√2
2) Ecrire un quotient sans radical au dénominateur
Le
√
.
Maths – 3ème Exemple 1 : écrire sans racine au dénominateur
4 Cours n°9 : RACINES CARREES
√
Exemple 2 : écrire sans racine au dénominateur
.
√
On va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par √2.
1
2√3
√2
5√2 √2
2√3√2 √2
5 2
2√6 √2
10
√
Exemple 3 : écrire sans racine au dénominateur
√
.
On va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par √2
expression conjuguée de √2
1.
2
2
√2
1
√2
√2
√2
1 √2
√2
1
√2
2
IV-
1, qui est appelée
1
2
√2
√2
1
√2
EQUATION DU SECOND DEGRÉ DU TYPE : x² = a
Voici les cas pouvant se présenter :
9.
o
Il y a deux nombres dont le carré est 9 : 3 et -3.
o
L’équation proposée a donc deux solutions.
→ Exemple 2 : résoudre l’équation ²
7.
o
Il y a deux nombres dont le carré est 7 : √7 et
o
L’équation proposée a donc, elle aussi, deux solutions.
→ Exemple 3 : résoudre l’équation ²
0.
o
Il y a un seul nombre dont le carré est 0 : c’est 0.
o
L’équation proposée a donc une unique solution.
→ Exemple 4 : résoudre l’équation ²
o
36.
Il n’existe pas de nombre dont le carré soit -36 (le carré d’un nombre n’est
jamais négatif).
o
√7 .
L’équation proposée n’a donc pas de solution.
Maths – 3ème → Exemple 1 : résoudre l’équation ²
5 Cours n°9 : RACINES CARREES
Propriété (admise) : soit l’équation x² = a où x est l’inconnue et a un nombre donné :
Si a > 0, alors cette équation admet deux solutions : x =
a et x =
Si a = 0, alors cette équation admet une unique solution : x = 0 ;
Si a < 0, alors cette équation n’admet pas de solution.
45 et 3 ²
9
0.
Maths – 3ème Exemples : résoudre les équations ²
a;
6