racines carrees

RACINES CARREES
I) INTRODUCTION
Règles de base :
(1, 2)2  0
p 43 et 44 à voir
TOUT CARRE EST POSITIF : x
2
 0
(-3, 5)2  0
DEUX NOMBRES QUI ONT LE MEME CARRE SONT EGAUX OU
OPPOSES
(12)2  (12)2
Pourquoi
(12)2  (12)2
ou
ou
? activité 1 p 40
Définition
Soit "a" un nombre positif,la racine carrée de
"a" 4est le nombre positif dont le carré est "a"
La racine carrée de "a" se note
a
( a)  a
L'écriture a n'a de sens que si a  0
2
s'appelle le radical
Puissance et racine :
 ( 3 )2 ( 3 )2  32
(3)4  (3)2 (3)2  32
4
Calculer : ( 3 )
Règle
(12)2  (12)2
Si a  0
alors
Quel que soit a
A l'aide de la calculatrice
activité 3 p 41
( a )4  a 2
a4  a2
alors
II) CALCULS SUR LES RADICAUX
Si a  0 et b  0 alors
axb a x b
Si a  0 et b > 0 alors
a
a
=
b
b
Propriétés
a+b  a + b
Attention :
1) Suppression d'une racine carrée au dénominateur
a) Simple A 
3
5
On peut multiplier numérateur et dénominateur par un même nombre non nul
sans en changer le résultat
A
Règle
3x 5
5x 5
A=
3 5
5
A=
3
5
5
Il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par la racine carrée à
supprimer
b) Plus compliqué
A
2
53
Idée : ( 5  3)( 5  3)  5  9   4
a  b s'appelle le conjugué de
a  b s'appelle le conjugué de
Définition
a b
a b
On multiple numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur
A
A
2
53
A
1
( 5  3)
2
2( 5  3)
( 5  3)( 5  3)
A=
2( 5  3)
5-9
A=
2( 5  3)
4
3°) Comparaison
Rappel : Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs
carrés
Comparer : 12 et 8
on élève au carré
( 12 )² = 12 et ( 8 )²= 8
12 < 8
comme deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs
12 < 8
carrés
IV) RESOLUTION DE L'EQUATION x² = a
1) Quand ‘a’ est un nombre positif
Résoudre x² = 25 c'est trouver les valeurs de x telles que l'égalité x² = 25 soit vraie
x² = 25 revient à résoudre x² - 25 = 0 soit (x - 5)(x + 5) = 0
or : Un produit de facteur est nul si l'un au moins des facteurs est nul
donc x = 5 ou x = -5
autre exemple : x 2  3 soit
( x  3)( x  3)  0 alors
x 3
ou x   3
2) Quand ‘a’ est un nombre négatif
un carré est toujours un nombre positif donc il n'y a pas de solution
3) Quand ‘a’ est égal à ‘0’
Le seul nombre dont le carré est égal à 0 est 0, il y a donc une solution 0
4) Propriété
l'équation x² = a admet :
Si a < 0 , aucune solution
Si a > 0 , 2 solutions qui sont x = a ou x =  a
Si a = 0 , une seule solution 0