1 Rappel : Fonctions cosinus et sinus 2 Cercle trigonométrique

Trigonometrie
1
Rappel : Fonctions cosinus et sinus
1.1
Définition
Soit un triangle ABC rectangle en B. On
[
appelle α l’angle BAC.
AB
Le rapport
ne dépend que de l’angle
AC
α et on a le Cosinus :
AB
Cos(α) =
AC
De la même façon on a le Sinus :
Sin(α) =
1.2
C
α
BC
AC
A
B
Valeurs remarquables
On peut déterminer de façon exacte ces rapports pour certains angles particuliers.
α
0˚
Cos(α)
1
Sin(α)
0
2
30˚
√
3
2
1
2
45˚
√
2
2
√
2
2
60˚
90˚
1
2
√
3
2
0
1
Cercle trigonométrique
y
On appelle cercle trigonométrique un
cercle de rayon 1.
J
On appelle sens direct, ou sens trigonométrique le sens inverse des aiguilles
d’une montre (indiqué + sur la figure).
+
•
•
O
•
α
M
•
I
Un point M du cercle peut être repéré par
\ = α.
l’angle IOM
→ −−→
\, on préfère la notation −
Notation : Plutôt que la notation IOM
OI ; OM .
Question : Lesquelles de ces points appartiennent au cercle trigonométrique ?
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x
Trigonometrie
3
√
3 4
– B( , )
5 5
– A(1, 1)
√
√
– E( 3, − 2)
3 1
– C(−
, )
2 2
Longueur d’un arc de cercle
Le périmètre du cercle trigonométrique est
P = 2π, ce qui correspond à un tour complet,
soit un angle de 360˚.
J
•
L’angle α est une faction d’un tour com_
plet. On aura donc l’arc IM en rapport à 2π
égal à celui de α à 360˚.
•
+
•
O
α
M
•I
On peut alors compléter le tableau cidessous.
α
0˚
30˚
45˚
60˚
90˚
120˚
180˚
360˚
0
π
6
π
8
π
3
π
2
2π
3
π
2π
_
IM
_
_
π
×α
On constate que IM et α (exprimé en degrés) sont proportionnels et que IM =
180
où α est exprimé en degrés.
Définition 1: On appelle radian l’unité d’angle telle qu’un tour complet représente un angle de 2π radians. On a la formule :
αradians =
π
αdegrs
180
En exprimant les angles en radians, la lon_
gueur d’un arc IM de cercle de rayon R et
d’angle α est tout simplement :
_
M
•
α
O
IM = Rα
•
R
•I
1
L’aire du secteur OIM est AOIM = R2 α
2
4
Enroulement de la droite des réels
Une droite des réels est une droite quelconque permettant de représenter graphiquement l’ensemble des nombres réels. Cette
droite est dotée d’un repère (O; I), O étant
l’origine et I donnant le sens et l’échelle.
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0•
O
1•
I
4, 5 x
•
M
Trigonometrie
Ici, dire que le point M représente la valeur 4, 5 revient à dire que OM = 4, 5, compté
−→
positivement dans le sens de OI.
y
Enrouler cette droite sur le cercle trigonométrique c’est faire le même travail sur le
cercle trigonométrique : On prend le cercle
trigonométrique, l’échelle est donnée par son
rayon OI, le sens est le sens trigonométrique.
Alors dire que le point M représente 4, 5 re_
vient à dire que IM = 4, 5.
×π
•x
π
×
2
M (x)
d
a
5r
4,
M
•
×
•I
O
J
•
×
O
•
•
x
I
×
C
•
×−
A droite, la représentation d’un tel enroulement. M (x) est l’image du réel x sur le
_
cercle trigonométrique : IM (x) = x.
π
2
D
×−π
Exercices du Math’x : 15
πet
16p156
On voit que M (0) = I et M
= J. Mais M (2π) = I aussi ! En effet, 2π correspond à
2
un tour complet. Après un tour, M revient en I. On pourrait dire également que I = M (0) =
M (2π) = M (4π) = M (6π) = · · · .
Pour tous x ∈ R et k ∈ Z, on a M (x + 2kπ) = M (x). Autrement dit,
M (x) = M (x0 ) ⇔ x − x0 = 2kπ avec k ∈ Z. En effet, un arc de longueur 2kπ
correspond à exactement k tours complets du cercles
9π
17π
Exemple : Les réels
et −
ont la même image sur le cercle trigonométrique. En
13
13
9π
17π
26π
effet,
− −
=
= 2π.
13
13
13
Exercices du Math’x : 23 p157
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Trigonometrie
5
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Définition 2: Dans le repère orthonormal (O; I; J), le point M (x) a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)).
Cette définition est naturelle si on utilise
les radians.
En effet, dans le triangle OM a, OM = 1
est l’hypoténuse et Oa est le coté adjacent de
Oa
= xM .
l’angle α. On a donc cos(α) =
OM
De même, sin(α) = yM .
Or, dire que M est l’image du réel x
sur le cercle trigonométrique, c’est dire que
J•
b•
M
α
_
IM (x) = x, ou encore que α = x, si α est
exprimé en radians.
•
O
•
•
a
•
I
On donne ci-dessous quelques valeurs remarquables.
α
0˚
α en rad
0
cos(α)
1
sin(α)
0
30˚
45˚
60˚
90˚
π
6
√
3
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
π
2
1
2
1
2
√
3
2
√J
3
√2
2
2
1
2
0
1
√
1
2
O
√
2
2
3
2
I
J
Remarque : On n’est pas limités à des
angles positifs et aigus ! Avec cette nouvelle
définition, on peut calculer les cosinus et sinus
d’angles négatifs et plus grands qu’un angle
droit.
3π
Ci-contre, exemple d’un angle de
(soit
4
π
135˚) et un autre de − (soit −30˚).
6
√
2
2
√
3π
4
√
−
2
2
O
3
2
π
6
I
− 12
On peut utiliser les symétries pour trouver les cosinus et sinus des angles autres que ceux
connus.
Exercices du Math’x : 26 et 29 p157
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Trigonometrie
6
Propriétés des fonctions sinus et cosinus
Propriété 1: Pour tout réel x :
– (cos(x))2 + (sin(x))2 = 1. On préfère généralement la notation :
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
– −1 6 cos(x) 6 1
– −1 6 sin(x) 6 1
Démonstration :
– Soit x un réel. M (x) est l’image de x sur le cercle trigonométrique et ses coordonnées
sont (cos(x) ; sin(x)). On a OM 2 = cos2 (x) + sin2 (x) et comme M est sur le cercle
trigonométrique, OM = 1.
– Notons X = cos(x) et Y = sin(y). X 2 + Y 2 = 1 donc Y 2 = 1 − X 2 . Comme X 2 > 0
alors Y 2 6 1 et donc −1 6 Y 6 1. On raisonne de même pour X.
√ !2 2
3+1
3
1
π
=
=1
+
Exemple : Pour x = , cos2 (x) + sin2 (x) =
6
2
2
4
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