Nombres trigonométriques irrationnels – Construction graphique
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LGL Cours de Mathématiques 2004 ________________________________________________________________________________ Nombres trigonométriques irrationnels – Constructions graphiques d’angles correspondants Remarque préliminaire : Dans chacun de ces exemples, il est important de conserver, au sein d’un même exemple, l’unité de référence inchangée. A Construction géométrique de l’angle ß sachant tan β = 3 15 4 Comme le nombre 15 est irrationnel, il faut d’abord une construction géométrique « indirecte » pour ce nombre trigonométrique. Exprimons le radicande 15 comme somme ou différence de deux carrés parfaits : 15 = 16 − 1 ⇔ 16 = 1 + 15 ⇔ 42 = 12 + ( 15 ) 2 Comme cette dernière relation est une relation de Pythagore dans un triangle rectangle et connaissant la propriété du cercle de Thalès, nous construisons le cercle de Thalès de diamètre 4. ST = 15 (unités de longueur) 3 15 , il faut utiliser le théorème de Thalès. Sachant que 4 4 15 3 15 = , on relie les points A et S. Parallèlement à AS, on relie le point B ( TB = du 4 4 3 15 . diamètre) au point P. La longueur cherchée est alors TP = 4 ________________________________________________________________________________ Beran - NombresTrigonometriquesIrrationnels.doc Trigonométrie -1Pour construire le nombre LGL Cours de Mathématiques 2004 ________________________________________________________________________________ Construisons ensuite le cercle trigonométrique de centre O et de rayon OT = 1 et la perpendiculaire à AO élevée en T. Cette droite est la droite tangente au cercle trigonométrique. En rabattant la distance TP sur cette perpendiculaire, nous retrouvons la 3 15 comme étant TU . longueur 4 n En reliant U à O, nous obtenons l’angle β = TOU tan β = 3 15 4 En mesurant cet angle, on trouve β ≈ 71° . ________________________________________________________________________________ Beran - NombresTrigonometriquesIrrationnels.doc Trigonométrie -2- LGL Cours de Mathématiques 2004 ________________________________________________________________________________ B Construction géométrique de l’angle ß sachant sin β = 12 5 Exprimons le radicande 12 comme somme ou différence de deux carrés parfaits : 12 = 16 − 4 Les nombres 2 et d’hypoténuse 4. ⇔ 16 = 4 + 12 ⇔ 42 = 22 + ( 12 ) 2 12 sont donc les longueurs des cathèdes d’un triangle rectangle La longueur ST = 12 (unités de longueur). Cette longueur correspondant à 5 , il suffit de tracer la 5 12 . 5 En reportant dans un cercle trigonométrique cette longueur sur l’axe des sinus orienté positivement, 12 puisque sin x > 0 , on obtient le point D tel que RT = OD = . La droite perpendiculaire à l’axes 5 12 comme ordonnée. Les deux points des sinus est l’ensemble de tous les points ayant 5 d’intersection M et M’ de cette droite avec le cercle trigonométrique nous fournissent deux angles β et π − β supplémentaires. La mesure en degrés de l’angle β : β ≈ 44° . droite parallèle à PS passant par Q pour obtenir RT = Remarque : Pour construire un angle dont on connaît le nombre trigonométrique irrationnel en cosinus, il suffit de reporter la mesure irrationnelle sur l’axe des cosinus. ________________________________________________________________________________ Beran - NombresTrigonometriquesIrrationnels.doc Trigonométrie -3-
