t 1 sin t cos t O I J

TRIGONOMÉTRIE, FONCTIONS SINUS ET COSINUS
•
On a découvert au collège les sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu, qui
permettent d’établir le lien entre les angles aigus d’un triangle rectangle et les côtés de
celui-ci.
Rappeler ici les légendes de la figure et les formules :
Une piste de course circulaire a pour rayon 1 unité, disons 1 hm (hectomètre, 100m).On la
parcourt dans le sens classique, le sens giratoire. On repère les points qu’on aura atteint
quand on aura parcouru 1, 2, 3, 4, 5, hm en s’élançant du « départ ».
Départ
1
M
I
2
J
1
5
O
t
O
3
H
4
Si l’hypoténuse du triangle rectangle
mesure 1, on vérifie aisément que le
côté opposé mesure sin t et le côté
adjacent mesure cos t.
1
sin t
t
cos t
•
La longueur de la piste est 2×π×rayon = 2π unités.
On peut repérer la distance parcourue sur le cercle, et il est facile pour cela de privilégier les
multiples de π voire de π/2 .
On peut aussi choisir d’arriver au
point I ( et c’est le cas sur les
π/2
stades !), on repère pour cela de
2
1
quel point on aura dû partir :
On pourrait alors se situer dans un repère orthonormé (O ; I , J) , tracer un quart de
= t et lire le
cercle de centre O et de rayon 1, placer dessus le point M tel que IOM
cosinus et le sinus de l’angle t comme étant respectivement l’abscisse et l’ordonnée du
point M appartenant à ce qu’on pourrait appeler le quart de cercle trigonométrique .
On pourrait presque se passer de calculatrice si on n’est pas trop exigeant sur le précision
des résultats !
90°
-3π/2 -5
3
π
-4
O
0
1
-6
6
I
-π
-3
O
1
4
80°
70°
J
60°
3π/2
5
-π/2
45°
Comment repérer l’endroit qui marquera 10 unités (le kilomètre) ?
Comment savoir la distance qu’on aura parcourue quand on sera à un endroit précis du
cercle, mais après combien de tours ?
40°
sin t
30°
M(2)
J
sin(2)
20°
10°
I
O
cos(2)
0°
O
Page 1
-1
-2
50°
cos t
Un point de la piste pourra être repéré par ses
coordonnées, et on va généraliser ce qui a été
entrevu au paragraphe précédent en définissant le
cercle trigonométrique et en faisant le lien avec
les sinus et cosinus évoqués précédemment. .
I
Page 2
Le cercle trigonométrique
2π
π
(O ; I , J) est un repère orthonormé : on munit le
cercle de centre O et de rayon 1 d’une origine, le
point I, et d’un sens de parcours, le sens giratoire,
qui sera le sens direct ou sens positif.
On est en mesure d’utiliser alors ce qu’on nomme
le cercle trigonométrique pour repérer un réel.
Imaginons qu’on gradue de bas en haut une droite
tangente en I au cercle et qu’on enroule celle-ci
autour du cercle trigonométrique : à chaque réel va
correspondre un point du cercle et un seul.
Trigo et racine carrée : réels et angles remarquables
Quelle est la valeur exacte de cos 38° ? c’est simple : c’est cos 38° !
3.
2
Pour les réels, les angles remarquables, on peut établir le lien avec les racines carrées.
A vous de jouer !
(Consignez en dessous mesures en degrés, les réels repérés, les sinus et cosinus)
Quelle est la valeur exacte de cos 30° ? c’est cos 30° , mais c’est aussi (surtout ?)
J
J
J
π/ 2
1
O
1
I
Notons que chaque point du cercle représente une
infinité de réels qui ont pour différence un
« multiple » de 2 π .
axe des sinus
J
- π/ 2
M(t)
O
I
angle
réel
cos
sin
J
-π
1
1
sin(t)
0°
0
O
30°
45°
I
60°
90°
O
I
120° 135° 150° 180°
Fonction sinus et cosinus
Un réel t étant repéré sur le cercle
trigonométrique par un point M,
– on appelle cos t l’abscisse de ce
point, donc le cosinus de ce réel t
– on appelle sin t l’ordonnée de ce
point, donc le sinus de ce réel t.
cos(t)
O
I axe des cosinus
A chaque réel, on peut associer son sinus et son cosinus, on obtient ainsi deux fonctions, sin
et cos définies sur . Elles sont bornées par –1 et 1.
Périodiquement, « à intervalle de 2 π »,on retombe sur le même point du cercle
trigonométrique, donc sur le même sinus et le même cosinus : les fonctions sin et cos sont
périodiques et de période 2 π .
Représentations graphiques :
dans un repère conventionnel
Comment repérer les réels particuliers ? en s’aidant d’un cercle trigonométrique
dont le rayon unité est un nombre pair de carreaux, à l’aide de médiatrices et bissectrices :
les « multiples » de π /3
(associés à 60° )
O
Page 3
les « multiples » de
(associés à 30°)
O
π /6
les « multiples » de
(associés à 45°)
π /4
dans un repère trigonométrique ( les abscisses sont graduées à l’aide du nombre π ).
O
Page 4