Chapitre 6 – Trigonométrie Table des matières

TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 6 – Trigonométrie
Chapitre 6 – Trigonométrie
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
7
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
II Cours
1
2
II-1
Rappels de collège
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1a
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1b
Exemple de calcul de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1c
Exemple de calcul d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1d
Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
Rappels de seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
2a
« Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique . . . . . II-2
2b
Cosinus et sinus d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
2c
Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
3
Mesure d’un angle en radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
4
Radian et degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
5
Les mesures d’un angle orienté et sa mesure principale . . . . . . . . . . . . . . . . . II-5
6
Cosinus et sinus d’angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-5
7
Équations cos x = cos a et sin x = sin a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-6
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I EXERCICES – page I-1
Chapitre 6 – Trigonométrie
I
Exercices
Cercle trigonométrique et mesure en radians
1
|
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on appelle cercle
trigonométrique le cercle de centre O de rayon 1. Sur ce cercle, le
sens d’orientation positif est le sens contraire des aiguilles d’une
montre. Le point A a pour coordonnées A (1 ; 1), et on imagine
que la droite (IA) « s’enroule » sur le cercle trigonométrique.
π
|
Le fichier GeoGebra nommé
2de-Trigo_1-_Enroulement_de_la_droite_numerique.ggb 1 sera montré en classe, pour visualiser
l’idée d’ « enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique.
π
2
b
A
1. Le nombre π sur la droite graduée (IA) est associé de cette
manière au point B sur le cercle trigonométrique. Placer le
point B sur la figure.
+
2. À quel point est associé
π
(a) le nombre ?
(b) le nombre 0 ?
2
J
π
π
,− .
4
2
’
4. Tracer sur la figure l’angle IOC. On dit que le nombre
π
’ et, pour
est la mesure en radians de l’angle IOC,
4
l’écriture de l’angle,
on parlera plutôt de l’angle orienté
−
→ −→
de vecteurs OI, OC .
b
3. Placer les points C, D associés respectivement à
O
b
b
I
5. Quelle est la mesure en degrés de l’angle orienté de vecteurs
−→ −→
OI, OC ?
9. Parmi les mesures en radians d’un angle orienté de
vecteurs, la seule qui appartient à l’intervalle ] − π ; π]
est appelée sa mesure principale.
Quelle
est la mesure principale en radians de l’angle
−
→ −−
→
OI, OE ?
Angle orienté de vecteurs
Mesure en radians
−
→
−→
OI, OC
π
4
−
→
−−→
OI, OB
−
→
−→
OI, OJ
−
→
−→
OI, OI
|
7. Quel est le point E sur le cercle
trigonométrique
tel que la
−
→ −−
→
π
mesure en radians de l’angle OI, OE soit égale à +2π ?
2
8. Donner deux autres mesures en radians de l’angle
−→ −−
→
OI, OE , une positive, une négative.
π
2
−
|
6. Compléter le tableau ci-dessous.
−π
−
→
−−→
OI, OD
Mesure en degrés
1. Fichier téléchargeable sur le site du lycée, adresse ci-dessous à droite.
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I EXERCICES – page I-2
Chapitre 6 – Trigonométrie
2
Tracer un repère orthonormé (O, I, J) d’unité 4 cm (ou 4 carreaux) et son cercle trigonométrique.
Placer les points correspondant aux nombres suivants.
π
π
π
5π
3π
(2)
(3)
(4) −
(5)
(1)
4
3
6
6
4
3
Tracer un repère orthonormé (O, I, J) d’unité 4 cm (ou 4 carreaux) et son cercle trigonométrique.
1. Placer les points correspondant aux nombres suivants.
17π
−13π
26π
43π
(a)
(b)
(c)
(d) −11π
(e)
4
2
3
6
2. Chacun des nombres précédents est une mesure d’angle en radians.
Écrire chacun d’eux sous la forme : mesure principale + 2kπ où k est un entier relatif.
π 16π
π
17π
= +
= + 4π
Exemple pour (a) :
4
4
4
4
4
Chacun des nombres des exercices 2 et 3. est une mesure d’angle en radians.
Convertir ces dix mesures en degrés.
5
Convertir les mesures d’angles suivantes en radians, en fraction de π.
(1) 120o
6
(2) −20◦
(3) 225o
(4) −75◦
(5) 80◦
Sur un cercle trigonométrique C de centre O, les points A, B, C, D sont associés respectivement aux
π
π 5π
,− .
nombres réels 0, ,
4 6
2
1. Tracer le cercle C et placer les points A, B, C, D.
2. Donner une mesure en radians des angles orientés ci-dessous.
−→ −→
−
−
−→ −→
−→ −−→
(a)
OA, OC
(b)
OD, OA
(c)
OB, OD
(d)
−
−→
−→
OB, OC
7
Construire la figure décrite ci-dessous.
ABCD est un rectangle ; AB = 5 cm ; BC
−→ −
−→ −→
−→
π
π
AB, AD = − ;
AB, AE = + ;
2
3
= 3 cm ; ABE et BCF sont des triangles équilatéraux.
−
−→ −
−→
π
BC, BF = − .
3
8
−→ −→
π
Le triangle ABC est équilatéral, tel que AB, AC = , et le point
3
I est le milieu de [AB].
Sans justifier, donner une mesure en radian de chacun des angles
de vecteurs
suivants.
−
−→ −
−→ −→
→
(1)
CB, CA
(2)
CA, CI
−→ −
−→ −
−→
→
(3)
AB, BC
(4)
AC, IC
C
b
A
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b
b
I
b
B
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I EXERCICES – page I-3
Chapitre 6 – Trigonométrie
9
A, B, C, D sont quatre points tels que :
−→
π
AD, AC = − .
3
−→ π
AB, AC =
6
−
−→
−→
1. Tracer une figure.
2. Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier par un calcul d’angle.
10
−→ −
−→
π
ABCD est un carré de centre O tel que : OA, OB = + .
2
Donner les mesures en radians des angles orientés de vecteurs suivants :
−
−→ −→
−→ −→
−
−→ −→
−→ −−→
(1)
OD, OC
(2)
AB, AO
(3)
OC, OA
(4)
OD, DA
−
−→ −−→
(6)
AD, BC
(5)
−
−→
−−→
BC, CB
Cosinus et sinus
11
ABC est un triangle
isocèle tel que :
−→ rectangle
−−→
π
AB = a et
BA, BC = −
2
−→ −→
1. Sans justifier, donner une mesure en radians de l’angle AB, AC
√
2. Démontrer que AC = a 2
√
Å ã
Å ã
π
π
2
3. Démontrer que cos
= sin
=
4
4
2
C
b
|
b
b
|
A
B
12
−→ −→
π
Le triangle ABC est équilatéral, tel que AB, AC = , et le point I est le milieu de [AB] (figure de
3
l’exercice 8) et on appelle a la distance AB.
√
3
1. Démontrer que CI = a
2
Å ã
Å ã
−
−→ −
→ −→
→
1
π
π
2. En utilisant les angles AI, AC et CA, CI , démontrer que cos
= sin
= et que
3
6
2
√
Å ã
Å ã
π
3
π
= sin
=
cos
6
3
2
13
Avant de faire cet exercice, lire le paragraphe 2b du cours qui donne la définition du cosinus et du
sinus d’un nombre réel, et qui fait le lien avec les définitions de collège.
π
Le point A sur le cercle trigonométrique correspond au nombre .
6
A π6
D
Compléter le tableau ci-dessous par des valeurs exactes.
b
Point
A
x
π
6
B
C
D
b
b
b
C
cos(x)
b
b
b
b
B
sin(x)
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I EXERCICES – page I-4
Chapitre 6 – Trigonométrie
14
15
Compléter le tableau ci-dessous par
des valeurs exactes.
Compléter le tableau ci-dessous par
des valeurs exactes.
3π
4
− π3
x
7π
6
2π
3
0
x
cos(x)
cos(x)
sin(x)
sin(x)
16
Calculer cos
17
− 2π
3
− π4
π
2
Å ã
Å
π
6π ã
+ cos
7
7
1. Résoudre l’équation cos(x) = 0, 5 dans IR.
√
2
dans IR.
2. Résoudre l’équation sin(x) =
2 Å ã
π
3. Résoudre l’équation cos(x) = cos
dans IR.
10
Å ã
π
dans IR.
4. Résoudre l’équation sin(x) = sin
10
18
Résoudre dans IR les équations :
(1)
1
cos(x) = −
2
(2)
sin(x) = −
√
2
2
19
(3)
cos(x) = 1
(4)
sin(x) = 0
√
2
2
2. Déterminer les solutions qui appartiennent à l’intervalle ] − π ; π].
1. Résoudre dans IR l’équation cos(2x) =
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II COURS – page II-1
Chapitre 6 – Trigonométrie
II
1
Cours
Rappels de collège
1a Définitions
Dans un triangle rectangle,
longueur du côté adjacent à cet angle
cosinus d’un angle aigu =
longueur de l’hypoténuse
longueur du côté opposé à cet angle
sinus d’un angle aigu =
longueur de l’hypoténuse
longueur du côté opposé à cet angle
tangente d’un angle aigu =
longueur du côté adjacent à cet angle
C
hypoténuse
A
côté adjacent à l’angle Â
AB
AC
BC
tan  =
AB
cos  =
côté opposé à l’angle Â
sin  =
BC
AC
B
Remarques :
– le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont des nombres compris entre 0 et 1 ;
– la tangente d’un angle aigu est un nombre positif ;
– la tangente de 90◦ n’existe pas.
1b
Exemple de calcul de longueur
Calcul de la longueur F G dans le triangle rectangle EF G.
sin 47◦
5
=
1
FG
FG =
1×5
sin 47◦
F G ≈ 6, 836637305 ≈ 6, 8cm
1c
Exemple de calcul d’angle
÷ dans le triangle rectangle JKL. Arrondir le résultat à l’unité près.
Calculer l’angle KJL
3m
?
K
KJ
1
=
LJ
3
Å ã
Å ã
1
−1 1
÷
(ou cos
)
KJL = arccos
3
3
÷ ≈ 70, 52877937 ≈ 71◦
KJL
÷ =
cos(KJL)
L
1m
J
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II COURS – page II-2
Chapitre 6 – Trigonométrie
1d
Compléments
Propriété
On a les égalités suivantes entre le cosinus, le sinus et la tangente :
“ 2 + (sin A)
“2=1
(cos A)
“=
tan A
“
sin A
“
cos A
2
Rappels de seconde
2a
« Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique
Définition
– Dans un repère orthonormé, on appelle cercle trigonométrique le cercle dont le centre est l’origine
du repère et dont le rayon est 1.
– Sur ce cercle, le sens d’orientation positif est le sens contraire des aiguilles d’une montre.
|
|
|
|
On considère maintenant un repère orthonormé (O, I, J), son cercle trigonométrique, le point A (1 ; 1),
la droite graduée (IA), et on imagine que la droite (IA) « s’enroule » sur le cercle trigonométrique.
• Ainsi, à chaque nombre de la droite graduée (IA), on associe un point du
cercle trigonométrique.
π
π
correspond au point J sur le cercle
Par exemple, le nombre
2
π
ˆ
+
trigonométrique, parce que est égal à la longueur du quart de cercle IJ,
π
2
π
2π
2
J
= .
en effet la longueur du cercle trigonométrique est 2π et
A
4
2
• En revanche, à chaque point du cercle trigonométrique on peut associer une
I
infinité de nombres sur la droite graduée (IA).
O
π π
π
Par exemple le point J correspond à , + 2π, + 4π, . . . et le point J
2 2
2
π
π
π
−
correspond aussi à − 2π, − 4π, . . .
2
2
2
Autrement dit le point J correspond à une liste infinie de nombres qui
π
s’écrivent tous sous la forme + kπ, où k est un entier relatif.
2
−π
Plus généralement on peut dire que :
tout nombre réel x est associé à un point du cercle trigonométrique, et tous les nombres réels de la
forme x + 2kπ où k est un entier relatif, sont également associés à ce point.
2b
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Définition
sin(x)
Un point M du cercle trigonométrique est associé à un nombre réel x.
• on appelle cosinus de x l’abscisse du point M ;
• on appelle sinus de x l’ordonnée du point M.
b
M
x
cos(x)
+
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II COURS – page II-3
Chapitre 6 – Trigonométrie
Remarque
Au collège, le cosinus et le sinus ont été définis d’une autre façon : il s’agissait
du cosinus ou du sinus d’un angle ïaigu, dans
un triangle rectangle.
πò
Si x est un nombre de l’intervalle 0 ;
, le point M associé à x sur le cercle
2
÷ est aigu, et les égalités ci-dessous font
trigonométrique est tel que l’angle IOM
le lien avec le cosinus et le sinus dans le triangle rectangle.





÷ = cos HOM
◊ = OH = OH = cos(x)
cos IOM
OM


HM

÷ = sin HOM
◊ =
 sin IOM
= HM = OK = sin(x)
OM
J
K
O
b
M
x
H
I
+
(OM = 1)
Propriétés
Pour tout nombre réel x,
(cos(x))2 + (sin(x))2 = 1
−1 6 cos(x) 6 1
−1 6 sin(x) 6 1
Valeurs remarquables
x
0
π
6
π
4
◊
AOM
0
cos(x)
1
sin(x)
0
30◦
√
3
2
1
2
45◦
√
2
√2
2
2
2c
π
3
π
2
60◦ 90◦
1
0
2
√
3
1
2
Utilisation de la calculatrice
TI 82
TI 89
CASIO
Réglage
en degré ou radian
mode 3e ligne.
mode 4e ligne,
touche →
choisir dans la liste
SHIFT
[SET UP],
descendre sur Angle,
choisir avec F1 ou
F2
Cosinus,
sinus, tangente
sin , cos , tan
2ND [SIN]
sin , cos , tan
2ND [COS]
2ND [TAN]
Arcsinus, arccosinus,
arctangente
1re S – Mathématiques
2nde [Arcsin],
◆ [SIN-1]
SHIFT [Asn]
2nde [Arccos],
◆ [COS-1]
SHIFT [Acn]
2nde [Arctan]
◆ [TAN-1]
SHIFT [Atn]
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II COURS – page II-4
Chapitre 6 – Trigonométrie
Mesure d’un angle en radian
Mesure en radians d’un angle orienté de vecteurs
Dans un repère orthonormé (O, I, J) un point M sur le cercle
trigonométrique est associé à un nombre réel x (voir paragraphe 2a).
On dit que le
nombre réel x est une mesure en radians de l’angle orienté
−
→ −−→
de vecteurs OI, OM
+
|
3
J M
x
b
I
|
O
−
→
−−→
OI, OM tel que
1.
|
Le radian
Le radian est la mesure de l’angle orienté de vecteur
le point M sur le cercle trigonométrique est associé à
π
2
J
b
− π2
π
2
M 1
I
O
|
−1
4
− π2
Radian et degré
D’après le cercle trigonométrique : π rad = 180◦
π rad
180◦
≈ 57, 3◦ et 1◦ =
≈ 0, 0175 rad
Par conséquent : 1 rad =
π
180
Concrètement, pour convertir de degrés en radians ou inversement, on utilise la proportionnalité. En
effet, si un angle a une mesure d en degré et une mesure r en radians, le tableau ci-dessous est un
tableau de proportionnalité.
Mesure en degrés 180 d
Mesure en radians π
r
Exemples de conversion
5π
rad en degrés :
• Convertir
3
π
5π
π
puisque rad = 60◦ , on a donc :
rad = 5 × rad = 5 × 60◦ = 300◦ .
3
3
3
7π
7π
7
7
• Convertir
rad en degrés :
rad = × π rad = × 180◦ = 252◦ .
5
5
5
5
• Convertir 40o en radians, en fraction de π.
Appelons r la mesure en radians, on a alors le tableau de proportionnalité suivant :
180o
π
40o
r
40 × π
40
4
2
2π
.
=
×π =
×π = ×π =
180
180
18
9
9
Autres exemples de conversions dans le manuel Hyperbole page 187 (exercice résolu no 2).
Donc : r =
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II COURS – page II-5
Chapitre 6 – Trigonométrie
5
Les mesures d’un angle orienté et sa mesure principale
Soit x une mesure en radians d’un angle de vecteur (~u, ~v ). Ce nombre réel x est associé à un point
M sur le cercle trigonométrique, et on sait que tous les nombres réels de la forme x + 2kπ où k est
un entier relatif, sont également associés à ce point.
Donc tous ces nombres réels de la forme x + 2kπ, sont également des mesures en radians de l’angle
(~u, ~v).
Parmi cette infinité de mesures, une seule est dans l’intervalle ] − π ; π], elle est appelée mesure
principale de l’angle (~u, ~v).
– Si x est une mesure en radians d’un angle de vecteurs (~u, ~v ), alors tous les nombres réels de la
forme x + 2kπ où k est un entier relatif, sont également des mesures en radians de l’angle (~u, ~v).
– Parmi les mesures d’un angle (~u, ~v), la seule qui appartient à l’intervalle ] − π ; π] est appelée
mesure principale de l’angle (~u, ~v).
Exemples de calcul
• La mesure d’un angle est −13π, déterminons sa mesure principale.
−13π + 14π = π
14π = 2 × 7π est bien de la forme 2kπ, et π ∈] − π ; π].
Donc la mesure principale de cet angle est π .
55π
• La mesure d’un angle est
, déterminons sa mesure principale.
6
55
55
55π
55π 60π
5π
≈ 9, 2 donc le nombre pair le plus proche de
est 10.
− 10π =
−
= −
6
6
6
6
6
6
6
Cosinus et sinus d’angles associés
Le programme de mathématiques de 1re S indique qu’un élève doit savoir utiliser le cercle trigonométrique
pour déterminer les cosinus et sinus d’angles associés.
Cela signifie qu’il faut être capable de retrouver les égalités ci-dessous en traçant un schéma à partir
du cercle trigonométrique.
®
®
®
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = sin(x)
cos(π − x) = − cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
sin(π + x) = − sin(x)
Å
ã
π
cos
− x = sin(x)
2
Å
ã


π

 sin
− x = cos(x)
2
1re S – Mathématiques
b
b
x
b
b
b
− cos(x)
cos(x)
π+x
sin(x)
b
b
b
−x
− sin(x)
π
+x
2
π
−x
2
b





sin(x)
π−x
b
b
x
b
b
b
b
cos(x)
Å
πã
cos x +
= − sin(x)
2
Å
ã


π

 sin x +
= cos(x)
2





TDM
sin(x)
b
b
b
x
b
b
cos(x)
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II COURS – page II-6
Chapitre 6 – Trigonométrie
7
Équations cos x = cos a et sin x = sin a.
Le programme de mathématiques de 1re S indique qu’un élève doit savoir utiliser le cercle trigonométrique
pour résoudre dans IR les équations de la forme : cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a).
Exemple 1
Å ã
π
.
Résolution de l’équation cos(x) = cos
4
On schématise cette équation sur le cercle trigonométrique.
Les solutions sont les nombres réels de la forme
π
π
+ 2kπ et − + 2kπ, où k est un nombre entier relatif.
4
4
π
4
b
b
cos( π4 )
b
− π4
Exemple 2
Å ã
π
.
Résolution de l’équation sin(x) = sin
6
On schématise cette équation sur le cercle trigonométrique.
π
6π π
5π
Calcul : π − =
− =
6
6
6
6
Les solutions sont les nombres réels de la forme
π
5π
+ 2kπ et
+ 2kπ, où k est un nombre entier relatif.
6
6
1re S – Mathématiques
TDM
π−
π
6
sin( π6 )
b
b
b
π
6
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