1. Rappels de trigonométrie. Valeurs usuelles. Se reporter au DM6

Lycée A.Maurois
janvier 2011
ANGLES ORIENTES de VECTEURS. TRIGONOMETRIE.
1S2
1. Rappels de trigonométrie. Valeurs usuelles.
Se reporter au DM6 pour les valeurs usuelles.
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;~i,~j)
Définition 1 : le cercle de centre O et de rayon 1, sur lequel on a choisi un sens de parcours positif (en général le
sens anti-horaire ou direct) est appelé cercle trigonométrique.
Soit A le point du cercle trigonométrique de coordonnées (1; 0) et T A la tangente au cercle trigonométrique en A.
−
→
Soit I le point de T A de coordonnées (1; 1). On munit T A du repère (A; AI).
Tout point M de T A a des coordonnées de la forme (1; x) (x est l’abscisse de M sur T A ).
• Si x est positif on enroule mentalement la longueur AM le long du cercle dans le sens direct, A restant fixe. Par
enroulement le point M va coïncider avec un point unique du cercle trigonométrique qu’on peut appeler M 0 .
• Si x est négatif, on enroule mentalement la longueur AM le long du cercle dans le sens indirect, A restant fixe.
Par enroulement le point M va coïncider avec un point unique du cercle trigonométrique qu’on peut appeler M 0 .
−−→ −−−→
Considérons alors les vecteurs OA et OM 0 dans un cas comme dans l’autre.
−−→ −−−→
Définition 2 : le couple (OA,OM 0 ) définit un angle orienté* de vecteurs ( * dans la mesure où l’ordre dans
lequel on écrit les vecteurs a de l’importance).
−−→ −−−→
Définition 3 : on dira que x est une mesure de l’angle orienté de vecteur (OA,OM 0 ) exprimée en radians.
A noter que tout point N de coordonnées (1; x + k × 2π), avec k ∈ Z, coïncide par enroulement sur le cercle
trigonométrique au même point que M(1; x).
−−→ −−−→
Ainsi x + k × 2π est aussi une mesure de (OA,OM 0 ).
−−→ −−−→
Remarque : Deux mesures de l’angle orienté (OA,OM 0 ), exprimées en radians, diffèrent d’un multiple de 2π.
−−→ −−−→
Parmi toutes les mesures ( en radians) d’un même angle orienté (OA,OM 0 ) une seule se situe dans l’intervalle
] − π; +π] et cette mesure est appelée la mesure principale de l’angle orienté. ( Elle a pour valeur absolue la
plus courte distance pour aller de A à M 0 le long du cercle trigonométrique.)
2. Angle de vecteurs.
~ = 1 ~u est un vecteur colinéaire à ~u, de même sens
Définition 4 : soit ~u un vecteur non nul du plan, le vecteur U
||~u||
que ~u et de norme 1. Il sera dit unitaire.
~ d’origine O a pour extrémité un point M du cercle trigonométrique.
Un représentant de U
Définition 5 : soient deux vecteurs non nuls ~u et ~v. On appelle angle orienté des vecteurs ~u et ~v le couple (~u,~v).
On veut définir les mesures de cet angle orienté de vecteurs.
~ et V
~ unitaires d’origine O.
On commence par construire les vecteurs U
−
−
−
→
−−→
~ = OM 0 et V
~ =−
Soient M 0 et N 0 les points tels que U
ON 0
Définition 6 : soient ~u et ~v deux vecteurs non nuls et (~u,~v) l’angle orienté formé par ~u et ~v. On appelle mesure de
~ V).
~
(~u,~v) toute mesure de l’angle (U,
−−→ ~
−−−→
~ =−
Définition 7 : soient M 0 et N 0 les points du cercle trigonométrique tels que U
OM 0 et V
= ON 0 . La distance
parcourue le long du cercle trigonométrique pour aller de M 0 vers N 0 , affectée du signe correspondant au sens du
~ V)
~ exprimée en radians.
déplacement, est une mesure de (U,
d
~ V)
~ on notera (~
Si α est une mesure de (U,
u,~v) = α.
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d
Pour dire que toutes les mesures de l’angle diffèrent de α d’un multiple de 2π on écrira (~
u,~v) = α [2π] et on lira
“la mesure de l’angle (~u,~v) vaut α modulo 2π.
Exercices : n°16 à 20 p.256-57.
~ trois vecteurs non nuls, alors on a
Propriété : soient ~u, ~v et w
(~u,~v) = (~u,~
w) + (~
w,~v)
(relation de Chasles pour les angles orientés de vecteurs)
Ce qui s’exprime aussi en terme de mesure par :
d
[
[
(~
u,~v) = (~
u,~
w) + (~
w,~v)
[2π].
En particulier avec les notations précédentes on a pour tous vecteurs ~u et ~v non nuls
−−−→ −→
−−→ −−−→
~ V)
~ = (OM 0 ,−
(U,
OA) + (OA,ON 0 )
Exercice d’application directe : Montrer que pour tous vecteurs ~u et ~v non nuls on a :
d
d
(~
v,~u) = −(~
u,~v) [2π]
d
(~u[
, − ~v) = (~
u,~v) + π [2π]
d
~[
(−
u, − ~v) = (~
u,~v) [2π]
Exercices n° 35, 36, 40 p. 257-258 et n°41 à 46 p.258.
3. Propriétés des fonctions trigonométriques..
−−→ −−→
Soit M un point quelconque du cercle trigonométrique, considérons l’angle (OA,OM) ( A(1; 1) comme précédemment) et appelons x une de ses mesures.
On peut “visualiser” les propriétés suivantes : pour tout x réel on a :
Mesures des angles associés
Lignes trigonométriques correspondantes.
x et −x
cos(x) = cos(−x) et sin(−x) = − sin(x)
x et π − x
cos(π − x) = cos(x) et sin(π − x) = sin(x)
x et π + x
cos(π + x) = cos(−x) et sin(π + x) = − sin(x)
π
−x
2
π
x et + x
2
π
π
cos( − x) = sin(x) et sin( − x) = cos(x)
2
2
π
π
cos( + x) = − sin(x) et sin( + x) = cos(x)
2
2
x et
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4. Produit scalaire et trigonométrie : formules d’addition.
→
−→
−
Le plan est toujours muni d’un repère orthonormé direct (O; i , j ), direct signifiant que le sens de parcours choisi
pour orienté le cercle unité est le sens anti-horaire.
Propriété : soient a et b deux réels, on a cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b.
Preuve : en exercice.
De cette propriété découlent les suivantes :

























cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
(on remplace b par −b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2
(formule de duplication)
sin 2a = 2 sin a cos a
(formule de duplication)
Exercices : n°48,49 et 50 p. 259.
5. Coordonnées polaires d’un point du plan orienté* .
→
−→
−
[*Le plan est toujours muni d’un repère orthonormé direct (O; i , j )]
Soit M un point du plan différent de l’origine O.
On connaît déjà un moyen de repérer M dans le plan : ses coordonnées cartésiennes (x; y) pour exprimer le fait que
−−→
OM = x~i + y~j.
Il existe un autre moyen : on va caractériser M par deux nombres : la distance r = OM et une mesure θ de l’angle
−−→ −−→
−−→
orienté de vecteurs (OA,OM) où OA = ~i.
Définition 8 : le couple noté [r; θ] constitue les cordonnées polaires de M. On dit que θ est l’angle polaire de M.
Lien entre cordonnées cartésiennes et coordonnées polaires.
Soient (x; y) les coordonnées cartésiennes de M et [r; θ] ses coordonnées polaires, on a :



 x = r cos(θ)


y = r sin(θ)
On a donc aussi r =
p
x 2 + y2 .
Exercices : n°21 à 33 p. 257.
6. Equations trigonométriques.
Dans ce qui suit k et k0 désignent des entiers relatifs.
Propriété : Soient x et y des réels quelconques on a :
cos x = cos y ⇐⇒ x = y + 2kπ ou x = −y + 2k0 π
sin x = sin y ⇐⇒ x = y + 2kπ ou x = π − y + 2k0 π
Ces propriétés se “lisent” sur le cercle trigonométrique et on essaiera toujours de ramener une équation trigonométrique à l’une des équations ci-dessus et cela au moyen des formules des paragraphes 3 et 4.
Cas particulier : a désigne un nombre réel donné, on a :
cos x = a ⇐⇒ a ∈ [−1; 1] et x = ± arccos(a) + 2kπ
sin x = a ⇐⇒ a ∈ [−1; 1] et x = arcsin(a) + 2kπ ou x = π − arcsin(a) + 2k0 π
Exercices : Résoudre sur R :cos x =
√
√
3/2, cos(2u − 3) = 3/2, sin(2u) = cos(u + 1) et n°54 à 64 p. 259.
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