Ch 08 Trigonométrie
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Ch 08 Trigonométrie I – Mesure des angles orientés de vecteurs I.1 – Rappels On considère le cercle de centre O et de rayon 1 que l’on appelle cercle trigonométrique. Le périmètre de ce cercle est 2π. On considère la droite graduée ∆ tangente au cercle en I. Pour un réel x repéré sur la droite ∆, M désigne le point que l'on obtient sur le cercle par "enroulement" de la droite ∆ sur le cercle. On dit que M est l'image sur le cercle du réel x. Par convention l'enroulement se fait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre appelé sens direct ou trigonométrique. Si M est le point du cercle associé au réel x, ses coordonnées dans le repère (O, I, J) sont (cos x ; sin x). Exemple Sur un cercle trigonométrique, placer 0, π π π 3π , , − , π, . 2 3 4 4 € I.2 – Le radian Définition Soit M un point d’un cercle trigonométrique. On appelle mesure en radian de l’angle orienté (OI, OM) tout nombre réel x associé au point M. € Remarques Un cercle trigonométrique mesure 2π rad ou 360° (angle plein), d’où π rad = 180°. Si le point M est associé à un réel x alors il est aussi associé à tout réel de la forme x + 2kπ , où k désigne un entier relatif. € Ch 08 Trigonométrie 1/4 I.3 – Angle orienté de deux vecteurs Définitions € Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J). u et v sont deux vecteurs non nuls. Sur le cercle trigonométrique, on construit les points F et H tels que OF et OH soient colinéaires et de même sens respectivement à u et v . Ø La mesure de l’angle orienté ( u, v ) est égale à celle de l’angle orienté (OF, OH) € au point € Ø Si x est le réel associé au point F et y le réel associé € € H alors y – x est une mesure en radian de l’angle orienté ( u, v ) . € € Ø L’unique mesure en radian de l’angle orienté ( u, v ) qui appartient à l’intervalle ] −π ; π ] est € appelée mesure€principale. € Remarque € Si α est une mesure de l’angle orienté ( u, v ) alors les autres mesures de cet angle orienté sont les réels α + 2kπ , où k désigne un entier relatif. On note ( u, v ) = α + 2kπ ou ( u, v ) = α (2π ) , modulo 2π. € € II – Cosinus et sinus € € Définition € Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J). Si x désigne une mesure en radian de l’angle orienté ( u, v ) alors on pose : cos ( u, v ) = cos x et sin ( u, v ) = sin x. € € Deux angles orientés sont associés s’ils ont des cosinus et des sinus égaux ou opposés. Propriétés € Pour tout réel x : cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x Dém. € € Ch 08 Trigonométrie 2/4 Propriétés Pour tout réel x : cos(x + π ) = −cos x sin(x + π ) = −sin x € Dém. € Propriétés Pour tout réel x : cos(π − x) = −cos x sin(π − x) = sin x € Dém. € Propriétés Pour tout réel x : π cos( + x) = −sin x 2 π sin( + x) = cos x 2 € Dém. € Propriétés Pour tout réel x : π cos( − x) = sin x 2 π sin( − x) = cos x 2 € Dém € Ch 08 Trigonométrie 3/4 III – Propriétés des angles orientés de vecteurs III.1 – Angles nul ou plat Propriété Pour tout vecteur non nul et ( u, u) = 0 (2π ) € , on a : ( u, − u) = (− u, u) = π (2π ) . € III.2 – Relation de Chasles Propriété Pour tous vecteurs non nuls , ( u, v ) + (v , w ) = ( u, w ) (2π ) € et on a : III.3 – Conséquences Propriété € Pour tous vecteurs non nuls , on a : (v , u) = −( u, v ) (2π ) ; (− u, − v ) = ( u, v ) (2π ) ; (− u, v ) = ( u, − v ) = ( u, v ) + π (2π ) . € € IV – Equations cos x = cos a et sin x = sin a a est un réel donné. Propriété Les solutions de l’équation cos x = cos a sont les réels a + 2kπ et −a + 2kπ , où k désigne un entier relatif. Propriété € € Les solutions de l’équation sin x = sin a sont les réels € a + 2kπ et π − a + 2kπ , où k désigne un entier relatif. € Ch 08 Trigonométrie 4/4
