Chapitre 1 : Emergence du chaos

Chapitre 1 :
Emergence du chaos
Objectifs du chapitre
> Introduire la notion de chaos
> Illustrer quelques systèmes chaotiques
Fin du déterminisme en mécanique classique
• Mécanique Newtonienne : système à N corps
d2⌃ri
mi 2 = F⌃i
dt
i = {1, ..., N }
Tous les systèmes physiques (matériels) conduisent le physicien à étudier N
corps en interaction : électrons, ions, molécules, corps célèstes, ...
• Problème à deux corps : système Soleil-Terre
4 2 a3
T =
GM
2
G = 6.674 10
T
- déterminisme absolu
S
lois de Kepler
- pas de surprise
11
N(m/kg)2
• Problème des trois corps (Euler, Lagrange, Jacobi, Poincaré)
- Laplace et Lagrange : linéarisation des équations
> recherche de points stables
L5
R
r
L3
soleil
L1
L2
terre
L4
> seuls L1, L2 et L3 sont stables
- stabilité céleste : Soleil-Terre-Lune
L
T
S
d2⇧ri
mi 2 =
dt
j=i
⇧rj
mi mj
|⇧rj
⇧ri
⇧ri |3
i = {1, 2, 3}
> problème très difficile même contraint dans un plan !
> la perturbation du problème à deux corps par le 3ème ne suffit pas.
- des trajectoires régulières néanmoins :
1
3
2
3
2
1
3
1
Lagrange (1772)
2
Euler (1744)
Moeckel-Moore (1993)
- héritage de Poincaré : sensibilité des conditions initiales
2
horizon de Lyapunov : d = ⇥ exp
1
30
3
d
système solaire :
= 200 My
problème numérique !
t
⇥
Chaos déterministe
• Pas de définition précise !
• Ingrédients : - visites récurrentes de régions de l’espace des phases
- sensibilité aux conditions initiales
ẏ
y
y
section de Poincaré
horizon de prédictabilité
t
• Remarques additionnelles :
- mécanique Hamiltonienne (théorème de KAM)
- une équation différentielle n’a pas nécessairement de solution analytique.
Trois types de dynamique
p
• Déterministe : dynamique totalement prévisible
trajectoire bien définie dans l’espace des phases
q
p
• Chaotique : dynamique imprévisible à long terme
trajectoire complexe dans l’espace des phases
structures visibles
q
non-ergodique
p
• Stochastique : dynamique aléatoire
système couvre tout l’espace des phases
pas de récurrence
ergodique
q
Exemple 1 - des pendules qui donnent l’heure ?
• Du pendule simple au pendule double
simple [applet]
forcé [applet]
double [applet]
gravité
gravité
dissipation
forçage
gravité
couplage
d2
=
dt2
g
sin
R
d2
=
dt2
A cos(kt)
g
sin +
R
mR2
d
b
dt
d2 1
= f1 ( 1 , ˙1 ,
2
dt
2, 2)
d2 2
= f2 ( 1 , ˙1 ,
2
dt
2, 2)
˙
˙
• Sections de Poincaré
simple
forcé
Sensibilité aux conditions initiales d’un pendule !
double
Exemple 2 - l’axe de rotation de Hypérion
• Hypérion
Hypérion - découvert par Bond&Bond et Lassel (1848)
- lune non-sphérique de Saturne (multipôle gravifique)
- 370 km x 280 km x 226 km
- influences gravifiques de Saturne et Titan
inclinaison p/r orbite
✓
d2 ✓
2
+
!
0 sin(2✓
2
dt
mt) = 0
• Pirouettes de l’axe de rotation d’Hypérion
simulation
La luminosité varie avec l’orientation.
Section de Poincaré [vitesse,orientation]
Hypérion est le seul objet du système solaire
à se distinguer par un mouvement chaotique de son axe de rotation.
Exemple 3 - le pendule magnétique
• Trois aimants placés sur les sommets d’un triangle équilatéral
- 3 pôles d’attraction (xi , yi )
- dissipation (R)
- oscillations du pendule (C)
• Equations (système 2d) : 2 équations différentielles couplées
ẍ + Rẋ
3
⇤
i=1
ÿ + Rẏ
3
⇤
i=1
xi
⌅
(xi
⌅
(xi
x
x)2 + (yi
yi
y)2 + d2
y
x)2 + (yi
y)2 + d2
⇥3 + Cx = 0
⇥3 + Cy = 0
• Sensibilité aux conditions initiales
- bassins d’attraction (3)
- structures invariantes d’échelle
Exemple 4 - les inversions du champ magnétique
• Champ magnétique terrestre :
la magnétostratigraphie révèle des inversions
• Effet dynamo de Bullard (1955)
di
potentiel : !M i = L + ri
dt
d!
= ⌧ M i2
couple : I
dt
⇥
B
(2 équations différentielles couplées)
i
2
⌧ = cte
!
1
i
0.5
0
0
5
10
Time
15
20
Figure 2: Numerical integration of Bullard’s single disk system, plotted in arbitrary units. Pictured as a solid red curve is
the current with time, and as a dashed blue curve is the angular velocity with time. The initial parameters are !0 = 2 and
Angular Velocity
1.5
2
Current
di1
! 1 M1 i 2 = L 1
+ R1 i 1
0
dt
di2
IV. HIDE’S MODIFICATION! M i = L
+ R2 i 2
2 2 1
2
2
dt
d!1
In 1995, Raymond Hide found a disturbing problem
I1 with= ⌧1 M
-4 1 i1 i2
dtits
the Rikitake dynamo, which dramatically impacted
0
2
feasibility as a physical model[7]. In an e↵ort to d!
make
I2
= ⌧2 M2 i 1 i 2
dt
50
Figure 7: Numerical int
arbitrary units. The so
disk, and the dashed b
The initial parameters
damping terms were k1
chaotic reversals initial
out.
4
2
Current
• Modèle
than the Bullard dynamo. Unfortunately, two coupled
disk dynamos do not resemble the spherical geometry
deofRikitake
: couplage
dynamos
the sun, (1958)
and frictional
forces,deasdeux
we will
see in the
next section, tend to decrease the chaotic behavior of the
system, presenting another problem.
0
-2
-4
the system more phys
in the two Rikitake t
were
-6
0
10
20
Time
30
40
! M I
=
Exemple 5 - Perturbations d’une boussole
Bk = B0 sin(!t)
~k
B
µ
~
✓
=I
= |µ
B |
d2 ✓
I 2 = µB0 sin(!t) sin(✓)
dt
périodique
doublement de période
2
2
1
1
✓0
✓0
-1
-1
-2
0
2
chaotique
5
10
15
t
20
-2
0
2
1
5
10
15
t 20
5
10
15
t
amortissement
1
✓0
✓
-1
-2
d✓
⇠
dt
0
-1
0
5
10
15
t
20
-2
0
20