Période d’un pendule simple Exercice

Exercice
Terminale S
page n°1
Période d’un pendule simple
z
On considère un pendule simple constitué d’un solide ponctuel de masse m suspendu à un fil de
longueur l .
À un instant t , le pendule en mouvement fait un angle θ avec la verticale. Le centre d’inertie du
solide se trouve alors à la hauteur z . On considère que les frottements sont négligeables et on se
place dans le cadre des petites oscillations.
Les frottements étant négligeables, il y a conservation de l’énergie mécanique : E reste constante,
donc sa dérivée est nulle !
x
���
�
l
z
O
On a :
1
E = EC + EP = mv 2 + mg z
2
Or
dE
=0
dt
D’où :
d[ 12 mv 2 + mg z ]
dt
=0
soit
mv
dv
dz
+ mg
=0
dt
dt
(1)
Or, dans le repère (O;~
k) dirigé vers le haut :
z = l (1 − cos θ)
dθ
dz
=l
sin θ
dt
dt
donc
Dans le cadre des petites oscillations, l’angle θ restant très petit, on peut faire l’approximation :
sin θ ≈ θ
De plus, on sait que la vitesse est reliée à la vitesse angulaire ω0 par :
v = l ω0 = l
dθ
dt
l étant ici le rayon de la trajectoire du solide
L’équation (1) devient donc :
dθ d2 θ
dθ
+ mg l
θ=0
2
dt dt
dt
dθ
Dans le cas où la vitesse angulaire n’est pas nulle, on peut simplifier par
, d’où :
dt
ml 2
l
d2 θ
+ gθ = 0
dt 2
soit :
d2 θ g
+ θ=0
dt 2
l
d2 θ
Cette équation étant de la forme 2 + ω0 θ = 0, elle admet un ensemble de solutions de la forme θ(t ) = θm cos(ω0 t + ϕ) avec ω0 la
dt
pulsation propre des oscillations :
g
l
ω20 =
donc la période propre T0 est donnée par :
s
T0 = 2π
l
g