chapitre 1 quelques rappels

e
Mathématiques 3 niveau 1
Deuxième partie
Analyse
CHAPITRE 1
QUELQUES RAPPELS
§ 1.1 Fonctions
1.1.1 Vocabulaire et rappels
Une fonction f de A dans B est une relation qui fait correspondre à chaque élément de l'ensemble A au
plus un élément de l'ensemble B.
L'ensemble A est l' ensemble de départ ou la source de la fonction f. L'ensemble B est l' ensemble
d'arrivée ou le but de la fonction f.
Une fonction réelle est une fonction de
dans
.
Si la fonction f fait correspondre à l'élément a de A l'élément b de B, on note f(a) = b; alors b est l'image de a
par f et a est une des préimages de b par f.
Le domaine de définition ou ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des éléments de la
source qui ont une image par f. Cet ensemble est noté Df ou D ou ED.
Exemples :
1.
La fonction f telle que f(x) = 2x + 3 est définie pour tout x ∈
2.
La fonction g telle que g(x) =
3.
La fonction h telle que h(x) =
€
x − 1 est définie pour x-1 ≥ 0
x
x2 − 1
D=
⇒
x≥1
est définie pour tout x différent de +1 et de -1
D = [1 ; ∞[
D=
\ {-1; +1}
Remarques :
€
Pour la plupart des fonctions que nous aborderons, l'étude du domaine de définition se limitera à considérer 3
cas possibles de non-définition dans
:
1. La fonction racine carrée (ou d'ordre pair) n'est pas définie pour des expressions négatives.
2. De même, la fonction logarithmique n'est pas définie également pour des expressions négatives ou nulles.
3. La division par 0, notamment rencontrée dans les fonctions rationnelles n'est pas définie.
Une application de A dans B est une fonction qui fait correspondre à chaque élément de l'ensemble A
exactement un élément de l'ensemble B.
En d'autres mots, une application f de A dans (vers B) est une relation entre A et B telle que :
i) tout élément de A possède au moins une image dans B;
ii) aucun élément de A n'a plusieurs images dans B.
Une application est donc une fonction dont le domaine de définition coïncide avec l’ensemble de départ.
On appelle image d’un ensemble A par une fonction f, l’ensemble des images des éléments de cet
ensemble ; on la note f(A).
f(A) = {y | y = f(x) et x ∈ A}
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Analyse / Chapitre 1, p.1
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On appelle préimage d’un ensemble B par une fonction f, l’ensemble des images des éléments de cet
-1
ensemble ; on la note f (B).
-1
f (B) = {x | f(x) ∈ B}
Une application est bijective si chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède une et une seule
préimage. Une application bijective est appelée également bijection.
Une bijection est donc une application pour laquelle chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède
exactement une préimage.
Soit f et g deux fonctions définies comme suit:
f:
A → B
g:
x  f(x)
B → C
x  g(x)
La composition de f et g dans cet ordre est une loi qui permet de construire une nouvelle fonction h
définie par h(x) = g(f(x)) à partir de deux fonctions données. Cette nouvelle fonction h est notée
couramment g ° f et appelée parfois « f suivie de g », car le nombre réel x est transformé d'abord par f en
f(x) et ensuite ce dernier est transformé par g en g(f(x)).
La notation mathématique complète est donc :
g°f:
A→C
x  ( g ° f ) (x) = g(f(x))
e
(Il est possible de trouver davantage de détails dans votre cours de 2 année)
Exemples :
2
Soit les fonctions f, g et h définies par leurs images comme suit : f(x) = 3x - 1, g(x) = x et h(x) = log(x).
Déterminer f1 = g ° f, f2 = f °g, f3 = f ° f, f4 = g ° g° f, f5 = h ° f ° g et f6 = h ° g ° f
f1(x) = g ° f(x) = g(f(x)) = (3x - 1)
2
2
f2(x) = f ° g(x) = f(g(x)) = 3x - 1
f3(x) = f ° f(x) = f(f(x)) = 9x - 4
f4(x) = g ° g ° f(x) = g(g(f(x))) = (3x - 1)
2
f5(x) = h ° f ° g(x) = h(f(g(x))) = log(3x - 1)
4
f6(x) = h ° g ° f(x) = h(g(f(x))) = log(3x - 1)
2
-1
Toute application bijective f de A dans B possède une réciproque, c’est-à-dire une application f de B dans A
telle que :
-1
-1
(f ° f )(x) = f(f (x)) = x = i(x) pour tout x de B et
-1
-1
(f ° f)(x) = f (f(x)) = x = i(x) pour tout x de A
-1
Dans un repère orthonormé, les graphiques des applications f et f sont des courbes symétriques par
rapport à la droite représentant la fonction identité i : x  x.
Une fonction f est dite strictement croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle [a ; b], si ,
pour tout x et y dans [a ; b], avec x < y, on a f(x) < f(y) (respectivement f(x) > f(y)).
Une fonction est dite strictement monotone sur un intervalle si elle est soit strictement croissante, soit
strictement décroissante sur cet intervalle.
On dit qu’une fonction f possède un maximum (respectivement un minimum) au point c, s’il existe un
nombre positif ε tel que si x ∈ ] c – ε ; c + ε [. alors f(x) ≤ f(c) (respectivement f(x) ≥ f(c))
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Remarques :
Nous utiliserons par la suite assez souvent des expressions « pour tous les » ou « quel que soit » et « il existe
un ». Pour cette raison, nous adopterons souvent les symboles suivants :
∀ signifiant : « pour tous les » ou « quel que soit »
∃ signifiant : « il existe un »
Avec ces notations, la définition d’un maximum devient :
f possède un maximum au point c, si ∃ ε > 0 tel que ∀x ∈ ] c – ε ; c + ε [, f(x) ≤ f(c)
1.1.2 Représentation graphique d'une fonction
Un polynôme du premier degré est représenté graphiquement par une droite.
Un polynôme du deuxième degré est représenté graphiquement par une parabole.
Sauf pour le cas de la droite (cf. le paragraphe suivant), le seul moyen vu jusqu'à présent pour représenter
graphiquement une fonction est de calculer un certain nombre de points. Selon la fonction, il s’agira de
choisir les points les plus appropriés. Ainsi, pour les polynômes de degré n, on choisira notamment les zéros
(s’ils ont pu être déterminés). Pour les polynômes de degré 2 (parabole), on sait également déterminer le
sommet.
Exemple :
Etudier la fonction f définie par f(x) =
x+1
x −1
Pour |x| >> 1, nous aurons x + 1 ≈ x - 1 ≈ x et donc f(x) ≈ 1
- f n'est pas définie pour x = 1;
- Au voisinage de 1, nous avons 2 divisé par un très petit nombre, donc |f(x)| >> 1
- Signe de f près de x = 1 (cf tableau des signes) : si -1 < x < 1, f(x) < 0
x
-∞
-1
et
si x >1, f(x) > 0.
1
+∞
x+1
-
-
0
+
+
+
+
x-1
-
-
-
-
0
+
+
x+1
x −1
+
+
0
-
||
+
+
Nous pouvons donc schématiquement esquisser f:
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Analyse / Chapitre 1, p.3
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Durant cette année, nous nous donnerons les outils nécessaires pour l'étude précise des fonctions. Il est
cependant utile de se représenter, de manière intuitive, l'allure générale d'une fonction par quelques
raisonnements simples.
Nous serons parfois amenés à considérer l'image d'un ensemble (par exemple un intervalle) par une
fonction: f(A) = {y ∈
⎢y = f(x) pour tout x ∈ A}
f([a; b]) = [m; M]
Exemples:
1.
Soit la fonction f définie par f(x) = sin(x)
f([0; 2π]) = [-1; 1]
2.
f([0;π]) = [0; 1]
Soit la fonction g définie par g(x) =
1
x
g(]0; 1]) = [1; ∞[
€€
§ 1.2 Droites
On sait qu'une fonction réelle du type f : x  ax + b (où a et b sont des nombres réels) est représentée
graphiquement par une droite (par exemple dans un repère orthonormé).
Exemples :
f
f : x  -2x + 3
g:x 
3
x–2
4
3
h
g
h : x  2x
€
0
1
-2
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1.2.1 Pente d’une droite
Si A et B sont deux points sur le graphique de f,
alors le nombre mAB=
d
d(xB ) − d(xA )
xB − x A
B
d(xB )
d(xB ) – d(xA )
représente la pente de la droite d
d(xA )
A
xB – xA
(entre les points A et B) :
xA
xB
d(xB) – d(xA) représente une grandeur mesurée verticalement (une dénivellation), alors que xB – xA
représente une grandeur horizontale.
La pente de la droite ne dépend pas des points choisis pour la calculer.
Exemple :
Soit la droite d, définie par d(x) = 3x – 2.
On vérifie facilement que d(-2) = -8, d(1) = 1, d(4) = 10 et d(5) = 13.
Cela signifie donc que les points A = < -2 ; -8 >, B = < 1 ; 1 >, C = < 4 ; 10 > et D = < 5 ; 13 > sont sur le
graphique de d.
On a alors
mAB =
d(xB ) − d(xA ) 1− (−8) 9
=
=
= 3
xB − xA
1− (−2) 3
d(xB ) − d(xC )
1− 10 −9
=
=
= 3
1− 4
−3
xB − xC
€
€
€
d(xD ) − d(xC ) 13 − 10 3
mCD =
=
=
= 3
5−4
1
xD − xC
€
€
€
mCB =
D'une façon plus générale, si A, B, C et D sont des points du graphique de cette droite, alors les triangles
€
€
€
hachurés dans la figure ci-dessous sont semblables, et dans ce cas nous savons que leurs côtés sont
proportionnels.
d
B
A
xC
xD
C
xA
xB
D
On a donc
d(xB ) − d(xA ) d(xC ) − d(xD )
=
, ce qui signifie mAB = mDC et ceci montre bien que la pente d'une
xB − xA
xC − xD
droite ne dépend pas des points choisis pour la calculer. On peut donc parler de la pente d'une droite !!!
Revenons à la droite d : x  ax + b, et essayons de déterminer la valeur de sa pente.
€
€
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Soit les points A et B appartenant au graphique de d. La pente de d se calcule à l'aide de ces points par :
mAB =
ax B + b − ax A − b
ax B − ax A
a(xB − xA )
d(xB ) − d(xA ) (ax B + b) − (ax A + b)
=
=
=
=
=a
xB − x A
xB − x A
xB − x A
xB − xA
xB − xA
ce qui montre que le coefficient de x dans l'expression algébrique d'une droite représente la pente de cette
€
droite.
1.2.2 Tangente à une courbe en un point
Soit une courbe et un point A sur cette courbe et considérons encore l'ensemble des droites passant par ce
point :
A
(On peut aussi voir cet ensemble de droites comme les différentes positions occupées par une droite passant par A et
pivotant autour de ce point)
Si l'on considère un arc de courbe contenant le point A, on peut séparer les droites en deux ensembles :
certaines de ces droites coupent la courbe en un seul point alors que les autres la coupent en plus d'un
point. On remarque que si une droite coupe la courbe plus d'un point, alors, proche d'elle, (c’est-à-dire
différant seulement d'un petit angle) il y a une autre droite possédant la même propriété ; on peut faire la
même remarque pour presque toutes les droites ne coupant la courbe qu'une seule fois, mais une seule
parmi les droites coupant la courbe une seule fois occupe une position telle que même un petit mouvement
de rotation autour de A fait qu'elle coupe la courbe en un autre point proche de A (et ainsi passe dans l'autre
ensemble de droites), ceci quelle que soit la longueur de l'arc de courbe considéré. C'est cette droite limite,
qui sépare les deux ensembles de droites passant par A que nous appelons la tangente à la courbe au point
A. En d'autres termes, on peut obtenir la tangente à la courbe en un point A de la façon suivante :
on choisit un second point sur la courbe, B, on trace la droite passant par A et B, puis on rapproche le point
B du point A. La droite vers laquelle semble se rapprocher la droite AB est alors la tangente cherchée.
B
B
B
A
B
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1.2.3. Pente de la tangente à une courbe en un point.
Soit une fonction réelle f et un point A de son graphique : A = < xA ; f( xA ) >.
Si nous voulons tracer la tangente à f au point A, nous pouvons procéder de la façon décrite ci-dessus, à
l'aide d'un point B variable. Dans ce cas, pour que B se rapproche de A, il suffit que xB se rapproche de xA .
€
€
€
€
B
B
B
A
B
xB xB xB
xB
xA
Les droites AB successives sont toutes des sécantes de la courbe, elles coupent la courbe en plus d'un
point et leurs pentes sont complètement déterminées par A et B (qui sont différents).
La tangente est d'une autre nature : elle n'est définie que par le point A ! Impossible de déterminer sa pente,
car on ne connaît pas d'autre point que A !
Exemple :
Soit la fonction réelle f, définie par f(x) = x2 – 4x + 5.
Considérons le point A défini par xA = 3 (d'où f(xA) = f(3) = 32 – 4·3 + 5 = 2, donc A = < 3 ; 2 >).
Nous allons déterminer la valeur de la pente de différentes sécantes AB pour un point B variable se rapprochant
de A.
On sait que la pente d'une droite est donnée par mAB =
d(xB ) − d(xA )
xB − xA
Dans notre cas, la droite passant par deux points de la courbe de f, on a mAB =
f(xB ) − f(xA ) f(xB ) − 2
=
xB − xA
xB − 3
Calculons quelques valeurs de pentes pour des xB se rapprochant de xA (c’est-à-dire de 3), selon le modèle
suivant : xB = 2, c’est-à-dire f(xB) = f(2) = 1, donc mAB =
f(xB ) − 2
−1
1− 2
=
=
= 1. Continuons ainsi, en prenant
xB − 3
2 − 3 −1
pour x des valeurs de plus en plus proche de 3 (mais plus petite que 3) et notons les résultats dans un tableau
(1
ère
colonne). De même, calculons quelques valeurs de pente à partir de xB = 4, en prenant ensuite également
e
des valeurs de plus en plus proche de 3 (mais plus grande que 3) et notons les résultats (2 colonne)
xB
mAB
xB
mAB
2
1
4
3
2.9
1.9
3.1
2.1
2.99
1.99
3.01
2.01
2.999
1.999
3.001
2.001
2.9999
1.9999
3.0001
2.0001
↓
↓
↓
↓
3
2
3
2
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Il semble donc que de quelques façons que l'on se rapproche de 3 (par des valeurs inférieures ou supérieures à
3), les pentes des sécantes se rapprochent de la même valeur, 2. Nous dirons donc que la pente de la tangente à
f au point x = 3 vaut 2.
Notation :
Nous noterons f '(xA) la pente de la tangente à la courbe f au point d'abscisse xA.
On peut bien sûr imaginer la même démarche pour un point quelconque de la courbe.
1.2.4. Pente de la tangente à une courbe en un point quelconque.
Soit une fonction réelle et un point quelconque de sa courbe, A = < x ; f(x) >.
Comme précédemment, imaginons un point de la courbe de f, B, différent de A.
Nous pouvons situer ce point par rapport à A en utilisant la distance algébrique entre A et B:
A
f(x)
f(x+h) – f(x)
B
f(x+h)
h
x
x+h
Sur le graphique ci-dessus, on voit que B n'est pas situé d'une façon absolue dans le repère, mais de façon
relative, par rapport à A (comme s'il existait un nouveau repère passant par A).
Le rapport
f(x + h) − f(x)
représente la pente de la sécante AB et dans ce cas, la pente de la tangente à la
h
courbe de f au point A, f '(x), s'obtient en faisant tendre h vers 0 (car lorsque la distance entre A et B diminue,
B se rapproche de A).
€
Exemples :
1.
Soit la fonction réelle f, définie par f(x) = x2 – 4x + 5.
Alors
((x + h)2
f(x + h) − f(x)
=
h
=
2xh + h 2
h
−
−
4(x + h) + 5) − ( x 2
h
4h
=
−
4x + 5)
=
x 2 + 2 xh + h2
−
4x − 4h + 5 − x 2 + 4x − 5
h
h(2 x − 4 + h) h
= (2x − 4 + h)
h
h
On voit que lorsque h devient une quantité négligeable, c’est-à-dire lorsqu'il tend vers 0 (mais h ≠ 0), le rapport cidessus se rapproche de 2x – 4, donc f '(x) = 2x – 4.
Cela signifie que la pente de la tangente à la courbe f : x  x2 – 4x + 5 en un point quelconque est donnée par la
fonction f ' : x  2x – 4.
Ce résultat confirme celui trouvé précédemment : f '(3) = 2·3 – 4 = 2.
Mais il permet aussi de répondre à une autre question : en quel(s) point(s) la courbe de f possède-t-elle une
tangente horizontale ?
Pour répondre à cette question, il suffit de résoudre l'équation f '(x) = 0, c’est-à-dire 2x – 4 = 0.
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Analyse / Chapitre 1, p.8
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On trouve alors x = 2, ce qui confirme un résultat connu du cours de 1
ère
année, à savoir que le sommet d'une
parabole se trouve sur l'axe de symétrie de celle-ci, c’est-à-dire pour la valeur −
−
2.
b
−4
=−
=2
2a
2 ⋅1
Soit la fonction f, définie par f(x) =
€
Pour déterminer le rapport
f(x+h) – f(x)
=
b
, car dans ce cas,
2a
=
€
x+2
.
x −1
f(x + h) − f(x)
, on commence par le numérateur
h
€
(x + h) + 2 x + 2 (x + h + 2)(x − 1) − ( x + h − 1)(x + 2)
–
=
(x + h) − 1 x − 1
(x + h − 1)(x − 1)
x 2 + xh + 2x − x − h − 2 − x 2 − 2x − xh − 2h + x + 2
−3h
=
(x + h − 1)(− x1)
(x + h − 1)(x − 1)
Donc
−3h
(x
+
h
− 1)(x − 1) h
f(x + h) − f(x)
−3
=
= ⋅
h
h
h ( x + h − 1)(x − 1)
Et lorsque h tend vers 0 (h ≠ 0), on obtient f '(x) =
−3
(x − 1)2
Dans les chapitres suivants, nous découvrirons des outils plus puissants qui nous permettront d’arriver plus aisément au
résultat.
§ 1.3 Fonctions trigonométriques
L’année dernière, parmi les différents types de fonctions, en plus des fonctions polynomiales et rationnelles,
nous avons abordé également les fonctions exponentielles et logarithmiques ainsi que les fonctions
trigonométriques. Ci-dessous, nous allons faire quelques rappels concernant ces dernières. Quant aux
fonctions exponentielles et logarithmiques, nous les aborderons d’une manière sensiblement différente.
1.3.1 Visualisation des grandeurs dans le cercle trigonométrique :
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Analyse / Chapitre 1, p.9
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1.3.2 Représentation graphique:
sin :
→ [-1;1]
x
 sin(x)
La période est 2π
cos :
→ [-1;1]
x  cos(x)
La période est 2π
1.3.3 Utilisation des formules données dans la table numérique
e
Les formules les plus courantes, dont certaines ont été démontrées en 2 année sont rappelées ci-dessous :
2
2
1.
sin (x) + cos (x) = 1
2.
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
cos(x + y) = cos(x) cos(y) – sin(x) sin(y)
2
2
3.
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) et cos(2x) = cos (x) - sin (x)
4.
#x−y&
"x+y%
sin(x) – sin(y) = 2sin %
( cos $
'
$ 2 '
# 2 &
#x−y&
"x+y%
cos(x) – cos(y) = -2sin %
( cos $
'
$ 2 '
# 2 &
€
€
La première formule découle directement de l’application du théorème de Pythagore et des définitions du
sinus et du cosinus sur le cercle trigonométrique (r = 1)
€
€
Les autres formules se trouvent dans votre table numérique et pourraient être démontrées sans difficulté
particulière à votre niveau.
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Analyse / Chapitre 1, p.10